Rozkład Cartana

W matematyce rozkład Cartana jest rozkładem półprostej grupy Liego lub algebry Liego , która odgrywa ważną rolę w ich teorii struktury i teorii reprezentacji . Uogólnia rozkład biegunowy lub rozkład na wartości osobliwe macierzy. Jego historię można prześledzić do prac Élie Cartana i Wilhelma Killinga z lat 80. XIX wieku .

Inwolucje Cartana na algebrach Liego

Niech $_$ prawdziwą półprostą algebrą i $będzie$ _ _ Inwolucja na $.$ automorfizmem algebry $jest$ , której $równy$ tożsamości Taka inwolucja nazywana jest inwolucją Cartana , jeśli $:$${\ Displaystyle B _ {\ theta} (X$ jest dodatnio określoną postacią dwuliniową .

Dwie inwolucje $jeśli$ są uważane za równoważne, różnią $.$ automorfizmem

Każda prawdziwa półprosta algebra Liego ma inwolucję Cartana, a dowolne dwie inwolucje Cartana są równoważne.

Przykłady

• Inwolucja Cartana na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {R})}$ jest zdefiniowana przez $= - X ^ {T}}$${\ Displaystyle \ theta (X$${\ displaystyle X}$$T$ gdzie oznacza macierz transpozycji .
• Mapa tożsamości na $inwolucją$ . Jest to unikalna inwolucja Cartana ${$$\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ zabijania jest ujemnie określona lub równoważnie wtedy i tylko wtedy, gdy sol ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest algebrą Liego zwartej , półprostej grupy Liego.
• Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ będzie złożonością prawdziwej półprostej algebry Lie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ , a następnie złożoną koniugacją na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest inwolucją na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . To jest inwolucja Cartana na $wtedy$$jest$ tylko wtedy, gdy Liego zwartej grupy Liego.
• Poniższe mapy są inwolucjami algebry Liego specjalnej grupy unitarnej SU (n) : ${\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$
  1. Inwolucja tożsamości $.$ w tym
  2. $) = -X ^ {T}}$ X na s $\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$ .
  3. n ${\ Displaystyle n = p + q}$ jest nieparzyste, $\ Displaystyle \ theta _ {3} (X )={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{ pmatrix}}}$ . Inwolucje (1), (2) i (3) są równoważne, ale nie równoważne inwolucji tożsamości, ponieważ ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} I_ {p} &0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$ .
  4. n ${\ Displaystyle n = 2m}$ jest parzysta, jest też ${4} ( X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0 \end{pmacierz}}}$ .

Pary kartanów

Niech będzie inwolucją na algebrze Lie $theta$$\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} θ {\ displaystyle \$ } Ponieważ ${\ Displaystyle \ theta ^ {2} = 1}$ , mapa liniowa $Displaystyle$ dwie wartości własne $\ pm 1}$ . Jeśli i oznaczają przestrzenie ${\ mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ odpowiadające odpowiednio +1 i -1, to $Displaystyle$$\$ . Ponieważ jest automorfizmem algebry Liego, nawias Liego dwóch jego przestrzeni własnych jest zawarty w przestrzeni własnej odpowiadającej iloczynowi ich wartości $własnych$ Wynika, że

${\ Displaystyle [{\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {k}}] \ subseteq {\ mathfrak {k}}}, [ k,$ p ${ \ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}] \ subseteq {\ mathfrak {p}}} i [ p , p ]$ ⊆ $mathfrak {p}}, {\ mathfrak { p}}] \ subseteq {\ mathfrak {k}}}$ .

Zatem $jest$ podalgebrą Liego, podczas gdy dowolna $jest$ .

I odwrotnie, rozkład z tymi dodatkowymi właściwościami określa inwolucję $sol$${g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$$sol {\$ Displaystyle ${\ mathfrak {g}}}$ , czyli ${\ Displaystyle + 1}$ na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}}}$ i $Displaystyle -1}$ na ${\ styl wyświetlania {\ mathfrak {p}}}$ .

$mathfrak$ para jest również nazywana Cartana sol {\ Displaystyle $}}}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}} {\ mathfrak {k}})}$ nazywa się parą symetryczną . $z$ pojęcia pary Cartana nie należy tutaj mylić obejmującym kohomologię .

Rozkład związany z $inwolucją$ nazywany jest rozkładem Cartana sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$ . Cechą szczególną rozkładu Cartana jest to, że forma zabijania jest określona ujemnie na $displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ dodatnio określona na ${\$ . Ponadto $}}$$k}$ i są wzajemnie ortogonalnymi uzupełnieniami w odniesieniu do formy zabijania na $\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ .

Dekompozycja Cartana na poziomie grupy Liego

Niech będzie $niezwartą$ , półprostą grupą Liego i $.$ Liego Niech będzie inwolucją Cartana na $}}}$$\ Displaystyle {\ mathfrak {$ i niech ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p} })}$ będzie wynikową parą Cartana. Niech będzie podgrupą analityczną z algebrą Lie $\ displaystyle {\ mathfrak$$}}$${ k$ . Następnie:

• Istnieje automorfizm grupy Liego $1 {$ różniczką $displaystyle$ tożsamości, która spełnia $\ Theta ^ {2} = 1}$ .
• Podgrupa elementów ustalona przez ${\ displaystyle \ Theta}$ to ${\ displaystyle K}$ ; w szczególności $jest$ zamkniętą podgrupą
• $}} \ rightarrow G}$ sol {\ Displaystyle K \ razy {\ mathfrak { ${\ Displaystyle (k, X) \ mapsto k\cdot \mathrm {wyr} (X)}$ podane przez jest dyfeomorfizmem .
• Podgrupa jest maksymalnie zwartą podgrupą , $ilekroć$$środek$ skończony.

Automorfizm $.$ również nazywany inwolucją Cartana a dyfeomorfizm $Cartana$ globalnym Jeśli napiszemy, że ${\ Displaystyle P = \ operatorname {exp} ({\ mathfrak {p}}) \ podzbiór G}$ to mówi, że mapa produktu ${\ displaystyle K\times P\rightarrow G}$ jest dyfeomorfizmem, więc ${\ Displaystyle G = KP}$ .

$_$ ogólnej _

Udoskonalenie rozkładu Cartana dla symetrycznych przestrzeni typu zwartego lub niezwartego stwierdza, że ​​maksymalne podalgebry abelowe są unikalne aż do koniugacji za ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ p $\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ przez ${\ displaystyle K}$ . Ponadto,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ mathfrak {p}} = \ bigcup _ {k \ w K} \ operatorname {Reklama} \, k \ cdot {\ mathfrak {a}}.} \ qquad {\ tekst {i} } \ qquad \ displaystyle {P = \ bigcup _ {k \ w K} \ operatorname {Reklama} \, k \ cdot A.}}$

gdzie ${\ Displaystyle A = e ^ {\ mathfrak {a}}}$ .

W zwartym i niezwartym przypadku implikuje to globalny rozkład Cartana

${\ Displaystyle G = KP = KAK,}$

$Geometrycznie$ obraz $podgrupy$ geodezyjną podrozmaitością _ _

Związek z rozkładem polarnym

Rozważ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {R})}$ z inwolucją Cartana ${\ Displaystyle \ theta (X) = -X^{T}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}} = {\ mathfrak {więc}} _ {n} (\ mathbb {R})} jest$ rzeczywistą algebrą Liego skośności $. Zatem mapa$$,$ tak że , podczas macierzy $wykładnicza$ jest dyfeomorfizmem z przestrzeni dodatnio określonych macierzy Aż do tej mapy wykładniczej globalny rozkład Cartana jest rozkładem biegunowym macierzy. Polarny rozkład odwracalnej macierzy jest wyjątkowy.

Zobacz też

• Dekompozycje grup kłamstw

Notatki

•    Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Pure and Applied Mathematics, tom. 80, Prasa Akademicka, ISBN 0-8218-2848-7 , MR 0514561
•    Kleiner, Izrael (2007). Kleiner, Izrael (red.). Historia algebry abstrakcyjnej . Boston, MA: Birkäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN 978-0817646844 . MR 2347309 .
•    Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bas, Hyman ; Oesterlé, Józef ; Alan, Weinstein (red.). Grupy kłamstw poza wprowadzeniem . Postęp w matematyce. Tom. 140 (wyd. 2). Boston, MA: Birkäuser. ISBN 0-8176-4259-5 . MR 1920389 .