Mapa pakietu

W matematyce mapa wiązek (lub morfizm wiązek ) jest morfizmem w kategorii wiązek włókien . Istnieją dwa różne, ale ściśle powiązane pojęcia mapy wiązek, w zależności od tego, czy dane wiązki włókien mają wspólną przestrzeń bazową . Istnieje również kilka wariacji na temat podstawowego tematu, w zależności od tego, która dokładnie kategoria wiązek włókien jest brana pod uwagę. W pierwszych trzech sekcjach rozważymy ogólne wiązki włókien w kategorii przestrzeni topologicznych . Następnie w części czwartej podane zostaną inne przykłady.

Połącz mapy na wspólnej bazie

Niech ${\ Displaystyle \ pi _ {E} \ dwukropek E \ do M}$ i ${\ Displaystyle \ pi _ {F} \ dwukropek F \ do M}$ będą wiązkami włókien spacja M . Wtedy mapa wiązek od E do F przez M $F} \ circ \varphi =\pi _{E}}$ mapą ciągłą $mi {\ Displaystyle \ pi _ {F}$ , że . Czyli schemat

powinien dojeżdżać . Równoważnie dla dowolnego punktu x w M , ${\ Displaystyle \ varphi}$ odwzorowuje włókno ${\ Displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$ E przez x do włókna ${\ Displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x} \})}$ z F przez x .

Ogólne morfizmy wiązek włókien

Niech π _E : E → M i π _F : F → N będą wiązkami włókien odpowiednio w przestrzeniach M i N. Wtedy mapa ciągła $do F,$ jest mapą wiązek od jeśli mapa ciągła f : → N taka , ​​​​diagram

dojeżdża do pracy, to znaczy ${\ Displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$ . Innymi słowy, $zachowuje$ , a f jest indukowaną mapą w przestrzeni włókien E : ponieważ π _E jest suriekcją, f jest jednoznacznie określone przez $\ varphi}$ displaystyle . Dla danego f , mówi się $, że$ taka mapa wiązek mapą wiązek obejmującą f .

Związek między dwoma pojęciami

Z definicji bezpośrednio wynika, że ​​mapa wiązek nad M (w pierwszym sensie) jest tym samym, co mapa wiązek pokrywająca mapę tożsamości M .

I odwrotnie, ogólne mapy wiązek można zredukować do map wiązek w ustalonej przestrzeni bazowej, używając pojęcia wiązki wycofującej . Jeśli π _F : F → N jest wiązką włókien nad N i f : M → N jest mapą ciągłą, to wycofanie F o f jest wiązką włókien f ^* F nad M , której włókno nad x jest dane przez ( f ^* fa ) _x = fa _{fa ( x )} . Wynika z tego, że mapa wiązek od E do F obejmująca f jest tym samym, co mapa wiązek od E do f ^* F przez M .

Warianty i uogólnienia

Istnieją dwa rodzaje odmian ogólnego pojęcia mapy wiązek.

Po pierwsze, można rozważyć wiązki światłowodowe w innej kategorii przestrzeni. Prowadzi to na przykład do pojęcia gładkiej mapy wiązek między gładkimi wiązkami włókien na gładkiej rozmaitości .

Po drugie, można rozważyć wiązki włókien z dodatkową strukturą w swoich włóknach i ograniczyć uwagę do map wiązek, które zachowują tę strukturę. Prowadzi to na przykład do pojęcia homomorfizmu wiązek (wektorowych) między wiązkami wektorowymi , w którym włókna są przestrzeniami wektorowymi, a mapa wiązek φ musi być mapą liniową na każdym włóknie. W tym przypadku taka mapa wiązek φ (pokrywająca f ) może być również postrzegana jako wycinek wiązki wektorowej Hom( E , f ^* F ) nad M , której włókno nad x jest przestrzenią wektorową Hom ( E _x , F _{f ) ( x )} ) (oznaczane również L ( E _x , F _{f ( x )} )) odwzorowań liniowych od E _x do F _{f ( x )} .