K-stabilność

Ten artykuł obejmuje ogólną teorię K-stabilności rozmaitości rzutowych. Specyficzny przypadek odmian Fano omówiono w K-stabilności odmian Fano .

W matematyce , a zwłaszcza w geometrii różniczkowej i algebraicznej , stabilność K jest warunkiem stabilności algebraiczno-geometrycznej dla złożonych rozmaitości i złożonych rozmaitości algebraicznych . Pojęcie K-stabilności zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Gang Tiana , a później przeformułowane bardziej algebraicznie przez Simona Donaldsona . Definicja została zainspirowana porównaniem do geometrycznej teorii niezmienników (GIT). W szczególnym przypadku Odmiany Fano , K-stabilność dokładnie charakteryzuje istnienie metryk Kählera-Einsteina . Mówiąc bardziej ogólnie, na dowolnej zwartej rozmaitości zespolonej zakłada się , że stabilność K jest równoważna istnieniu stałej metryki Kählera krzywizny skalarnej ( metryki cscK ).

Historia

W 1954 roku Eugenio Calabi sformułował hipotezę o istnieniu metryk Kählera na zwartych rozmaitościach Kählera , obecnie znaną jako hipoteza Calabiego . Jednym ze sformułowań przypuszczenia jest to, że zwarta rozmaitość Kählera dopuszcza unikalną metrykę Kählera – Einsteina $w$ klasie ${\ displaystyle c_ {1} (X)$ . W szczególnym przypadku, gdy do $\ Displaystyle c_ {1} (X) = 0}$ , taka metryka Kählera – Einsteina byłaby płaska Ricciego , czyniąc rozmaitość rozmaitością Calabiego – Yau . $1}(X)=0}$ rozwiązana w przypadku, gdy ${1} ($ Aubina i Shing -Tung Yau i kiedy do ${\ Displaystyle c_$ autorstwa Yau. W przypadku, gdy ${\ displaystyle c_ {1} (X)> 0}$ , czyli gdy $jest$ rozmaitością , metryka Kählera-Einsteina nie zawsze istnieje . Mianowicie, z prac Yozo Matsushimy i André Lichnerowicza $,$ że rozmaitość Kählera z Kählera-Einsteina tylko wtedy, Liego ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, TX)}$ jest redukcyjny . Można jednak łatwo wykazać, że wysadzenie złożonej płaszczyzny rzutowej w jednym punkcie wynosi ${\ Displaystyle {\ tekst {Bl}} _ {p} \ mathbb {CP} ^ {2}$ Fano, ale nie ma redukcyjnej algebry Liego. Zatem nie wszystkie rozmaitości Fano mogą przyjmować metryki Kählera-Einsteina.

Po rozwiązaniu hipotezy Calabiego dla $zwrócono się na$ powiązany problem znajdowania metryk kanonicznych na zespolonych . W 1983 roku Donaldson przedstawił nowy dowód twierdzenia Narasimhana – Seshadriego . Jak udowodnił Donaldson, twierdzenie stwierdza, że ​​holomorficzna wiązka wektorów na zwartej powierzchni Riemanna jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada nieredukowalnej unitarnej Połączenie Yanga-Millsa . To znaczy połączenie jednostkowe, które jest punktem krytycznym funkcjonału Yanga-Millsa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {YM} (\ nabla) = \ int _ {X} \| F _ {\ nabla} \|^ {2} \, d \ nazwa operatora {tom}.}$

Na powierzchni Riemanna takie połączenie jest rzutowo płaskie, a jego holonomia prowadzi do rzutowej jednolitej reprezentacji podstawowej grupy powierzchni Riemanna, przywracając w ten sposób oryginalne stwierdzenie twierdzenia MS Narasimhana i CS Seshadri . W latach osiemdziesiątych twierdzenie to zostało uogólnione w pracach Donaldsona, Karen Uhlenbeck i Yau oraz Jun Li i Yau do korespondencji Kobayashiego – Hitchina , która wiąże stabilne holomorficzne wiązki wektorów z Połączenia hermitowsko-einsteinowskie na dowolnych zwartych rozmaitościach zespolonych. Kluczową obserwacją przy ustawianiu wiązek holomorficznych wektorów jest to, że po ustaleniu struktury holomorficznej każdy wybór metryki hermitowskiej prowadzi do połączenia jednolitego, połączenia Cherna . W ten sposób można albo szukać związku hermitowsko-einsteinowskiego, albo odpowiadającej mu metryki hermitowsko-einsteinowskiej.

Zainspirowany rozwiązaniem problemu istnienia metryk kanonicznych na wiązkach wektorowych, w 1993 roku Yau był zmotywowany do przypuszczenia, że ​​​​istnienie metryki Kählera-Einsteina na rozmaitości Fano powinno być równoważne jakiejś formie warunku stabilności algebro-geometrycznej na samej rozmaitości , tak jak istnienie metryki hermitowsko-einsteinowskiej na wiązce wektorów holomorficznych jest równoważne z jej stabilnością. Yau zasugerował, że ten warunek stabilności powinien być odpowiednikiem stabilności zbocza wiązek wektorowych.

W 1997 roku Tian zasugerował taki warunek stabilności, który nazwał K-stabilnością od funkcjonału energii K wprowadzonego przez Toshiki Mabuchi . K pierwotnie oznaczało kinetykę ze względu na podobieństwo funkcjonału energii K do energii kinetycznej, a niemiecki kanonisch oznaczał wiązkę kanoniczną . Definicja Tiana miała charakter analityczny i była specyficzna dla przypadku rozmaitości Fano. Kilka lat później Donaldson wprowadził warunek algebraiczny opisany w tym artykule, tzw K-stabilność , co ma sens na dowolnej spolaryzowanej rozmaitości i jest równoważne z analityczną definicją Tiana w przypadku rozmaitości spolaryzowanej ${\ Displaystyle (X, -K_ {X})}$ gdzie ${\ displaystyle X}$ to Fano.

Definicja

W tej sekcji pracujemy nad liczbami zespolonymi $,$ ale podstawowe punkty definicji dotyczą dowolnego pola Spolaryzowana odmiana to para , gdzie jest złożoną rozmaitością algebraiczną $}$ a $displaystyle L$${$ \ obszerną wiązką linii $}$$displaystyle X$ . Taka spolaryzowana odmiana wyposażona jest w osadzenie w przestrzeni rzutowej za pomocą konstrukcji Proj ,

${\ Displaystyle X \ cong \ nazwa operatora {Proj} \ bigoplus _ {r \ geq 0} H ^ { 0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right) }$

gdzie $jest$ dowolną dodatnią liczbą całkowitą na tyle dużą, że jest $bardzo$ duża , a więc każda spolaryzowana rzutowa ${\ displaystyle X}$ wyboru obszernego pakietu linii na $\ displaystyle$$X}$ powoduje nowe osadzenie w możliwie inną przestrzeń rzutową. Dlatego spolaryzowaną $rzutowej$ traktować jako odmianę rzutową wraz ze stałym osadzeniem w jakiejś .

Kryterium Hilberta-Mumforda

K-stabilność jest definiowana przez analogię do kryterium Hilberta-Mumforda ze skończonej wymiarowej teorii niezmienników geometrycznych . Teoria ta opisuje stabilność punktów na rozmaitościach spolaryzowanych, podczas gdy K-stabilność dotyczy stabilności samej rozmaitości spolaryzowanej.

$X \ podzbiór \ mathbb {CP} ^ {N}}$ przetestować stabilność punktu w rzutowej rozmaitości algebraicznej pod działaniem ⊂ $Displaystyle$ redukcyjna grupa $_$ 1 _ -PS ) ${\ Displaystyle G}$ . Aby kontynuować, bierze się 1-PS z $}$ powiedzmy , punkt graniczny sol $displaystyle$

${\ Displaystyle x_ {0} = \ lim _ {t \ do 0} \ lambda (t) \ cdot x.}$

Jest to stały punkt działania 1-PS ${\ Displaystyle \ lambda}$ , a więc linia nad ${\ Displaystyle x}$ w przestrzeni afinicznej ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ { N + 1}}$ jest zachowane przez działanie ${\ displaystyle \ lambda}$ . Działanie grupy multiplikatywnej $którą$ jednowymiarową przestrzeń wektorową ma wagę , liczbę całkowitą oznaczamy ${\ Displaystyle \ mu (x, \ lambda)}$ właściwością, że

${\ Displaystyle \ lambda (t) \ cdot {\ tylda {x}} = t ^ {\ mu (x, \ lambda)} {\ tylda {X}}}$

$}$ dowolnego światłowodu przez ${\ displaystyle {\ tylda {x}}$ . Kryterium Hilberta-Mumforda mówi:

• Punkt jest półstabilny $\$ jeśli dla wszystkich 1 $-$ PS ${$
• Punkt jest stabilny $lambda$ jeśli dla wszystkich 1 $-$${$ Displaystyle
• Punkt jest $niestabilny$$\$ jeśli $\$ dowolnego 1- PS Displaystyle

Jeśli chce się zdefiniować pojęcie stabilności dla odmian, kryterium Hilberta-Mumforda sugeruje zatem, że wystarczy wziąć pod uwagę jeden parametr deformacji odmiany. Prowadzi to do pojęcia konfiguracji testowej.

Konfiguracje testowe

Wszystkie włókna generyczne w konfiguracji testowej są izomorficzne z odmianą X, podczas gdy włókno środkowe może być różne, a nawet pojedyncze.

Konfiguracja testowa $)}$ odmiany spolaryzowanej para $\$ gdzie jest schematem z płaskim morfizmem $\ pi: {\ mathcal {X}} \ do \ mathbb {C}}$$Displaystyle$ L $\ styl wyświetlania {\ mathcal {L}}}$ jest stosunkowo obszerną wiązką linii dla morfizmu , taką, że: ${\ displaystyle \ pi}$

1. Dla każdego $)$ Hilberta włókna ${L}} _ {t})}$${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {t}$ { jest równe wielomianowi Hilberta ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (k)}$ z ${\ Displaystyle (X, L)}$ . Jest to konsekwencją płaskości ${\ displaystyle \ pi}$ .
2. Do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ na rodzinie ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})$ standardowe działanie na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ na do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} }$ .
3. dla każdego (a więc każdego) ${\ Displaystyle t \ w \ mathbb {C} ^ {*}}$ , ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X }}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ jako odmiany spolaryzowane. szczególności z $dala od ,$ jest trywialna: ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {t \ neq 0}, {\ mathcal {L}} _ {t \ neq 0}) \ cong (X \ razy \ mathbb {C} ^ {*}, \ nazwa operatora {pr} _ {1} ^ {*} L)}$ gdzie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {pr} _ {1} :X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$ jest rzutowaniem na pierwszy czynnik.

Mówimy, że konfiguracja testowa jest konfiguracją produktu $}$ jeśli $}} \ cong X \ razy \ mathbb {C}}$$\ mathcal {$ i trywialna konfiguracja , jeśli akcja na $do {\ Displaystyle {\ mathcal {X} do ∗ {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^$$}}\cong X\times \mathbb {C} }$$}$ jest trywialny dla pierwszego czynnika.

Niezmiennik Donaldsona-Futakiego

Aby zdefiniować pojęcie stabilności analogiczne do kryterium Hilberta-Mumforda, potrzebne jest pojęcie wagi na ${\ Displaystyle \ mu ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ włókno nad konfiguracją testową $($${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}} \ do \ mathbb {C}}$ spolaryzowanego różnorodność ${\ Displaystyle (X, L)}$ . Z definicji ta rodzina jest wyposażona w akcję obejmującą akcję na podstawie, a więc włókno konfiguracji testowej nad $\$$mathbb {C} }$$\ displaystyle 0 \$ jest naprawiony. Oznacza to, ${X}} _ {0}, {\ matematyka {L}}_{0})}$ mamy działanie na centralnym włóknie $) {$ . Ogólnie rzecz biorąc, to centralne włókno nie jest gładkie ani nawet różnorodne. Istnieje kilka sposobów określenia ciężaru włókna centralnego. Pierwsza definicja została podana przy użyciu wersji uogólnionego niezmiennika Futakiego Ding-Tiana. Ta definicja jest geometrią różniczkową i jest bezpośrednio związana z problemami istnienia w geometrii Kählera. Definicje algebraiczne podano przy użyciu niezmienników Donaldsona-Futakiego i wag CM określonych wzorem przecięcia.

Z definicji działanie na schemacie spolaryzowanym wiąże ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {$ z działaniem na dużą wiązkę linii $}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0}}$ i dlatego wywołuje działanie na przestrzeniach wektorowych ${\ Displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ { 0}, {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k}}}$ dla wszystkich liczb całkowitych ${\ Displaystyle k \ geq 0}$ . Akcja ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ na złożonej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle V}$ indukuje bezpośredni rozkład sumy $\ oplus V_ {n}}$${\ Displaystyle V = V_ {1} \ oplus \$$C} ^{*}}$ na przestrzenie wagowe , gdzie każda $}$ jednowymiarową podprzestrzenią , a działanie $displaystyle$$\ mathbb$$displaystyle$ do $w_ {i}}$ wagę . Zdefiniuj całkowitą wagę akcji jako liczbę całkowitą ${\ Displaystyle w = w_ {1} + \ cdots + w_ {n}}$ . Jest to to samo, co waga indukowanego działania na jednowymiarową przestrzeń wektorową $*}}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {n} V}$ gdzie ${\ Displaystyle n = \ dim V}$ .

Zdefiniuj funkcję wagi $}$ testowej funkcję ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}$ gdzie jest całkowitym ciężarem działania na przestrzeni wektorowej $\ mathbb {C} ^ {*}}$$Displaystyle$${\ Displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ {0}, {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k})} dla każdej nieujemnej liczby całkowitej k$ ≥ $Displaystyle k \geq 0}$ . $Displaystyle$ funkcja ogólnie nie $wielomianem ,$${0}\ gg 0}$ wielomianem stopnia wszystkich $k>$ dla pewnej ustalonej liczby całkowitej ${\ displaystyle k_ {0}}$ , gdzie ${\ Displaystyle n = \ ciemny X}$ . Można to zobaczyć za pomocą ekwiwariantnego twierdzenia Riemanna-Rocha. $wielomian$ Hilberta równość ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = \ dim H ^ {0} (X, L ^ {k}) = \ dim H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ {0} , {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k> k_ {1} \ gg 0}$ dla pewnej ustalonej liczby całkowitej ${\ Displaystyle k_ {1 }}$ i jest wielomianem stopnia ${\ displaystyle n}$ . Dla takich napiszmy ${\ Displaystyle k \ gg 0}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = a_ {0} k ^ {n} + a_ {1} k ^ {n-1} + O (k ^ {n-2}), \ quad w (k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

Niezmiennik Donaldsona-Futakiego konfiguracji testowej jest liczbą wymierną ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ Frac {b_ {0} a_ {1} -b_ {1} a_ {0}} {a_ {0}^{2}}}.}$

W szczególności ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = - f_ {1}}$ gdzie ${\ displaystyle f_{1}}$ jest wyrazem pierwszego rzędu w rozwinięciu

${\ Displaystyle {\ Frac {w (k)} {k {\ mathcal {P}} (k)}} = f_ {0} + f_ {1} k ^ {-1} + O (k ^ {-2 }).}$

Niezmiennik Donaldsona-Futakiego nie zmienia się, jeśli $\ \ mathbb {Q} }$ -wierszowe pakiety zastąpiony dodatnią potęgą , więc w literaturze stabilność K jest często omawiana przy użyciu ${$$\$ .

Możliwe jest opisanie niezmiennika Donaldsona-Futakiego w kategoriach teorii przecięć i takie podejście przyjął Tian przy definiowaniu wagi CM. $({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}}}$ Displaystyle dopuszcza naturalne zagęszczenie ${\ Displaystyle ({\ bar {\ mathcal {X}}}, {\ bar {\ mathcal {L}}}}}$ nad (np. Patrz), wtedy masa CM jest definiowana przez ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

${\ Displaystyle CM ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ Frac {1} {2 (n + 1) \ cdot L ^ {n}}} \ lewo (\ mu \ cdot n {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb { P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mu = - {\ Frac {L ^ {n-1} \ cdot K_ {X}} {L ^ {n}}}}$ . Ta definicja według wzoru na przecięcie jest obecnie często używana w geometrii algebraicznej.

Wiadomo, że pokrywa się z ${\ Displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {CM} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ , więc możemy wziąć wagę ${\ Displaystyle \ mu ({\ mathcal {X}}, { \mathcal {L}})}$ to albo ${\ Displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ lub ${\ Displaystyle \ operatorname {CM} ({\ mathcal {X}} , {\mathcal {L}})}$ . Wagę $.$ za pomocą formy W przypadku rozmaitości Fano istnieje interpretacja wagi w kategoriach nowego ${\ displaystyle \ beta}$ -niezmiennik dla wycen znalezionych przez Chi Li i Kento Fujita.

K-stabilność

Aby zdefiniować K-stabilność, musimy najpierw wykluczyć pewne konfiguracje testowe. Początkowo zakładano, że należy po prostu zignorować trywialne konfiguracje testowe, jak zdefiniowano powyżej, których niezmiennik Donaldsona-Futakiego zawsze znika, ale Li i Xu zauważyli, że definicja wymaga więcej uwagi. Jeden elegancki sposób definiowania stabilności K jest podany przez Székelyhidi przy użyciu normy konfiguracji testowej, którą najpierw opisujemy.

$normę$ konfiguracji testowej następujący Niech $będzie$$} 0}(X,L^{k})}$ generatorem przestrzeni wektorowej $Displaystyle \ mathbb {C} ^$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} (A_ {k}) = w (k)}$ . $k$$_ {Tr} (A_ {k} ^ {2})}$ wielomiany i $\$ operatorname jest wielomianem dla wystarczająco dużych liczb całkowitych , w tym przypadku stopnia ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n + 2}$ . Zapiszmy jego rozwinięcie jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} (A_ {k} ^ {2}) = c_ {0} k ^ {n + 2} + O (k ^ {n + 1}).}$

Normę konfiguracji testowej definiuje wyrażenie

${\ Displaystyle \ | ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \| ^ {2} = c_ {0} - {\ Frac {b_ {0} ^ {2}} {a_ { 0}}}.}$

Zgodnie z analogią do kryterium Hilberta-Mumforda, mając pojęcie odkształcenia (konfiguracji testowej) i ciężaru na włóknie centralnym (niezmiennik Donaldsona-Futakiego), można zdefiniować warunek stabilności, zwany K- stabilnością .

Niech $_$ _ Mówimy, że jest: ${\ Displaystyle (X, L)}$

• K-semistable, jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ geq 0}$ dla wszystkich konfiguracji testowych ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ dla ${\ Displaystyle (X, L)}$ .
• K - stabilny, jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ geq 0}$ dla wszystkich konfiguracji testowych ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ dla ${\ Displaystyle (X, L)}$ i dodatkowo ${\ Displaystyle \ operatorname {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})> 0} ilekroć ‖$ ( $Displaystyle \ | ({\ mathcal {X} },{\mathcal {L}})\|>0}$ .
• K-polystabilny, $}, {\ mathcal {L}}) = 0}$ { Displaystyle $\$$mathcal$ , konfiguracja testowa ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ jest konfiguracją produktu.
• K-niestabilny , jeśli nie jest K-semistable.

Hipoteza Yau-Tian-Donaldsona

Zobacz także: K-stabilność odmian Fano § Istnienie metryk Kählera-Einsteina

K-stabilność została pierwotnie wprowadzona jako warunek algebraiczno-geometryczny, który powinien charakteryzować istnienie metryki Kählera-Einsteina na rozmaitości Fano. Stało się to znane jako hipoteza Yau – Tian – Donaldson (dla rozmaitości Fano). Przypuszczenie zostało rozwiązane w 2010 roku w pracach Xiuxiong Chen , Simon Donaldson i Song Sun . Strategia opiera się na metodzie ciągłości w odniesieniu do kąta stożka metryki Kählera-Einsteina z osobliwościami stożka wzdłuż ustalonego dzielnika antykanonicznego, jak a także dogłębne wykorzystanie teorii Cheegera – Coldinga – Tiana dotyczącej granic Gromova – Hausdorffa rozmaitości Kählera z granicami Ricciego.

$Donaldsona$${\ Displaystyle c_ {1} (X)}$ metryk Kählera – Einsteina) : A Fano Manifold dopuszcza metrykę Kählera – Einsteina w klasie do $wtedy$ gdy para K-

Chen, Donaldson i Sun twierdzili, że twierdzenie Tiana o równym priorytecie dowodu jest błędne i oskarżyli go o wykroczenie akademickie. Tian zakwestionował ich roszczenia. Chen, Donaldson i Sun zostali uznani przez prestiżową nagrodę Veblen 2019 Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego za rozwiązanie tej hipotezy. Nagroda Breakthrough przyznała Donaldsonowi nagrodę Breakthrough Prize w dziedzinie matematyki, a Sun nagrodę New Horizons Breakthrough Prize , częściowo opartą na ich pracy z Chenem nad hipotezą.

Niedawno Ved Datar i Gabor Székelyhidi dostarczyli dowód oparty na „klasycznej” metodzie ciągłości, a następnie Chen, Sun i Bing Wang przy użyciu przepływu Kähler – Ricci. Robert Berman, Sébastien Boucksom i Mattias Jonsson również przedstawili dowód z podejścia wariacyjnego.

Rozszerzenie metryki Kählera o stałą krzywiznę skalarną

Oczekuje się, że hipoteza Yau – Tiana – Donaldsona powinna mieć bardziej ogólne zastosowanie do metryk cscK w stosunku do dowolnych gładkich spolaryzowanych odmian. W rzeczywistości hipoteza Yau-Tiana-Donaldsona odnosi się do tego bardziej ogólnego ustawienia, przy czym przypadek rozmaitości Fano jest przypadkiem szczególnym, co zostało przypuszczone wcześniej przez Yau i Tiana. Donaldson oparł się na przypuszczeniach Yau i Tian z przypadku Fano po wprowadzeniu jego definicji K-stabilności dla arbitralnie spolaryzowanych rozmaitości.

Przypuszczenie Yau – Tiana – Donaldsona dotyczące stałych metryk krzywizny skalarnej : Gładka odmiana spolaryzowana $c_ {1} (L)}$$stałą$ metryki Kählera w klasie do wtedy i tylko wtedy, gdy para ${\ Displaystyle (X, L)}$ jest K-polystabilna.

Jak omówiono, hipoteza Yau – Tian – Donaldson została rozwiązana w ustawieniu Fano. W 2009 roku Donaldson udowodnił, że hipoteza Yau – Tian – Donaldson dotyczy odmian torycznych o wymiarze zespolonym 2. Dla dowolnych rozmaitości spolaryzowanych Stoppa udowodnił, również korzystając z prac Arezzo i Pacarda, że ​​istnienie metryki cscK implikuje K-polystabilność. Jest to w pewnym sensie łatwy kierunek przypuszczenia, ponieważ zakłada istnienie rozwiązania trudnego równania różniczkowego cząstkowego i dochodzi do stosunkowo łatwego wyniku algebraicznego. Znaczącym wyzwaniem jest udowodnienie odwrotnego kierunku, że warunek czysto algebraiczny implikuje istnienie rozwiązania PDE.

Przykłady

Gładkie krzywe

Zobacz też: Stabilna krzywa

Pierre'a Deligne'a i Davida Mumforda wiadomo było, że gładkie krzywe algebraiczne są asymptotycznie stabilne w sensie teorii niezmienników geometrycznych, aw szczególności, że są K-stabilne. W tym ustawieniu hipoteza Yau – Tiana – Donaldsona jest równoważna twierdzeniu o uniformizacji . Mianowicie, każda gładka krzywa $rzutowej$ metrykę Kählera-Einsteina o stałej krzywiźnie skalarnej albo przypadku linii ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ , ${\ Displaystyle 0}$ w przypadku krzywych eliptycznych lub ${\ Displaystyle -1}$ w przypadku zwartych powierzchni Riemanna z rodzaju ${\ Displaystyle g>1}$ .

Odmiany Fano

Główny artykuł: K-stabilność odmian Fano

Ustawienie, w którym $narzędzi$ , aby była rozmaitością Fano $,$ ma szczególne znaczenie iw tym ustawieniu znanych jest -stabilność odmian Fano. Na przykład używając technik czysto algebraicznych można udowodnić, że wszystkie hiperpowierzchnie Fermata

$\ Displaystyle F_ {n, d} = \ {z \ in \ mathbb {CP } ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

są k-stabilnymi odmianami Fano dla ${\ Displaystyle 3 \ równoważnik d \ równoważnik n + 1}$ .

Odmiany toryczne

K-stabilność została pierwotnie wprowadzona przez Donaldsona w kontekście rozmaitości torycznych . W ustawieniu torycznym wiele skomplikowanych definicji stabilności K upraszcza się ${\ Displaystyle (X_ {P}, L_{P})}$ dając dane dotyczące momentu polytope $)$ odmiany torycznej . Po pierwsze wiadomo, że aby przetestować K-stabilność, wystarczy rozważyć konfiguracje testów torycznych , gdzie całkowita przestrzeń konfiguracji testowej jest również odmianą toryczną. Każda taka konfiguracja testu torycznego może być elegancko opisana przez wypukłą funkcję w momencie polytope, a Donaldson pierwotnie zdefiniował K-stabilność dla takich funkcji wypukłych. Jeśli konfiguracja testu torycznego ${\ Displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$ dla ${\ Displaystyle (X_ {P}, L_ { P})}$ jest dana przez wypukłą funkcję na ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$ , to niezmiennik Donaldsona-Futakiego można zapisać jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {DF} ({\ mathcal {X}}, {\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\częściowe P }f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

gdzie jest miarą Lebesgue'a na , $d \ sigma}$${\ displaystyle$ jest miarą kanoniczną na granicy $\ mu$${\ displaystyle P}$ wynikającą z jej opisu jako re μ { moment polytope (jeśli krawędź jest dana przez nierówność liniową $równoważnik a}$$\$ dla jakiegoś afinicznego liniowego funkcjonału h na $za$ _ $_$ _ ${\ Displaystyle a = \ nazwa operatora {tom} (\ częściowe P, d \ sigma) / \ nazwa operatora {tom} (P, d \ mu) }$ . Dodatkowo normę konfiguracji testowej można podać przez

${\ Displaystyle \ lewo \ | ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ prawo \ | = \ lewo \ | f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

gdzie $\ displaystyle d \ mu}$ średnią z na ${\ displaystyle P}$$w$$odniesieniu$ do .

Donaldson wykazał, że dla powierzchni torycznych wystarczy przetestować funkcje wypukłe o szczególnie prostej postaci. Mówimy, że funkcja wypukła na $jest$ liniowa , jeśli można ją zapisać jako maksimum ${\ Displaystyle f = \ max (h_ {1}, \ kropki, h_ {n})}$ dla niektórych afinicznych funkcjonałów liniowych ${\ displaystyle h_ {1}, \ kropki, h_ {n}}$ . Zauważ, że zgodnie z definicją stałej $jest$$}$ -Futakiego afinicznego funkcjonału liniowego, więc za {\ displaystyle zawsze możemy przyjąć, że jedna z nich jest stałą funkcją . $h_ {i}$${\ displaystyle$ } Mówimy, że funkcja wypukła jest prosta odcinkowo-liniowa, jeśli składa się z maksymalnie dwóch funkcji, a więc jest dana przez $h)}$$,$ dla jakiejś afinicznej funkcji liniowej $,$ prostej wymiernej fragmentarycznie liniowej jeśli ma wymierne współczynniki. Donaldson wykazał, że dla powierzchni torycznych wystarczy przetestować stabilność K tylko na prostych wymiernych funkcjach odcinkowo-liniowych. Taki wynik jest potężny, o ile możliwe jest łatwe obliczenie niezmienników Donaldsona-Futakiego dla takich prostych konfiguracji testowych, a zatem obliczeniowe określenie, kiedy dana powierzchnia toryczna jest K-stabilna.

Przykładem $_ {2}}$ , pierwsza powierzchnia Hirzebrucha , która jest powiększeniem zespolonej płaszczyzny rzutowej w punkcie względem polaryzacji określonej przez ${\ textstyle L = {\ Frac {1} {2}} (\ pi ^ {*} {\ mathcal {O}} (2) -E)}$ , gdzie $}$${\ Displaystyle \ pi:$${2}$ to powiększenie, a wyjątkowy dzielnik.

Moment polytope pierwszej powierzchni Hirzebrucha .

Miarą na poziomych i pionowych ścianach granicznych polytope są po prostu i $dx}$$displaystyle$ i $\ displaystyle d \ sigma$ } Na ukośnej powierzchni ${$ jest dana przez $-dy)$ dx Rozważ funkcję wypukłą ${\ Displaystyle f (x, y) = x + y}$ na tym polytopie. Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {P} f \, d \ mu = {\ Frac {11} {6}}, \ qquad \ int _ {\częściowe P}f\,d\sigma =6,}$

I

${\ Displaystyle \ operatorname {tom} (P, d \ mu) = {\ Frac {3} {2}} ,\qquad \nazwa_operatora {tom} (\częściowe P,d\sigma )=5,}$

Zatem

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = 6 - {\ Frac {55} {9}} = - {\ Frac {1} 9}<0,}$

więc pierwsza powierzchnia Hirzebrucha $K$ -niestabilna

Pojęcia alternatywne

Stabilność Hilberta i Chowa

K-stabilność wynika z analogii z kryterium Hilberta-Mumforda dla skończenie wymiarowej teorii niezmienników geometrycznych. Możliwe jest bezpośrednie zastosowanie teorii niezmienników geometrycznych w celu uzyskania innych pojęć stabilności dla rozmaitości, które są ściśle związane ze stabilnością K.

Weź spolaryzowaną rozmaitość $(X, L)}$$Displaystyle$$ustal$ wielomianem Hilberta taką że ${\ displaystyle L ^ {r}}$ jest bardzo obfity w zanikającą wyższą kohomologię. Parę $za$ następnie pomocą Hilberta ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {{\ mathcal {P}} (r) -1}}$ z wielomianem Hilberta ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$ .

Ten schemat Hilberta można osadzić w przestrzeni rzutowej jako podschemat Grassmanna (który jest rzutowy poprzez osadzanie Plückera ). ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ({\ mathcal {P}} (r), \ mathbb {C})$ } działa na tym schemacie Hilberta, a dwa punkty na schemacie Hilberta są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im rozmaitości spolaryzowane są izomorficzne. W ten sposób można zastosować teorię niezmienników geometrycznych dla tego działania grupowego, aby uzyskać pojęcie stabilności. Ta konstrukcja zależy od wyboru , więc mówi się, że spolaryzowana odmiana jest $asymptotycznie$ stabilna Hilberta , jeśli jest stabilna w odniesieniu do tego osadzania dla wszystkich $displaystyle r> r_ {0} }\gg 0}$ wystarczająco duże, dla pewnego ustalonego ${\ displaystyle r_ {0}}$ .

Istnieje inne rzutowe osadzenie schematu Hilberta, zwane osadzeniem Chow, które zapewnia inną linearyzację schematu Hilberta, a zatem inny warunek stabilności. Można zatem podobnie zdefiniować asymptotyczną stabilność Chow . Jawnie wagę Chow dla ustalonej można obliczyć jako ${\ displaystyle r> 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Chow} _ {r} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) ={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

dla $dużego$ . W $L ^ {k}}$ do niezmiennika Donaldsona-Futakiego, waga Chow zmienia się, jeśli wiązka linii zostanie zastąpiona pewną potęgą $displaystyle$ . Jednak z wypowiedzi

${\ Displaystyle \ operatorname {Chow} _ {rk} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

obserwuje się to

${\ Displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = \ lim _{k\to \infty}\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

$.$ , ponieważ wymiar przestrzeni rzutowej jest osadzony w zbliżaniu się do nieskończoności

W podobny sposób można zdefiniować asymptotyczną semistabilność Chowa i asymptotyczną semistabilność Hilberta, a różne pojęcia stabilności są powiązane w następujący sposób:

Asymptotycznie Chow stabilny ${\ Displaystyle \ implikuje}$ Asymptotycznie stabilny Hilberta ${\ Displaystyle \ implikuje}$ Asymptotycznie półstabilny Hilberta ${\ Displaystyle \ implikuje}$ Asymptotycznie Chow półstabilny ${\ Displaystyle \ implikuje}$ K-semistable

Nie wiadomo jednak, czy stabilność K implikuje asymptotyczną stabilność Chow.

Stabilność K na zboczu

Pierwotnie Yau przewidział, że prawidłowe pojęcie stabilności dla rozmaitości powinno być analogiczne do stabilności zbocza dla wiązek wektorowych. Julius Ross i Richard Thomas opracowali teorię stabilności zbocza dla odmian, znaną jako K-stabilność zbocza . Ross i Thomas wykazali, że dowolną konfigurację testową uzyskuje się zasadniczo przez wysadzenie odmiany wzdłuż sekwencji $\$$mathbb {C} ^ { *}}$ niezmienne ideały, wsparte na centralnym włóknie. Ten wynik jest w dużej mierze zasługą Davida Mumforda. ${\ displaystyle X \ razy \ mathbb {C}}$ przez powiększenie wzdłuż ideału postaci

${\ Displaystyle I = I_ {0} + tI_ {1 }+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\ czasami \mathbb {C} [t],}$

gdzie jest współrzędną na $displaystyle \ mathbb {C}}$$\$ . Przyjęcie poparcia ideałów odpowiada wysadzeniu flagi podprogramów

${\ Displaystyle Z_ {r-1} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór Z_ {2} \ podzbiór Z_ {1} \ podzbiór Z_ {0} \ podzbiór X }$

wewnątrz kopii ${\ displaystyle X \ razy \ {0 \}}$ z $× {\ displaystyle X}$ . Ten rozkład uzyskuje się zasadniczo $,$ biorąc rozkład niezmiennego ideału $w$ pod działanie

W szczególnym przypadku, gdy ta flaga podschematów ma długość jeden, niezmiennik Donaldsona-Futakiego można łatwo obliczyć i dochodzi się do nachylenia K-stabilności. Biorąc ${\ Displaystyle Z \$ uwagę podschemat zdefiniowany przez idealny snop konfiguracja testu jest dana przez $podzbiór X }$

${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} = \ operatorname {Bl} _ {Z \ razy \ {0 \}} (X \ razy \ mathbb {C} )}$

co jest odkształceniem do normalnego stożka osadzania ${\ Displaystyle Z \ hookrightarrow X}$ .

${\ Displaystyle X} ma$ wielomian Hilberta $+ O (k ^ {n-2})} ,$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = a_ {0} k ^ {n} + a_ {1} k ^ {n-1$$\ displaystyle X}$ zdefiniuj nachylenie X {

${\ Displaystyle \ mu (X) = {\ Frac {a_ {1}} {a_ {0}}}.}$

Aby zdefiniować nachylenie podschematu $Hilberta$ rozważmy wielomian -Samuela podschematu ${\ displaystyle Z}$

${\ Displaystyle \ chi (L ^ {r} \ czasami ja_ {Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

dla $​​x$ jest to liczba wymierna taka, że $displaystyle xr$$in \ mathbb {N}$ . Za ${\ Displaystyle a_ {i} (x)}$ są wielomianami $Displaystyle$$ni}$ i nachyleniem K $Displaystyle I_ {Z}}$ w odniesieniu do $}$ jest zdefiniowany przez do {\ displaystyle \

${\ Displaystyle \ mu _ {c} (I_ {Z}) = {\ Frac {\ int _ {0} ^ {c} {\ duży (} a_ {1} (x) + {\ Frac {a_ {0 }'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Ta definicja ma sens dla każdego wyboru liczby rzeczywistej gdzie $\ Displaystyle c \ in (0,$ do ∈ $(Z)$ stała Seshadri z . $Zauważ$ , że biorąc, nachylenie $= \ emptyset}$$.$ Para ${\ Displaystyle (X, L)}$ jest nachyleniem K-semistable , jeśli dla wszystkich właściwych podschematów ${\ Displaystyle Z \ podzbiór X}$ , ${\ Displaystyle \ mu _ {c} (I_ {Z}) \ równoważnik \ mu (X)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle c \ in (0, \ epsilon (Z)]}$ (można również zdefiniować nachylenie K-stateczność i nachylenie K-polystability , wymagając, aby ta nierówność była ścisła, z pewnymi dodatkowymi warunkami technicznymi).

Ross i Thomas wykazali, że K-semistability implikuje nachylenie K-semistability. Jednak w przeciwieństwie do wiązek wektorowych nie jest tak, że stabilność K nachylenia implikuje stabilność K. W przypadku wiązek wektorowych wystarczy wziąć pod uwagę tylko pojedyncze podsieci, ale w przypadku odmian konieczne jest uwzględnienie również flag o długości większej niż jeden. Mimo to stabilność K nachylenia może być nadal wykorzystywana do identyfikacji odmian K-niestabilnych, a zatem wyniki Stoppa utrudniają istnienie metryk cscK. Na przykład Ross i Thomas używają stabilności K nachylenia, aby pokazać, że rzutowanie niestabilnej wiązki wektorów na bazie K-stabilnej jest K-niestabilna, a więc nie dopuszcza metryki cscK. Jest to odwrotność wyników Honga, które pokazują, że rzutowanie stabilnej wiązki na podstawie dopuszczającej metrykę cscK również dopuszcza metrykę cscK, a zatem jest K-stabilne.

Filtracja K-Stabilność

Praca Apostolowa – Calderbanka – Gauduchona – Tønnesena-Friedmana pokazuje istnienie rozmaitości, która nie dopuszcza żadnej ekstremalnej metryki, ale nie wydaje się być zdestabilizowana przez żadną konfigurację testową. Sugeruje to, że podana tutaj definicja stabilności K może nie być wystarczająco precyzyjna, aby ogólnie sugerować hipotezę Yau – Tian – Donaldson. Jednak ten przykład jest zdestabilizowany przez limit konfiguracji testowych. Doprecyzował to Székelyhidi , który wprowadził filtrację K-stabilność . Filtracja jest tutaj filtracją pierścienia współrzędnych

${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {k \ geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {k})}$

odmiany spolaryzowanej ${\ Displaystyle (X, L)}$ . Rozważane filtracje muszą być zgodne z oceną na pierścieniu współrzędnych w następującym sensie: A filtracja z $R}$${\ displaystyle$ jest łańcuchem podprzestrzeni o skończonych wymiarach χ {\ displaystyle \ chi

${\ Displaystyle \ mathbb {C} = F_ {0} R \ podzbiór F_ {1} R \ podzbiór F_ {2} R \ podzbiór \ kropki \ podzbiór R}$

tak, aby spełnione były następujące warunki:

1. Filtracja jest multiplikatywna . To znaczy ${\ Displaystyle (F_ {i} R) (F_ {j} R) \ podzbiór F_ {i + j} R}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i, j \ geq 0}$ .
2. Filtracja jest zgodna z oceną pochodzącą z ocenianych elementów $) {\ Displaystyle R_ {k}$$^ {0} (X, L ^ {k} )}$ . Oznacza to, że jeśli , $F_ {i} R$ jednorodny kawałek $jest$ w $ja$ .
3. Filtracja wyczerpuje ${\ displaystyle R}$ . Oznacza to, że mamy ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ geq 0} F_ {i} R = R}$ .

Biorąc pod uwagę filtrację , jej algebra Reesa jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Rees} (\ chi) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} (F_ {i} R) t ^ {i} \ podzbiór R [t].}$

Mówimy, że filtracja jest generowana skończenie, jeśli jej algebra Reesa jest generowana skończenie. David Witt Nyström udowodnił, że filtracja jest generowana skończenie wtedy i tylko wtedy, gdy wynika z konfiguracji testowej, a Székelyhidi, że każda filtracja jest granicą skończenie generowanych filtracji. Łącząc te wyniki, Székelyhidi zauważył, że przykład Apostolowa-Calderbanka-Gauduchon-Tønnesena-Friedmana nie naruszałby hipotezy Yau – Tiana – Donaldsona, gdyby stabilność K została zastąpiona stabilnością K filtracji. Sugeruje to, że definicja stabilności K może wymagać edycji, aby uwzględnić te ograniczające przykłady.

Zobacz też

• Rozmaitość Kählera
• Metryka Kählera-Einsteina
• K-stabilność odmian Fano
• Geometryczna teoria niezmienników
• Przypuszczenie Calabiego
• Korespondencja Kobayashiego – Hitchina
• Stabilna krzywa