Półprosta reprezentacja

W matematyce, szczególnie w teorii reprezentacji , półprosta reprezentacja (zwana także reprezentacją całkowicie redukowalną ) jest liniową reprezentacją grupy lub algebry , która jest bezpośrednią sumą prostych reprezentacji (zwanych także reprezentacjami nieredukowalnymi ). Jest to przykład ogólnego matematycznego pojęcia półprostoty .

Wiele reprezentacji pojawiających się w zastosowaniach teorii reprezentacji jest półprostych lub można je przybliżyć za pomocą reprezentacji półprostych. Półprosty moduł nad algebrą nad polem jest przykładem półprostej reprezentacji. I odwrotnie, półprosta reprezentacja grupy G na polu k jest półprostym modułem na pierścieniu grupowym k [ G ].

Równoważne charakterystyki

Niech V będzie reprezentacją grupy G ; lub bardziej ogólnie, niech V będzie przestrzenią wektorową ze zbiorem liniowych endomorfizmów działających na nią. Ogólnie rzecz biorąc, mówi się, że przestrzeń wektorowa, na którą działa zestaw endomorfizmów liniowych , jest prosta (lub nieredukowalna), jeśli jedynymi niezmiennymi podprzestrzeniami dla tych operatorów są zero i sama przestrzeń wektorowa; półprosta reprezentacja jest zatem bezpośrednią sumą prostych reprezentacji w tym sensie.

Następujące są równoważne:

1. V jest półproste jako reprezentacja.
2. V jest sumą prostych podreprezentacji .
3. Każda podreprezentacja W z V dopuszcza komplementarną reprezentację : podreprezentację W ' taką, że ${\ Displaystyle V = W \ oplus W'}$ .

Równoważności powyższych warunków można pokazać na podstawie następnego lematu, który ma niezależne znaczenie:

Lemat — Niech p : V → W będzie surjektywną mapą ekwiwariantną między reprezentacjami. Jeśli V jest półproste, to p dzieli ; tj. przyznaje sekcję .

$_$ lematu : _ $_$ _ Bez $że$ ogólności możemy założyć, podreprezentacjami; tj. możemy założyć, że suma bezpośrednia jest wewnętrzna. Rozważmy teraz rodzinę wszystkich możliwych sum bezpośrednich ${\ Displaystyle V_ {J}: = \ bigoplus _ {i \ w J} V_ {i} \ podzbiór V}$ z różnymi podzbiorami ${\ Displaystyle J \ podzbiór I}$ . Umieść na nim częściowe uporządkowanie, mówiąc, że bezpośrednia suma po K jest mniejsza niż bezpośrednia suma po J , jeśli ${\ displaystyle K \ podzbiór J}$ . Za pomocą Zorna możemy znaleźć $takie$ że ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} p \ cap V_ {J} = 0}$ . Twierdzimy, że ${\ Displaystyle V = \ operatorname {ker} p \ oplus V_ {J}}$ . Z definicji ${\ displaystyle \ operatorname {ker} p \ cap V_ {J} = 0}$ , więc wystarczy pokazać, że ${\ displaystyle V = \ nazwa operatora {ker} p+V_{J}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} p + V_ {J}}$ jest właściwą podreprezentacją ${\ Displaystyle V}$ wtedy istnieje ${\ Displaystyle k \ w IJ}$ takie, że ${\ Displaystyle V_ {k} \ nie \ podzbiór \ operatorname {ker} p + V_ {J}}$ . Ponieważ $nieredukowalny$ ), ${\ Displaystyle V_ {k} \ cap (\ operatorname {ker} p + V_ {J}) = 0}$ . Jest to sprzeczne z maksymalizmem , więc $Displaystyle$$V = \ operatorname {ker} p \ oplus V_ {J}},$ twierdzono. Stąd ${\ Displaystyle W \ simeq V / \ operatorname {ker} p \ simeq V_ {J} \ do V}$ jest sekcją p . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zauważ, że nie możemy wziąć $p$ zbioru takiego, że $V_ {i} = 0}$$cap$ . Powodem jest to, że może się zdarzyć i często tak się dzieje, że jest podprzestrzenią $\$$Y \ oplus Z}$ , a jednak ${\ Displaystyle X \ cap Y = 0 = X \ cap Z}$ . $_$$linie$ przykład trzy odrębne $.$$w$ początek _ Aby uzyskać wyraźny kontrprzykład, niech $.$ algebrą $Displaystyle A = \ operatorname {Mat} _ {2}$$regularną$ i reprezentację $_$ _ Ustaw ${\ Displaystyle V_ {1} = {\ Bigl \ {} {\ rozpocząć {pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \ koniec {pmatrix}} {\ Bigr \}}}$ i ${\ Displaystyle V_ {2} = {\ Bigl \ {} {\ rozpocząć {pmatrix} 0 & c \\ 0 i d \ koniec {pmatrix}} {\ Bigr \}}} i$ ustawić ${\ Displaystyle W = {\ Bigl \ {} {\ rozpocząć {pmatrix} c & c \\ d & d \ koniec {pmatrix}} {\ Bigr \}}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle V_ {1}}$ , ${\ Displaystyle V_ {2}}$ i ${\ Displaystyle W}$ są nieredukowalnymi -modułami ${\ Displaystyle A}$ i ${\ styl wyświetlania V=V_{1}\oplus V_{2}}$ . Niech ${\ Displaystyle p: V \ do V/W}$ będzie naturalną suriekcją. Wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} p = W \ neq 0}$ i ${\ Displaystyle V_ {1} \ cap \ operatorname {ker } p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$ . W tym przypadku ${\ Displaystyle W \ simeq V_ {1} \ simeq V_ {2}}$ ale ${\ Displaystyle V \ neq \ operatorname {ker} p \ oplus V_ {1} \ oplus V_{2}}$ , ponieważ ta suma nie jest bezpośrednia.

Dowód równoważności ${\ Displaystyle 1 \ Rightarrow 3.}$ : Weź p za naturalną surjekcję ${\ Displaystyle V \ do V/W}$ . Ponieważ V jest półproste, p dzieli się, a więc przez sekcję jest izomorficzne z podreprezentacją, która $jest$ W

${\ Displaystyle 3. \ Strzałka w prawo 2.}$ : Najpierw zauważymy, że każda niezerowa podreprezentacja W ma prostą podreprezentację. Zmniejszając W do (niezerowej) cyklicznej podreprezentacji, możemy założyć, że jest ona generowana w sposób skończony. Wtedy ma maksymalną podreprezentację U . Zgodnie z warunkiem 3. ${\ Displaystyle V = U \ oplus U '}$ dla pewnego ${\ Displaystyle U'}$ . Zgodnie z prawem modułowym oznacza to, że ${\ Displaystyle W = U \ oplus (W \ cap U ')}$ . Wtedy ${\ Displaystyle (W \ cap U ') \ simeq W / U}$ jest prostą podreprezentacją W („prosta” ze względu na maksymalność). To ustala obserwację. Teraz weź ${\ displaystyle W}$ być sumą wszystkich prostych podreprezentacji, co przez 3 dopuszcza reprezentację komplementarną. ${\ displaystyle W'}$ . Jeśli ${\ Displaystyle W'\ neq 0}$ , to według wczesnych obserwacji ${\ Displaystyle W'}$ zawiera prostą podreprezentację, więc ${\ Displaystyle W \ czapka W'\ neq 0}$ , bzdura. Stąd ${\ displaystyle W'=0}$ .

${\ Displaystyle 2. \ Strzałka w prawo 1.}$ : Implikacją jest bezpośrednie uogólnienie podstawowego faktu algebry liniowej, że podstawę można wyodrębnić ze zbioru obejmującego przestrzeń wektorową. Oznacza to, że możemy udowodnić następujące, nieco dokładniejsze stwierdzenie:

• Kiedy $sumą$$I'} V_ {i}}$ półprosty $rozkład$$,$ , jakiś podzbiór można wyodrębnić z sumy

Podobnie jak w dowodzie lematu, możemy znaleźć maksymalną sumę bezpośrednią $'$$.$ się z kilku s Teraz, dla każdego i w ja , dla uproszczenia, albo V $\ Displaystyle V_ {i} \$$W = 0} V ja ⊂ W {\ Displaystyle V_ {i} \$ . W drugim przypadku suma bezpośrednia ${\ Displaystyle W \ oplus V_ {i}}$ jest sprzecznością z maksymalizmem W . Stąd ${\ displaystyle V_ {i} \ podzbiór W}$ . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Przykłady i nie-przykłady

Reprezentacje unitarne

Skończenie wymiarowa reprezentacja unitarna (tj. reprezentacja uwzględniająca grupę unitarną ) jest podstawowym przykładem reprezentacji półprostej. Taka reprezentacja jest półprosta, ponieważ jeśli $sol {$$\ w G}$ podreprezentacją , to dopełnienie ortogonalne do jest reprezentacją komplementarną, ponieważ jeśli i , wtedy $\ Displaystyle \ langle \ pi (g) v, w \ rangle = \ langle v, \ pi (g ^ {- 1}) w \ rangle = 0}$ dla dowolnego w w W , ponieważ W jest G -niezmiennikiem, więc ${\ Displaystyle \ pi (g) v \ w W ^ {\ bot}}$ .

$lub$ pod uwagę ciągłą reprezentację zespoloną skończonych wymiarów grupy zwartej na argumentu można zdefiniować $niezmienny$ wewnętrzny na V który jest G - : tj ${\ Displaystyle \ langle \ pi (g) v \ pi (g) w \ rangle = \ langle v, w \ rangle} π$$Displaystyle \ pi (g)}$ g jest operatorem unitarnym, więc $.$ reprezentacją unitarną Stąd każda skończenie wymiarowa ciągła zespolona reprezentacja G jest półprosta. Dla grupy skończonej jest to szczególny przypadek twierdzenia Maschkego , co mówi, że skończenie wymiarowa reprezentacja skończonej grupy G nad polem k o charakterystyce niepodzielającej rzędu G jest półprosta.

Reprezentacje półprostych algebr Liego

Zgodnie z twierdzeniem Weyla o całkowitej redukowalności , każda skończenie wymiarowa reprezentacja półprostej algebry Liego na polu charakterystycznego zera jest półprosta.

Rozdzielne minimalne wielomiany

Biorąc pod uwagę liniowy endomorfizm T przestrzeni wektorowej V , V jest półprostą reprezentacją T (tj. T jest operatorem półprostym ) wtedy i tylko wtedy, gdy minimalny wielomian T jest separowalny; tj. iloczyn różnych nieredukowalnych wielomianów.

Powiązana półprosta reprezentacja

Biorąc pod uwagę skończoną reprezentację V , twierdzenie Jordana – Höldera mówi, że istnieje filtracja przez podreprezentacje: ${n} = 0}$${\ Displaystyle V = V_ {0} \ supset V_ {1} \ supset$$supset$ , że każdy kolejny iloraz reprezentacją Wtedy powiązana przestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {gr} V: = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n-1} V_ {i} / V_ {i + 1}}$ jest półprostą reprezentacją zwaną powiązaną reprezentacją półprostą , która z dokładnością do izomorfizmu jest jednoznacznie określona przez V .

Grupa unipotentna nie jest przykładem

Reprezentacja grupy unipotentnej generalnie nie jest półprosta. Weźmy $}$ składającą się z rzeczywistych macierzy ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i a \\& 1 \ koniec {bmatrix}}$ ; działa na ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ w naturalny sposób i sprawia, że ​​V jest reprezentacją G . Jeśli W jest podreprezentacją V który ma wymiar 1, to proste obliczenie pokazuje, że musi być rozciągnięty przez wektor ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\ 0 \ koniec {bmatrix}}}$ . Oznacza to, że istnieją dokładnie trzy G -podreprezentacje V ; w szczególności V nie jest półprosta (ponieważ unikalna jednowymiarowa podreprezentacja nie dopuszcza reprezentacji komplementarnej).

Semiprosta dekompozycja i krotność

Zobacz też: Dekompozycja modułu

Dekompozycja reprezentacji półprostej na reprezentację prostą, nazywana dekompozycją półprostą, nie musi być jednoznaczna; na przykład dla trywialnej reprezentacji proste reprezentacje są jednowymiarowymi przestrzeniami wektorowymi, a zatem półprosta dekompozycja sprowadza się do wyboru podstawy przestrzeni wektorowej reprezentacji. rozkład izotypowy jest przykładem rozkładu unikalnego.

Jednak w przypadku skończenie wymiarowej półprostej reprezentacji V na algebraicznie zamkniętym polu liczba prostych reprezentacji aż do izomorfizmów występujących w rozkładzie V (1) jest niepowtarzalna i (2) całkowicie determinuje reprezentację aż do izomorfizmów; jest to konsekwencją lematu Schura w następujący sposób. Załóżmy, że półprosta reprezentacja skończonych wymiarów V nad ciałem algebraicznie domkniętym: z definicji jest to bezpośrednia suma prostych reprezentacji. Grupując razem proste reprezentacje w rozkładzie, które są względem siebie izomorficzne, aż do izomorfizmu, znajduje się rozkład (niekoniecznie unikalny):

${\ Displaystyle V \ simeq \ bigoplus _ {i} V_ {i} ^ {\ oplus m_ {i}}}$

gdzie $,$$reprezentacjami$ nieizomorficznymi względem siebie i dodatnimi liczbami całkowitymi Z lematu Schura,

${\ Displaystyle m_ {i} = \ słaby \ operatorname {Hom} _ {\ tekst {równoważnik}} ( V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{równoważnik}}(V,V_{i})}$ ,

gdzie ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ tekst {równoważnik}}}$ odnosi się do równoważnych map liniowych . Ponadto każdy $V$${i}}$ , jeśli zastąpiony inną prostą reprezentacją izomorficzną z $V_$ . Zatem liczby całkowite są niezależne od wybranych rozkładów; ${\ displaystyle m_ {i}}$ są to wielokrotności prostych reprezentacji $aż$ izomorfizmów V .

Ogólnie rzecz $pod$${\ Displaystyle \ chi _ {V}: G {\ overset {\ pi} {\ do}} GL (V) {\ overset {\ tekst {tr}} {\ do}} k }$ wymiarową grupy polu k , się znakiem ( ${\ Displaystyle (\ pi, V)}$ . ( ${\ Displaystyle (\ pi, V)}$ jest półprosty z rozkładem $\ Displaystyle V \ simeq \ bigoplus _ {i} V_ {i} ^ {\ oplus m_ {i}}}$ jak wyżej, ślad jest sumą śladów ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ pi (g))}$${\ Displaystyle \ pi (g): V_ {i} \ do V_ {i}}$ z wielokrotnościami, a zatem jako funkcje na G ,

${\ Displaystyle \ chi _ {V} = \ suma _ {i} m_ {i} \ chi _ {V_ {i}}}$

gdzie ${\ displaystyle \ chi _ {V_ {i}}}$ są znakami ${\ displaystyle V_ {i}}$ . Kiedy G jest grupą skończoną lub bardziej ogólnie grupą zwartą, a reprezentacją jednostkową z iloczynem wewnętrznym określonym przez argument uśredniania, $relacje$ ortogonalności Schura mówią: nieredukowalne znaki (znaki prostych reprezentacji G są ortonormalnym podzbiorem przestrzeni funkcji o wartościach zespolonych na G , a zatem ${\ Displaystyle m_ {i} = \ langle \ chi _ {V} \ chi _ {V_ {i}} \ rangle}$ .

Rozkład izotypowy

Istnieje dekompozycja półprostej reprezentacji, która jest unikalna, zwana dekompozycją izotypową reprezentacji. Z definicji, biorąc pod uwagę reprezentację prostą S , składowa izotypowa reprezentacji V typu S jest sumą wszystkich podreprezentacji V , które są izomorficzne z S ; zauważ, że składnik jest również izomorficzny z bezpośrednią sumą pewnego wyboru podreprezentacji izomorficznych z S (więc składnik jest unikalny, podczas gdy sumy nie są konieczne).

Wtedy rozkład izotypowy półprostej reprezentacji V jest (unikatowym) rozkładem sumy bezpośredniej:

${\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {\ lambda \ w {\ widehat {G}}} V ^ {\ lambda}}$

gdzie jest zbiorem klas izomorfizmu prostych reprezentacji $\ widehat {G}}$$. sol$ jest składową izotypową V typu S dla pewnego ${\ Displaystyle S \ w \ lambda}$ { .

Przykład

Niech $będzie$ przestrzenią jednorodnych wielomianów trzeciego stopnia nad liczbami zespolonymi w zmiennych ${1}, x_ {2}, x_ {3}}$ . Wtedy ${\ displaystyle S_ {3}}$ działa na ${\ displaystyle V}$ przez permutację trzech zmiennych. Jest to skończenie wymiarowa złożona reprezentacja skończonej grupy, a więc jest półprosta. Dlatego tę 10-wymiarową reprezentację można podzielić na trzy składowe izotypowe, z których każdy odpowiada jednej z trzech nieredukowalnych reprezentacji ${\ displaystyle S_ {3}}$ . W szczególności $trzy kopie trywialnej reprezentacji,$ jedną kopię reprezentacji znaku i trzy $kopie$ dwuwymiarowej nieredukowalnej ${\ Displaystyle S_ {3}}$ . Na przykład rozpiętość ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} -x_ {2} ^ {2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$ i ${\ Displaystyle x_ {2} ^ {2} x_ {3} -x_ {3} ^ {2} x_ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {1} -x_ { 3} ^ {2} x_ {1}}$ jest izomorficzne z ${\ Displaystyle W}$ . Można to łatwiej zobaczyć, zapisując tę ​​dwuwymiarową podprzestrzeń jako

${\ Displaystyle W_ {1} = \ {a (x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3}) + b (x_ {2} ^ { 2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\ środek a+b+c=0\}}$ .

Inną kopię można zapisać w podobnej formie: ${\ displaystyle W}$

${\ Displaystyle W_ {2} = \ {a (x_ {2} ^ {2} x_ {1} + x_ {3} ^ {2} x_ {1}) + b (x_ {1} ^ { 2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\ środek a+b+c=0\}}$ .

A może trzeci:

${\ Displaystyle W_ {3} = \ {ax_ {1} ^ {3} + bx_ {2} ^ {3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}$ .

W $\ oplus W_ {2} \ oplus W_ {3}}$ jest składnikiem izotypowym typu ${\ displaystyle W}$ w ${\ displaystyle V}$ .

Ukończenie

W analizie Fouriera rozkłada się (ładną) funkcję jako granicę szeregu Fouriera funkcji. W podobny sposób sama reprezentacja może nie być półprosta, ale może być uzupełnieniem (w odpowiednim sensie) półprostej reprezentacji. Najbardziej podstawowym tego przykładem jest twierdzenie Petera-Weyla , które rozkłada lewą (lub prawą) regularną reprezentację zwartej grupy na uzupełnienie w przestrzeni Hilberta bezpośredniej sumy wszystkich prostych reprezentacji jednostkowych. Następstwem jest naturalny rozkład dla ${\ Displaystyle W = L ^ {2} (G)}$ = przestrzeń Hilberta (klas) funkcji całkowalnych do kwadratu na grupie zwartej G :

${\ Displaystyle W \ simeq {\ widehat {\ bigoplus _ {[(\ pi, V)]}}} V ^ {\ oplus \ dim V} }$

gdzie ${\ Displaystyle {\ widehat {\ bigoplus}}}$ oznacza uzupełnienie sumy bezpośredniej, a suma bezpośrednia przebiega po wszystkich klasach izomorfizmu prostych skończenie wymiarowych reprezentacji jednostkowych ${\ Displaystyle (\ pi, V)$ } z G. Zauważmy tutaj, że każda prosta reprezentacja unitarna (z dokładnością do izomorfizmu) występuje w sumie z krotnością wymiaru reprezentacji.

Gdy grupa G jest grupą skończoną, przestrzeń wektorowa $jest$ po prostu algebrą grupy G a Zatem twierdzenie po prostu mówi, że

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [G] = \ bigoplus _ {[(\ pi, V)]} V ^ {\ oplus \ dim V}.}$

Oznacza to, że każda prosta reprezentacja G pojawia się w reprezentacji regularnej z krotnością wymiaru reprezentacji. Jest to jeden ze standardowych faktów w teorii reprezentacji skończonej grupy (i znacznie łatwiejszy do udowodnienia).

Kiedy grupa G jest grupą kołową $to$ dokładnie odpowiada klasycznej analizie Fouriera

Zastosowania w fizyce

W mechanice kwantowej i fizyce cząstek elementarnych moment pędu obiektu można opisać za pomocą złożonych reprezentacji grupy rotacji|SO(3) , z których wszystkie są półproste. Ze względu na związek między SO(3) i SU(2) , nierelatywistyczny spin cząstki elementarnej jest opisany przez złożone reprezentacje SU(2) , a spin relatywistyczny jest opisany przez złożone reprezentacje SL ₂ ( C ) , z których wszystkie są półproste. W sprzężeniu momentu pędu współczynniki Clebscha – Gordana wynikają z krotności reprezentacji nieredukowalnych występujących w półprostym rozkładzie iloczynu tensorowego reprezentacji nieredukowalnych.

Notatki

Źródła

•    Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Graduate Texts in Mathematics , tom. 13 (wyd. 2), Nowy Jork, NY: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487 ; Uwaga: to odniesienie nominalnie dotyczy półprostego modułu na pierścieniu, a nie na grupie, ale nie jest to istotna różnica (abstrakcyjna część dyskusji dotyczy również grup).
• Artin, Michael (1999). „Pierścienie nieprzemienne” (PDF) .
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Hall, Brian C. (2015). Grupy kłamstw, algebry kłamstw i reprezentacje: podstawowe wprowadzenie . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 222 (wyd. 2). Skoczek. ISBN 978-3319134666 .
•   Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (wyd. 2), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
•   Procesi, Claudio (2007). Grupy kłamstwa: podejście poprzez niezmienniki i reprezentację . Skoczek. ISBN 9780387260402 . .
•     Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Absolwent Teksty z matematyki , 42 . Nowy Jork – Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 . Zbl 0355.20006 .