Słowniczek teorii reprezentacji

To jest glosariusz teorii reprezentacji w matematyce .

Termin „moduł” jest często używany jako synonim reprezentacji; aby zapoznać się z terminologią teorii modułów, zobacz także glosariusz teorii modułów .

Zobacz także Glosariusz grup Liego i algebr Liego , listę tematów teorii reprezentacji i Kategoria: Teoria reprezentacji .

Oznaczenia : Piszemy ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = GL_ {1}}$ . Tak więc na przykład jedna reprezentacja (tj. znak) grupy G ma postać ${\ Displaystyle \ chi: G \ do \ mathbb {G} _ {m}}$ .

A

Operacje .

Adamsa Adamsa

sprzężona

Reprezentacja sprzężona grupy Liego G jest reprezentacją daną przez działanie sprzężone G na algebrze Liego G (działanie sprzężone uzyskuje się z grubsza przez różniczkowanie działania koniugacyjnego).

dopuszczalne

Reprezentacja rzeczywistej grupy redukcyjnej to nazywana dopuszczalną, jeśli (1) maksymalna zwarta podgrupa K działa jako operatory unitarne oraz (2) każda nieredukowalna reprezentacja K ma skończoną krotność.

naprzemienny

Naprzemienny kwadrat reprezentacji V $_ {\oraz 2}=V\oraz V}$ podreprezentacją drugiej $potęgi$ tensora .

Artin

1. Emil Artin .

2. Twierdzenie Artina o postaciach indukowanych stwierdza, że ​​​​znak w skończonej grupie jest racjonalną liniową kombinacją znaków indukowanych z cyklicznych podgrup.

3. Reprezentacja Artina jest używana w definicji przewodnika Artina .

reprezentacja

automorficzna automorficzna

B

Twierdzenie Borela – Weila – Botta

Na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera twierdzenie Borela – Weila – Botta realizuje nieredukowalną reprezentację redukcyjnej grupy algebraicznej jako przestrzeni globalnych przekrojów wiązki linii na rozmaitości flagowej. (W dodatnim przypadku charakterystycznym konstrukcja wytwarza tylko moduły Weyla , które mogą nie być nieredukowalne.)

reguła rozgałęzienia rozgałęzienia

Brauer

Twierdzenie

Brauera o znakach indukowanych stwierdza, że ​​znak na grupie skończonej jest kombinacją liniową z całkowitymi współczynnikami znaków indukowanymi z elementarnych podgrup.

C

Teoria Cartana-Weyla

Inna nazwa teorii reprezentacji półprostych algebr Liego .

Element Casimira

Element Casimira jest wyróżnionym elementem środka uniwersalnej algebry obwiedni algebry Liego.

kategoria reprezentacji

Reprezentacje i przekształcenia ekwiwariantne pomiędzy nimi tworzą kategorię reprezentacji .

znak

1. Znak jest jednowymiarową reprezentacją.

2. Charakterem skończenie wymiarowej reprezentacji π jest funkcja ${\ Displaystyle g \ mapsto \ operatorname {tr} \ pi (g)}$ . $_ {\do}}\mathbb {G} _{m}}$ kompozycja .

3. Charakter nieredukowalny (odp. trywialny ) jest charakterem reprezentacji nieredukowalnej (odp. trywialnej).

4 grupa znaków grupy G to grupa wszystkich znaków w G ; mianowicie ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (G \ mathbb {G} _ {m})}$ .

5. Pierścień znakowy to pierścień grupowy (nad liczbami całkowitymi) grupy znaków G .

6. Postać wirtualna jest elementem pierścienia postaci.

7. Dla reprezentacji nieskończenie wymiarowej można zdefiniować charakter dystrybucyjny .

8. An nieskończenie mały charakter .

Chevalley

1. Chevalley

2. Generatory Chevalley

3. Grupa Chevalley .

4. Twierdzenie ograniczające Chevalleya .

funkcja klasy

Funkcja klasy f na grupie G jest funkcją taką, że ${\ Displaystyle f (g) = f (hgh ^ {- 1})}$ ; jest to funkcja na klasach koniugacji.

algebra skupień

Algebra skupień jest dziedziną integralną z pewną kombinatoryczną strukturą generatorów, wprowadzoną w celu usystematyzowania pojęcia dualnej bazy kanonicznej.

coadjoint

Reprezentacja coadjoint to podwójna reprezentacja reprezentacji sprzężonej.

kompletny

„całkowicie redukowalny” to inny termin oznaczający „półprosty”.

złożony

1. Złożona reprezentacja jest reprezentacją G w złożonej przestrzeni wektorowej. Wielu autorów określa złożone reprezentacje po prostu jako reprezentacje.

2. Koniugat zespolony złożonej reprezentacji ${V}}}$ to reprezentacja z tą samą bazową grupą dodatków V z liniowym działaniem G , ale z działaniem liczby zespolonej przez zespoloną V ¯ {\ displaystyle {\ koniugacja.

3. Złożona reprezentacja jest samosprzężona, jeśli jest izomorficzna ze swoim sprzężonym zespolonym.

komplementarność

Reprezentacja komplementarna do podreprezentacji W reprezentacji V jest reprezentacją W ' taką, że V jest bezpośrednią sumą W i W ' .

cuspidal

cuspidal reprezentacja

kryształ

podstawa kryształu

cykliczny

Cykliczny moduł G to moduł G generowany przez pojedynczy wektor. Na przykład nieredukowalna reprezentacja jest z konieczności cykliczna.

D

Dedekind

Twierdzenie Dedekinda o liniowej niezależności znaków.

zdefiniowany ponad

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola $jest$ mówi się, że V grupy G nad K zdefiniowana nad fa jeśli $} K}$ V \ $V_ {0} \otimes _ {$$nad$ dla jakiejś reprezentacji F taką , że ${\ Displaystyle g: V \ do V}$ jest indukowany przez ${\ Displaystyle g: V_ {0} \ do V_ {0}}$ ; tj. ${\ Displaystyle g \ cdot (v \ otimes \ lambda) = gv \ otimes \ lambda}$ . Tutaj nazywa się F -formą $V$ (i niekoniecznie jest wyjątkowa )

Rozczarowanie

Suma bezpośrednia reprezentacji V , W $jest$ reprezentacją będącą sumą bezpośrednią wektorowych wraz z liniową akcją ${\ Displaystyle \ pi _ {V \ oplus W} (g) (v + w) = \ pi _ {V} (g) v + \ pi _ {W} (g) w}$ .

Demazure'a

suma bezpośrednia

dyskretny Mówi się

, że nieredukowalna reprezentacja grupy Liego G należy do szeregu dyskretnego , jeśli wszystkie jej współczynniki macierzowe są całkowalne do kwadratu. Na przykład, jeśli G jest zwarty, to każda jego nieredukowalna reprezentacja należy do szeregu dyskretnego.

dominująca

Nieredukowalne reprezentacje prosto połączonej zwartej grupy Liego są indeksowane według ich najwyższej wagi. Te dominujące ciężary tworzą punkty sieciowe w ortancie w sieci wagowej grupy Liego.

podwójny

1. Podwójna reprezentacja (lub przeciwstawna reprezentacja) reprezentacji V jest reprezentacją, która jest podwójną przestrzenią wektorową ${\ Displaystyle V ^ {*} = \ operatorname {Hom} ( V,k)}$ wraz z liniowym działaniem grupowym, które zachowuje naturalne parowanie ${\ Displaystyle V ^ {*} \ razy V \ do k}$

2. Podwójna podstawa kanoniczna jest podwójną podstawą kanoniczną Lusztiga.

mi

Równoważnik

szeregu

Eisensteina Eisensteina

Termin „ G -ekwiwariant” jest innym terminem oznaczającym „ G -liniowy”.

zewnętrzna

Moc zewnętrzna reprezentacji V jest reprezentacją $V$ działaniem grupowym wywołanym przez $→$ .

F

wierny

Wierna reprezentacja $_$ reprezentacją $_$ _ _ _

funktor światłowodowy

funktor światłowodowy .

Wzajemność Frobeniusa

Wzajemność Frobeniusa stwierdza $,$ że ​​dla każdej reprezentacji H reprezentacji

$_ ,\operatorname {Ind} _{H}^{G}\sigma )=\operatorname {Hom} _{H}(\pi |_{H},\sigma )} to jest naturalne w tym sensie,$

$}$ z G istnieje że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ind.} _ {H} ^ {G}}$ jest prawym sprzężonym funktorem do funktora restrykcji ${\ Displaystyle \ pi \ mapsto \ pi | _ {H}}$ .

fundamentalna

Reprezentacja fundamentalna : Dla nieredukowalnych reprezentacji prosto połączonej zwartej grupy Liego istnieje zbiór fundamentalnych wag , indeksowanych przez wierzchołki diagramu Dynkina G, takie, że dominujące wagi są po prostu nieujemnymi całkowitymi liniowymi kombinacjami podstawowych wag. Odpowiednie nieredukowalne reprezentacje są podstawowymi reprezentacjami grupy Liego. W szczególności, z ekspansji dominującej wagi pod względem wag podstawowych, można wziąć odpowiedni iloczyn tensorowy podstawowych reprezentacji i wyodrębnić jedną kopię nieredukowalnej reprezentacji odpowiadającej tej dominującej wadze. W przypadku specjalnej grupy unitarnej SU ( n ), n - 1 podstawowymi reprezentacjami są iloczyny klinowe składające się z naprzemiennych tensorów , dla k = 1,2,

$^ {n}}$

,n-1.

G

G -

$jest$ ZA G - mapa liniowa między reprezentacjami transformacją liniową, która dojeżdża -działaniami ; tj. ${\ Displaystyle f \ circ \ pi _ {V} (g) = \ pi _ {W} (g) \ circ f}$ dla każdego g w G. _

moduł G

Inna nazwa reprezentacji. Pozwala na terminologię teorii modułów: np. Trywialny G , podmoduły G itp.

G - równoważna wiązka wektorów

A G - równoważna wiązka wektorów to wiązka wektorów ${\ Displaystyle p: E \ do X}$ na przestrzeni G X wraz z działaniem G na E (powiedzmy po prawej) takim, że ${\ Displaystyle g: p ^ {- 1} (x) \ do p ^ {- 1} (xg)} jest$ dobrze zdefiniowaną mapą liniową.

dobry

Dobra filtracja reprezentacji grupy redukcyjnej G to filtracja taka, że ​​ilorazy są izomorficzne z ${\ Displaystyle H ^ {0} (\ lambda) = \ Gamma (G/B,L_{\lambda})}$ gdzie $lambda$ wiązkami linii na odmianie flagi $}}$ \ Displaystyle

H

Harish-Chandra

1.

Harish-Chandra

Harish-Chandra (11 października 1923-16 października 1983), indyjsko-amerykański matematyk.

2. Twierdzenie Harisza-Chandry Plancherela.

najwyższa waga

1. Biorąc pod uwagę złożoną półprostą algebrę Liego $Displaystyle$ subalgebra Cartana ${\ mathfrak {h}}}$ i wybór dodatniej komory Weyla , najwyższa waga sol $mathfrak$${g}}}$ to waga wektora -waga v takiego, ${\ Displaystyle E _ {\ alfa} v = 0}$ dla każdego pierwiastka dodatniego $v$ nazywa się wektorem o najwyższej wadze).

2. Twierdzenie o najwyższych stanach wagowych (1) dwie skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą najwyższą wagę i (2) dla każdej dominanty ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ λ ${h}} ^ {*}}$ , istnieje skończenie wymiarowa nieredukowalna reprezentacja mająca ${\ displaystyle \ lambda}$ jako jego najwyższa waga.

Hom

Reprezentacja Hom ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$ reprezentacji V , W jest reprezentacją z działaniem grupowym uzyskanym przez identyfikację przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) = V ^ {*} \ czasami W}$ .

I

nierozkładalne

Reprezentacja nierozkładalna to reprezentacja, która nie jest bezpośrednią sumą co najmniej dwóch właściwych podreprezentacji.

indukcyjna

$uwagę$ reprezentację podgrupy H grupy , reprezentację fa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ind} _ {H} ^ {G} (\ sigma) = \ {f: G \ do W | f (hg) = \ sigma (h) f (g) \}}$

jest reprezentacją G , która jest indukowana na H -funkcjach liniowych ${\ displaystyle f: G \ do W}$ ; por. #Wzajemność Frobeniusa .

2. W zależności od zastosowań często nakłada się dodatkowe warunki na funkcje ${\ Displaystyle f: G \ do W}$ ; na przykład, jeśli funkcje muszą być obsługiwane w sposób zwarty, to wynikowa indukcja nazywana jest indukcją zwartą.

nieskończenie małe

Dwie dopuszczalne reprezentacje rzeczywistej grupy redukcyjnej są nieskończenie równoważne, jeśli skojarzone z nimi reprezentacje w algebrze Liego na przestrzeni K - wektorów skończonych są izomorficzne.

całkowalna Mówi się

, że reprezentacja algebry Kaca-Moody'ego jest całkowalna , jeśli (1) jest sumą przestrzeni wagowych i (2) generatorów Chevalleya ${\ displaystyle e_ {i}, f_ {i}}$ są lokalnie nilpotentne.

przeplatanie

Termin „ operator przeplatania ” to stara nazwa G -liniowej mapy pomiędzy reprezentacjami.

inwolucja

Reprezentacja inwolucji jest reprezentacją algebry C* w przestrzeni Hilberta, która zachowuje inwolucję.

nieredukowalna

Reprezentacja nieredukowalna jest reprezentacją, której jedynymi podreprezentacjami są zero i ona sama. Termin „nieredukowalny” jest synonimem słowa „prosty”.

izomorfizm

Izomorfizm między reprezentacjami grupy G jest odwracalną G -liniową mapą między reprezentacjami.

izotypowy

1. Biorąc pod uwagę reprezentację V i reprezentację prostą W (podreprezentację lub inną), składowa izotypowa V typu W jest bezpośrednią sumą wszystkich podreprezentacji V które są izomorficzne z W . Na przykład niech A będzie pierścieniem, a G grupą działającą na nim jako automorfizmy. Jeśli A jest półprosty jako moduł G , to $jest$ niezmienników składową izotypową A typu trywialnego

2. Dekompozycja izotypowa reprezentacji półprostej jest dekompozycją na składowe izotypowe.

J

Funktor

Jacqueta Jacqueta

k

Kac

Formuła znaku Kac

$reprezentacji$ wektor v w przestrzeni grupy K jest K -skończony, jeśli rozciąga się na skończoną wymiarową przestrzeń wektorową

-skończony Mówi się

Kirillov

Formuła postaci Kirillova

Ł

krata

1. Sieć korzeniowa to wolna grupa abelowa generowana przez korzenie.

2. Siatka wag to grupa wszystkich funkcjonałów liniowych ${\ Displaystyle \ chi \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ na podalgebrze Cartana ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} }$ które są całkami: ${\ Displaystyle \ chi (H_ {\ alfa})}$ jest liczbą całkowitą dla każdego pierwiastka ${\ Displaystyle \ alpha}$ .

Littlemanna

Model ścieżki Littelmanna

M

Twierdzenie Maschkego

Twierdzenie Maschkego stwierdza, że ​​skończenie wymiarowa reprezentacja skończonej grupy G na polu F jest półprostą reprezentacją , jeśli charakterystyka F nie dzieli rzędu G .

Teoria Mackeya

Teorię Mackeya można uznać za narzędzie do odpowiedzi na pytanie: mając reprezentację W podgrupy H grupy G , kiedy reprezentacja indukowana ${\ Displaystyle \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} W}$ nieredukowalną reprezentacją G ? Relacje

Maass–Selberg

Maass–Selberg .

współczynnik

macierzowy Współczynnik reprezentacji $G$ funkcji postaci g ${\ Displaystyle g \ mapsto \ langle \ pi (g) v, \ alfa \ rangle}$ dla v w V i ${\ Displaystyle \ alpha}$ w podwójnej przestrzeni ${\ Displaystyle V ^ {*} }$ . Zauważ $G$ że pojęcie to ma sens dla dowolnej grupy: jeśli jest grupą topologiczną i jest ciągła, to współczynnik macierzy macierzy byłby funkcją ciągłą na G . Jeśli sol i ${\ displaystyle \ pi}$ są algebraiczne, byłaby to funkcja regularna na G .

modułowy

Modułowa teoria reprezentacji .

Molien

Mając skończoną, zespoloną reprezentację V skończonej grupy G , twierdzenie Moliena mówi, że szereg ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ dim (\ mathbb {C} [V] ^ {G}) _ {n} t ^ {n}},$ gdzie ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} [V] ^ {G}) _ {n}}$ oznacza przestrzeń - $niezmiennych$ wielomianów na V stopnia n , pokrywa się z ${\ Displaystyle (\ # G) ^ {- 1} \ suma _ {g \ w G} \ det (1-tg | V) ^ {- 1}}$ . Twierdzenie jest również ważne dla grupy redukcyjnej, zastępując ${\ Displaystyle (\ # G) ^ {- 1} \ suma _ {g \ in G}}$ przez integrację po zwartości maksymalnej podgrupa.

O

Oscylator

Reprezentacja oscylatora

na orbicie orbity podejście do teorii reprezentacji wykorzystujące narzędzia z geometrii symplektycznej

,

P

Twierdzenie Twierdzenie Petera – Weyla stwierdza, że ​​liniowa rozpiętość współczynników macierzy na grupie zwartej G jest gęsta w . ${\ Displaystyle L ^ {2} (G)}$ .

Petera – Weyla

permutacja

Biorąc pod uwagę grupę G , a G -set X i V przestrzeń wektorową funkcji od X do stałego pola, reprezentacja permutacji G $\ pi}$ displaystyle na V jest reprezentacją daną przez indukowane działanie G na V ; tj. ${\ Displaystyle (\ pi (g) v) (x) = v (g ^ {- 1} x)}$ . Na przykład, jeśli X jest zbiorem skończonym, a V jest postrzegane jako przestrzeń wektorowa z podstawą sparametryzowaną przez X , to grupa symetryczna ${\ Displaystyle G = \ operatorname {Sym} (X)}$ permutuje elementy podstawy, a jej liniowe rozszerzenie jest właśnie reprezentacją permutacji.

Plancherel

Formuła Plancherela

reprezentacja dodatniej energii

reprezentacja dodatniej energii.

prymitywny

Termin „element pierwotny” (lub wektor) jest starym określeniem wektora o wadze Borela.

rzutowa

Reprezentacją rzutową grupy G jest homomorfizm grupowy ${\ Displaystyle \ pi: G \ do PGL (V) = GL (V) / \ mathbb {G} _ {m}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle PGL (V) = \ operatorname {Aut} (\ mathbb {P} (V))}$ reprezentacja rzutowa jest dokładnie działaniem grupowym G na ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ jako automorfizmy.

właściwa

Właściwa podreprezentacja reprezentacji V jest podreprezentacją, która nie jest V .

Q

iloraz

Biorąc pod uwagę reprezentację V i podreprezentację $/W)}$ ) $V$$},$ dany przez ${\ Displaystyle \ pi _ {V/W} (g): V/W \ do V/W, \ v + W \ mapsto gv + W}$ .

czwartorzędowa

Reprezentacja czwartorzędowa grupy G jest złożoną reprezentacją wyposażoną w G -niezmienną strukturę czwartorzędową .

kołczan

Kołczan z definicji jest grafem skierowanym. Ale zwykle bada się reprezentacje kołczanu.

R

wymierna

Reprezentacja V jest wymierna , jeśli każdy wektor v w V jest zawarty w jakiejś skończenie wymiarowej podreprezentacji (zależnej od v .)

rzeczywista

1. Rzeczywista reprezentacja przestrzeni wektorowej jest reprezentacją na rzeczywistej przestrzeni wektorowej.

2. Prawdziwy znak to znak z grupy G taki, że ${\ displaystyle \ chi} że$${\ Displaystyle \ chi (g) \ in \ mathbb {R}}$ dla wszystkich g w G.

regularne

1. Regularna reprezentacja skończonej grupy G jest indukowaną reprezentacją G w algebrze grup na polu G .

2. Regularną reprezentacją liniowej grupy algebraicznej G jest indukowana reprezentacja na pierścieniu współrzędnych G . Zobacz też: reprezentacja na pierścieniach współrzędnych .

reprezentacja

1.

Teorię reprezentacji można łatwo zdefiniować: jest to badanie sposobów, w jakie dana grupa może oddziaływać na przestrzenie wektorowe. Jest jednak prawie na pewno wyjątkowy wśród tak jasno określonych przedmiotów, ze względu na zakres zainteresowania matematyków. Nie jest to zaskakujące: działania grupowe są wszechobecne w matematyce XX wieku, a tam, gdzie obiekt, na który działa grupa, nie jest przestrzenią wektorową, nauczyliśmy się zastępować go takim, który jest (np. grupa kohomologiczna, przestrzeń styczna itp. .). W rezultacie wielu matematyków innych niż specjaliści w danej dziedzinie (lub nawet ci, którzy myślą, że chcieliby nimi być) styka się z tematem na różne sposoby.

Fulton, William; Harris, Joe, Teoria reprezentacji: pierwszy kurs

Liniowa reprezentacja grupy G jest homomorfizmem grupy $}$$G \ do$ od G do ogólnej grupy liniowej . W zależności od grupy G , często domyślnie wymaga się $, aby$ homomorfizm był morfizmem w kategorii, do G należy; np. jeśli G jest grupą topologiczną , to $.$ być ciągła Przymiotnik „liniowy” jest często pomijany.

$,$ Równoważnie reprezentacja liniowa jest działaniem grupowym G na przestrzeni wektorowej V jest liniowa działanie dla g w sol , ${\ Displaystyle \ sigma _ {g}: V \ do V, v \ mapsto \ sigma (g, v)}$ jest przekształceniem liniowym.

3. Reprezentacja wirtualna jest elementem pierścienia Grothendiecka kategorii reprezentacji.

reprezentatywna

Termin „ funkcja reprezentatywna ” to inne określenie współczynnika macierzowego .

S

Schur

1.

Issai Schur

Issai Schur

2. Lemat Schura stwierdza, że ​​G -liniowe odwzorowanie między nieredukowalnymi reprezentacjami musi być albo bijekcyjne, albo zerowe.

3. Relacje ortogonalności Schura na grupie zwartej mówią, że znaki nieizomorficznych reprezentacji nieredukowalnych są względem siebie ortogonalne.

4. Funktor Schura $, takie$ zgodnie z podziałem ${\ Displaystyle \ lambda}$ . Znaki $_$ _ _ _

5. Dualizm $oblicza$ – Weyla nieredukowalne reprezentacje występujące w

6. Wielomian Schura jest funkcją symetryczną typu występującego we wzorze znakowym Weyla zastosowanym do grup unitarnych.

7. Indeks Schura .

8. Kompleks Schura.

semisimple

Reprezentacja semiprosta (nazywana również reprezentacją całkowicie redukowalną) jest bezpośrednią sumą reprezentacji prostych.

prosty

Inny termin oznaczający „nieredukowalny”.

gładka

1. Gładka reprezentacja lokalnie skończonej grupy G jest złożoną reprezentacją taką, że dla każdego v w V istnieje pewna zwarta otwarta podgrupa K z G , która ustala v ; tj. ${\ Displaystyle g \ cdot v = v}$ dla każdego g w K .

$gładką$ wektorem v takim, że

Specht

Moduł

Specht Steinberg

Reprezentacja Steinberga .

podreprezentacja

Podreprezentacja reprezentacji _ ${\ Displaystyle (\ pi, V)}$ G jest wektorową podprzestrzenią W od V taką, że ${\ Displaystyle \ pi (g): W \ do W}$ jest dobrze zdefiniowany dla każdego g w G .

Swan

Reprezentacja Swan jest używana do zdefiniowania przewodnika Swan .

symetryczny

1. Potęga symetryczna reprezentacji V jest reprezentacją ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ z akcją grupową wywołaną przez ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n }\to \nazwa_operatora {Sym} ^{n}(V)}$ .

2. W szczególności symetryczny kwadrat reprezentacji V jest reprezentacją ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} (V)}$ z akcją grupową wywołaną przez ${\ Displaystyle V ^ {\ czasami 2} \ do \ operatorname {Sym} ^ {2}(V)}$ .

system imprimitywności

Pojęcie w teorii Mackeya . Zobacz system prymitywności .

T

Dualność Tannakijska

Dualność Tannakijska jest z grubsza ideą, że grupę można wydobyć ze wszystkich jej reprezentacji.

temperowana

temperowana reprezentacja

tensor

Reprezentacja tensorowa jest z grubsza reprezentacją otrzymaną z iloczynów tensorowych (pewnych reprezentacji).

iloczyn tensorowy

Iloczyn tensorowy reprezentacji V , W jest reprezentacją będącą iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle V \ otimes W}$$czasami W} (g) (v \ czasami w)=\pi _{V}(g)v\otimes \pi _{W}(g)w}$ \ .

trywialna

1. Trywialna reprezentacja grupy G jest reprezentacją π taką, że π( g ) jest tożsamością dla każdego g w G .

2. Postać trywialna grupy G to postać trywialna jako reprezentacja.

u

jednostajnie ograniczona

Reprezentacja jednostajnie ograniczona grupy lokalnie zwartej jest reprezentacją w algebrze operatorów ograniczonych, która jest ciągła w topologii silnego operatora i jest taka, że ​​norma operatora określona przez każdy element grupy jest jednostajnie ograniczona.

unitarny

1. Jednostkowa reprezentacja grupy G jest reprezentacją π taką, że π( g ) jest operatorem unitarnym dla każdego g w G .

2. Reprezentacja unitaryzowalna jest reprezentacją równoważną reprezentacji unitarnej.

V

Moduł Vermy

Biorąc pod uwagę złożoną półprostą algebrę Liego $Displaystyle$ subalgebra Cartana ${\ mathfrak {h}}}$ i wybór dodatniej komory Weyla , moduł Vermy $}}$$chi$ związany z funkcjonałem liniowym ilorazem algebry ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ przez lewy ideał wygenerowany przez ${\ displaystyle E_ {\ alfa}}$ dla wszystkich dodatnich pierwiastków ${\ displaystyle \ alpha}$ oraz ${\ Displaystyle H- \ chi (H) 1}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}}}$ .

W

waga

1. Termin „waga” to inna nazwa postaci.

2. ${\ Displaystyle V _ {\ chi} = \ {v \ w V | g \ cdot v = \ chi (g) v \}}$ wagi reprezentacji V wagi podprzestrzenią $_$ ma pozytywny wymiar.

$Displaystyle$ , dla funkcjonału liniowego algebry Lie godz. $h}} }$ , $Displaystyle \ chi}$ jest wagą $-modułu$ V , jeśli ${\ Displaystyle V _ {\ chi} = \ {v \ w V | H \ cdot v = \ chi (H) v \}}$ ma wymiar dodatni; por. #najwyższa waga .

4. siatka wagowa

$α$ dominująca waga: waga \ lambda jest dominująca, jeśli pewnego ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$

6. podstawowa dominująca waga:: Biorąc pod uwagę zbiór prostych pierwiastków $_$ E $_ }$ . ${\ Displaystyle \ alfa _ {1} ^ {v}, \ alfa _ {2} ^ {v}, ..., \ alfa _ {n} ^ {v} \ w \$ jest podstawą ${\ Displaystyle E}$ też; podstawa dualna ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ... \ lambda _ {n}}$ przez ${\ Displaystyle (\ lambda _{i},\alpha _{j}^{v})=\delta _{ij}}$ , nazywa się podstawowymi dominującymi wagami.

7. najwyższa waga

Weyl

1. Hermann Weyl

2. Formuła znakowa Weyla wyraża charakter nieredukowalnych reprezentacji złożonej półprostej algebry Liego w kategoriach najwyższych wag.

3. Formuła całkowania Weyla mówi: mając zwartą spójną grupę Liego G z maksymalnym torusem T , istnieje rzeczywista funkcja ciągła u na T taka, że ​​dla każdej funkcji ciągłej f na G ,

${\ Displaystyle \ int _ {G} f (g) dg = \ int _ {T} f (t) u (t) dt.} (Wyraźnie, u {\ displaystyle u} wynosi 1 w stosunku$

do $grupy$ Weyla razy iloczyn ${\ Displaystyle | e ^ {\ alfa (t)} -e ^ {- \ alfa (t)} | ^ {2}$ } korzenie ${\ displaystyle \ alpha}$ .)

4. Moduł Weyla .

5. Filtracja Weyla to filtracja reprezentacji grupy redukcyjnej takiej, że ilorazy są izomorficzne z modułami Weyla .

Y

Young

1. Alfred Young

2. Symetryzator Younga to endomorfizm liniowy G ${\ Displaystyle c _ {\ lambda}: V ^ {\ otimes n} \ do V ^ {\ otimes n }}$ mocy tensorowej modułu G V zdefiniowanego zgodnie z danym podziałem ${\ displaystyle \ lambda}$ . Z definicji funktor Schura reprezentacji V przypisuje V obraz do $\ displaystyle c _ {\ lambda}}$ .

Z

zero

Reprezentacja zerowa jest reprezentacją zerowymiarową. Uwaga: podczas gdy reprezentacja zerowa jest reprezentacją trywialną, reprezentacja trywialna nie musi być zerowa (ponieważ „trywialny” oznacza, że ​​G działa trywialnie).

Notatki

• Adams, JF (1969), Wykłady o grupach kłamstw , University of Chicago Press
• Theodor Bröcker i Tammo tom Dieck, Reprezentacje zwartych grup Liego , Graduate Texts in Mathematics 98 , Springer-Verlag, Berlin, 1995.
•    Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), Lokalna hipoteza Langlandsa dla GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 335, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN 978-3-540-31486-8 , MR 2234120
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
• D. Gaitsgory, Teoria reprezentacji geometrycznej, Math 267y, jesień 2005
•   Humphreys, James E. (1972). Wprowadzenie do algebr Liego i teorii reprezentacji . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 9. Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7 .
•   Knapp, Anthony W. (2001), Teoria reprezentacji grup półprostych. Przegląd oparty na przykładach. , Zabytki Princeton w matematyce , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4
•   Claudio Procesi (2007) Lie Groups: podejście poprzez niezmienniki i reprezentację , Springer, ISBN 9780387260402 .
•     Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Absolwent Teksty z matematyki , 42 . Nowy Jork – Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 . Zbl 0355.20006 .
• N. Wallach , Real Reductive Groups, 2 tomy, Academic Press 1988,

Dalsza lektura

• M. Duflo i M. Vergne, La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, w „Representations of Lie Groups”; Kyoto, Hiroshima (1986), Advanced Studies in Pure Mathematics 14, 1988.
• Lusztig, G. (sierpień 1988), „Deformacje kwantowe niektórych prostych modułów nad algebrami otaczającymi”, Advances in Mathematics , 70 (2): 237–249, doi : 10.1016 / 0001-8708 (88) 90056-4

Linki zewnętrzne

• https://math.stanford.edu/~bump/