Reprezentacja oscylatora

W matematyce reprezentacja oscylatora jest projekcyjną jednostkową reprezentacją grupy symplektycznej , po raz pierwszy zbadaną przez Irvinga Segala , Davida Shale'a i André Weila . Naturalne rozszerzenie reprezentacji prowadzi do półgrupy operatorów kontrakcji , wprowadzonej jako półgrupa oscylatora przez Rogera Howe'a w 1988 r. Półgrupa była wcześniej badana przez innych matematyków i fizyków, przede wszystkim Feliksa Berezina w latach 60. Najprostszy przykład w jednym wymiarze podaje SU(1,1) . Działa jak transformacje Möbiusa na rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej , pozostawiając niezmiennik koła jednostkowego . W takim przypadku reprezentacja oscylatora jest reprezentacją unitarną podwójnego pokrycia SU(1,1), a półgrupa oscylatora odpowiada reprezentacji półgrupy przez operatory kontrakcji w SL(2, C ) odpowiadającej transformacjom Möbiusa , które przyjmują jednostkę dysk w siebie.

Operatory kontrakcji, określone tylko do znaku, mają jądra będące funkcjami Gaussa . Na nieskończenie małym poziomie półgrupa jest opisana przez stożek w algebrze Liego SU (1,1), który można utożsamić ze stożkiem światła . Te same ramy uogólniają grupę symplektyczną w wyższych wymiarach, w tym jej analog w nieskończonych wymiarach. Ten artykuł wyjaśnia szczegółowo teorię dla SU(1,1) i podsumowuje, w jaki sposób można rozszerzyć teorię.

Przegląd Historyczny

Matematyczne sformułowanie mechaniki kwantowej przez Wernera Heisenberga i Erwina Schrödingera pierwotnie odnosiło się do nieograniczonych operatorów samosprzężonych w przestrzeni Hilberta . Podstawowe operatory odpowiadające położeniu i pędowi spełniają relacje komutacyjne Heisenberga . Wielomiany kwadratowe w tych operatorach, do których należy oscylator harmoniczny , również są domknięte pod wpływem komutatorów.

W latach dwudziestych i trzydziestych XX wieku opracowano dużą liczbę teorii operatorów , aby zapewnić rygorystyczne podstawy mechaniki kwantowej. Część teorii została sformułowana w kategoriach unitarnych grup operatorów, głównie dzięki wkładowi Hermanna Weyla , Marshalla Stone'a i Johna von Neumanna . Z kolei te wyniki w fizyce matematycznej zostały włączone do analizy matematycznej, począwszy od notatek z wykładów Norberta Wienera z 1933 r ., który użył jądra ciepła aby oscylator harmoniczny wyprowadził właściwości transformaty Fouriera .

Wyjątkowość relacji komutacyjnych Heisenberga, sformułowanych w twierdzeniu Stone'a-von Neumanna , została później zinterpretowana w ramach teorii reprezentacji grupowych , w szczególności teorii reprezentacji indukowanych zapoczątkowanej przez George'a Mackeya . Operatory kwadratowe rozumiano w kategoriach rzutowej reprezentacji jednostkowej grupy SU(1,1) i jej algebry Liego . Irving Segal i David Shale uogólnili tę konstrukcję na grupę symplektyczną w skończonych i nieskończonych wymiarach - w fizyce jest to często określane jako kwantyzacja bozonowa : jest konstruowane jako algebra symetryczna przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Segal i Shale zajęli się również przypadkiem kwantyzacji fermionowej , która jest skonstruowana jako algebra zewnętrzna nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta. W szczególnym przypadku konforemnej teorii pola w wymiarach 1+1 obie wersje stają się równoważne dzięki tak zwanej „korespondencji bozon-fermion”. Dotyczy to nie tylko analizy, w której istnieją operatory unitarne między bozonowymi i fermionowymi przestrzeniami Hilberta, ale także matematycznej teorii algebr operatorów wierzchołków . Same operatory wierzchołków pojawiły się pod koniec lat 60. XX wieku w fizyce teoretycznej , zwłaszcza w teorii strun .

André Weil rozszerzył później konstrukcję na p-adyczne grupy Liego , pokazując, w jaki sposób idee te można zastosować w teorii liczb , w szczególności w celu teoretycznego wyjaśnienia grup funkcji theta i kwadratowej wzajemności . Kilku fizyków i matematyków zauważyło, że operatory jądra ciepła odpowiadające oscylatorowi harmonicznemu były powiązane ze złożonością SU (1,1): to nie była cała SL (2, C ), ale zamiast tego złożoną półgrupę zdefiniowaną przez naturalny warunek geometryczny. Teoria reprezentacji tej półgrupy i jej uogólnienia w skończonych i nieskończonych wymiarach ma zastosowanie zarówno w matematyce, jak iw fizyce teoretycznej.

Półgrupy w SL(2,C)

Grupa:

${\ Displaystyle G = \ nazwa operatora {SU} (1,1) = \ lewo \ {\ lewo. {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa & \ beta \\ {\ overline {\ beta}} & {\overline {\alpha}}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\},}$

jest podgrupą G _c = SL(2, C ), grupy macierzy zespolonych 2 × 2 z wyznacznikiem 1. Jeśli G ₁ = SL(2, R ), to

${\ Displaystyle G = CG_ {1} C ^ {-1}, \ qquad C = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i i \\ i i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Wynika to z faktu, że odpowiednią transformacją Möbiusa jest transformata Cayleya , która przenosi górną półpłaszczyznę na dysk jednostkowy, a linię rzeczywistą na okrąg jednostkowy.

Grupa SL(2, R ) jest generowana jako grupa abstrakcyjna przez

${\ Displaystyle J = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 \\ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

oraz podgrupa dolnych macierzy trójkątnych

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} a & 0 \\ b & a ^ {-1} \ koniec {pmatrix}} \ prawo | a, b \ w \ mathbf {R}, a> 0 \ prawo \}.}$

Rzeczywiście, orbita wektora

${\ Displaystyle v = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 \\ 1 \ koniec {pmatrix}}}$

^, _{że pod podgrupą generowaną} przez te macierze znajduje się całość R2 , a stabilizator v w G1 leży wewnątrz tej podgrupy.

Algebra Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ (1,1) składa się z macierzy sol

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} ix & w \\ {\ overline {w}} i -ix \ koniec {pmatrix}}, \ quad x \ w \ mathbf {R}.}$

Okres 2 automorfizm σ z G _c

${\ Displaystyle \ sigma (g) = M {\ overline {g}} M ^ {- 1},}$

z

${\ Displaystyle M = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}},}$

od tego czasu podgrupę G punktu stałego

${\ Displaystyle \ sigma {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {d}} i {\ overline {c}} \\ {\ overline {b }}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

Podobnie ta sama formuła definiuje okres dwa automorfizmy algebry Liego sol do $Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {c}}$ \ c _, złożone macierze ze śladowym zerem. Standardowa podstawa nad $\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {c}$ jest podana przez sol do {

${\ Displaystyle L_ {0} = {\ rozpocząć {pmatrix} {1 \ ponad 2} i 0 \\ 0 i - {1 \ ponad 2} \ koniec {pmatrix}}, \ quad L_ {-1} = {\ zacząć { pmatrix}0&1\\0&0\koniec{pmacierz}},\quad L_{1}={\początek{pmacierz}0&0\\-1&0\koniec{pmacierz}}.}$

Zatem dla −1 ≤ m , n ≤ 1

${\ Displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n}.}$

Istnieje bezpośredni rozkład sumy

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {c} = {\ mathfrak {g}} \ oplus ja {\ mathfrak {g}},}$

gdzie $–1$ przestrzenią własną +1 σ $.$ własną

Macierze X w ${\ Displaystyle i {\ mathfrak {g}}}$ mają postać

${\ Displaystyle X = {\ początek {pmatrix} x&w \\ - {\ overline {w}} & - x \ koniec {pmatrix}}.}$

Zauważ to

${\ Displaystyle - \ det X = x ^ {2} - | w | ^ {2}.}$

Stożek C w $.$ przez dwa warunki Pierwszy to ${\ Displaystyle \ det X <0.}$ Z definicji ten warunek jest zachowany w koniugacji przez G . Ponieważ G jest spójny, pozostawia dwa składniki z x > 0 i x < 0 niezmiennikami. Drugim warunkiem jest ${\ displaystyle x <0.}$

Grupa Gc ^. działa poprzez transformacje Möbiusa na rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej Podgrupa G działa jako automorfizmy dysku jednostkowego D . Półgrupa H z G ^c , po raz pierwszy rozważana przez Olshanskii (1981) , może być zdefiniowana przez warunek geometryczny:

${\ Displaystyle g ({\ overline {D}}) \ podzbiór D.}$

Półgrupę można wyraźnie opisać za pomocą stożka C :

${\ Displaystyle H = G \ cdot \ exp (C) = \ exp (C) \ cdot G.}$

W rzeczywistości macierz X może być sprzężona przez element G z macierzą

${\ Displaystyle Y = {\ rozpocząć {pmatrix} -y & 0 \\ 0 i y \ koniec {pmatrix}}}$

z

${\ Displaystyle y = {\ sqrt {x ^ {2} - | w | ^ {2}}}> 0.}$

Ponieważ transformacja Möbiusa odpowiadająca exp Y wysyła z do e ^{-2 y} z , wynika z tego, że prawa strona leży w półgrupie. I odwrotnie, jeśli g leży w H , przenosi zamknięty dysk jednostkowy na mniejszy zamknięty dysk w swoim wnętrzu. Koniugując ${\ Displaystyle e ^ {-Y} g}$ element G , można przyjąć, że mniejszy dysk ma środek 0. Ale wtedy dla odpowiedniego y element niesie D mi na siebie, więc leży w G .

Podobny argument pokazuje, że zamknięcie H , również półgrupy, jest dane przez

${\ Displaystyle {\ overline {H}} = \ {g \ w \ nazwa operatora {SL} (2, \ mathbf {C}) | gD \ subseteq D \} = G \ cdot \ exp {\ overline {C}} =\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

Z powyższego stwierdzenia o koniugacji wynika, że

${\ Displaystyle H = GA_ {+} G,}$

Gdzie

${\ Displaystyle A_ {+} = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} e ^ {-y} i 0 \\ 0 i e ^ {y} \ koniec {pmatrix}} \ prawo | y> 0 \ prawo \ }.}$

Jeśli

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w H}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {a}} & {\ overline {b}} \\ {\ overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\w H,}$

ponieważ ten ostatni uzyskuje się przez transpozycję i sprzężenie przez macierz diagonalną z wpisami ± 1. Stąd H zawiera również

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {a}} & - {\ overline {c}} \\ - {\ overline {b}} & {\ overline {d}} \ koniec {pmatrix}}. }$

co daje macierz odwrotną, jeśli pierwotna macierz leży w SU (1,1).

Dalszy wynik dotyczący koniugacji następuje po zauważeniu, że każdy element H musi ustalać punkt w D , który przez koniugację z elementem G można przyjąć za 0. Wtedy element H ma postać

${\ Displaystyle M = {\ rozpocząć {pmatrix} a & 0 \\ b & a ^ {-1} \ koniec {pmatrix}}, \ qquad | a | <1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad | b | < | a|^{-1}-|a|.}$

₀ Zbiór takich dolnych trójkątnych macierzy tworzy podpółgrupę H z H .

Od

${\ Displaystyle M {\ rozpocząć {pmatrix} x&0 \\ 0&x ^ {- 1} \ koniec {pmatrix }}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(xx^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

₀₀ każda macierz w H jest sprzężona z macierzą diagonalną przez macierz M w H .

₀ Podobnie każda jednoparametrowa półgrupa S ( t ) w H ustala ten sam punkt w D , więc jest sprzężona przez element G z jednoparametrową półgrupą w H .

₀ Wynika z tego, że istnieje macierz M w H taka, że

${\ Displaystyle MS (t) = S_ {0} (t) M,}$

₀₀ z przekątną S ( t ). Podobnie istnieje macierz N w H taka, że

${\ Displaystyle S (t) N = NS_ {0} (t)}$

₀ Półgrupa H generuje podgrupę L złożonych dolnych macierzy trójkątnych z wyznacznikiem 1 (danym powyższym wzorem z a ≠ 0). Jego algebra Liego składa się z macierzy postaci

${\ Displaystyle Z = {\ początek {pmatrix} z&0 \\ w&-z \ koniec {pmatrix}}.}$

₀$t$ szczególności jeden parametr półgrupy exp Z w H wszystkich t > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy i ${\ Displaystyle |\ Re z |> {\ tfrac {1} {2}} | w |.}$

Wynika to z kryterium dla H lub bezpośrednio ze wzoru

${\ Displaystyle \ exp Z = {\ rozpocząć {pmatrix} e ^ {z} i 0 \\ f (z) w & e ^ {- z} \ koniec {pmatrix}}, \ qquad f (z) = {\ sinh z \ nad z}.}$

₀ Wiadomo, że mapa wykładnicza nie jest w tym przypadku surjektywna , mimo że jest surjektywna dla całej grupy L . Wynika to z faktu, że operacja podniesienia do kwadratu nie jest suriekcją w H . Rzeczywiście, ponieważ kwadrat elementu ustala 0 tylko wtedy, gdy oryginalny element ustala 0, wystarczy to udowodnić w H . Weź α z |α| < 1 i

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa + \ alfa ^ {-1} \ prawo | <| \ alfa | + | \ alfa ^ {-1} |.}$

Jeśli a = α ² i

${\ Displaystyle b = (1- \ delta) (| a | ^ {- 1} - | a |),}$

z

$\ Displaystyle (1-\ delta) ^ {2} = {|\ alfa + \ alfa ^ {- 1} | \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

potem macierz

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & 0 \\ b & a ^ {- 1} \ koniec {pmatrix}}}$

₀ nie ma pierwiastka kwadratowego z H. Bo pierwiastek kwadratowy miałby postać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa & 0 \\\ beta & \ alfa ^ {-1} \ koniec {pmatrix}}.}$

Z drugiej strony,

${\ Displaystyle |\ beta | = {b \ ponad |\ alfa + \ alfa ^ {-1} |} = {| \ alfa | ^ {-1} - | \ alfa | \ponad 1-\delta }>|\alfa |^{-1}-|\alfa |.}$

Zamknięta półgrupa jest maksymalna w SL (2, do $) : każda$ musi być całością SL (2, do ).

Wykorzystując obliczenia motywowane fizyką teoretyczną, Ferrara i in. (1973) wprowadzili półgrupę $.$ za pomocą zbioru nierówności Bez identyfikacji jako półgrupy kompresji ustalili maksymalność $}$$\ displaystyle {\ overline {H}}$ . Używając definicji jako półgrupy kompresji, maksymalizm sprowadza się do sprawdzenia, co się dzieje po dodaniu nowej $transformacji$ do overline ${H}}}$ Idea dowodu polega na rozważeniu pozycji dwóch dysków $displaystyle g (D)}$ \ i $.$ W kluczowych przypadkach albo jeden dysk zawiera drugi, albo są one rozłączne. W najprostszych przypadkach jest odwrotnością transformacji skalowania lub $z$$Displaystyle g (z) = -1/z}$ . W obu przypadkach ${\ displaystyle g}$ i ${\ displaystyle H}$ generują otwarte sąsiedztwo 1, a zatem całe SL (2, C)

Później Lawson (1998) podał inny, bardziej bezpośredni sposób udowodnienia maksymalności, najpierw pokazując, że istnieje g w S wysyłające D na dysk D ^c , | z | _> 1. ^jeśli W rzeczywistości $istnieje$ mały dysk D 1 _w D taki że leży D Potem dla niektórych godz w H , re ₁ = hD . Podobnie yxD ₁ = D ^c dla pewnego y w H . Więc g = yxh leży w S i wysyła D na D ^c . Wynika z tego, że g ² ustala dysk jednostkowy D , więc leży w SU(1,1). Zatem g ⁻¹ leży w S . Jeśli t leży w H wtedy tgD zawiera gD . Stąd ${\ Displaystyle g ^ {-1} t ^ {-1} g \ in {\ overline {H}}.}$ Więc t ^-1 leży w S , a zatem S zawiera otwarte sąsiedztwo 1. Stąd S = SL (2 , C ).

Dokładnie ten sam argument działa dla transformacji Möbiusa na R ⁿ i otwartej półgrupy przyjmującej zamkniętą sferę jednostkową || x || ≤ 1 do otwartej sfery jednostkowej || x || < 1. Domknięcie jest maksymalną właściwą półgrupą w grupie wszystkich przekształceń Möbiusa. Gdy n = 1, zamknięcie odpowiada przekształceniom Möbiusa prostej rzeczywistej przyjmującej w siebie przedział domknięty [–1,1].

Półgrupa H i jej domknięcie mają dalszy element struktury odziedziczony po G , a mianowicie inwersję na G rozciąga się na antyautomorfizm H i jego domknięcie, które ustala elementy w exp C i jego domknięciu. Dla

${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}},}$

antyautomorfizm jest dany przez

${\ Displaystyle g ^ {+} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {a}} & - {\ overline {c}} \\ - { \overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

i rozciąga się na antyautomorfizm SL(2, C ).

Podobnie antyautomorfizm

${\ Displaystyle g ^ {\ sztylet} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {d}} & - {\ overline {b}} \\- {\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

pozostawia G ₁ niezmiennikiem i ustala elementy w exp C ₁ i jego domknięciu, więc ma analogiczne własności dla półgrupy w G ₁ .

Relacje komutacyjne Heisenberga i Weyla

Niech $będzie$ przestrzenią funkcji Schwartza R . Jest gęsty w przestrzeni Hilberta L ² ( R ) funkcji całkowalnych do kwadratu na R . Zgodnie z terminologią mechaniki kwantowej operator „pędu” P i operator „pozycji” Q są zdefiniowane przez S $\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ Displaystyle Pf (x) = jeśli '(x), \ qquad Qf (x) = xf (x).}$

Tam operatory spełniają relację komutacji Heisenberga

${\ displaystyle PQ-QP = iI.}$

Zarówno P, $jak$ i Q są samosprzężone dla iloczynu wewnętrznego na po L ² ( R ).

Dwie jednoparametrowe grupy jednostkowe U ( s ) i V ( t ) można zdefiniować na ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ i L ² ( R ) przez S {\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}

${\ Displaystyle U (s) f (x) = f (xs), \ qquad V (t) f (x) = e ^ {ixt} f (x).}$

Zgodnie z definicją

$\ Displaystyle {d \ nad ds} U (s) f = iPU ( s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

dla ${\ Displaystyle f \ in {\ mathcal {S}}}$ , więc formalnie

${\ Displaystyle U (s) = e ^ {IPs}, \ qquad V (t) = e ^ {iQt}.}$

Z definicji wynika bezpośrednio, że jednoparametrowe grupy U i V spełniają relację komutacji Weyla

${\ Displaystyle U (s) V (t) = e ^ {-ist} V (t) U (s).}$

Realizacja U i V na L2 ( R ) nazywana jest reprezentacją Schrödingera ^.

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera jest zdefiniowana na ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ przez

${\ Displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- ix\xi }\,dx.}$

Definiuje ciągłą mapę $.$ dla swojej naturalnej topologii

Całkowanie konturowe pokazuje, że funkcja

${\ Displaystyle H_ {0} (x) = {e ^ {-x ^ {2}/2} \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}}}$

jest własną transformatą Fouriera.

Z drugiej strony całkowanie przez części lub różniczkowanie pod całką,

${\ Displaystyle {\ widehat {Pf}} = - Q {\ widehat {f}}, \ qquad {\ widehat {Qf}} = P {\ widehat {f}}.}$

Wynika z tego, że operator zdefiniowany przez ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ Displaystyle Tf (x) = {\ widehat {\ widehat {f}}} (-x)}$

dojeżdża zarówno z Q (i P ). Z drugiej strony,

${\ Displaystyle TH_ {0} = H_ {0}}$

i od tego czasu

${\ Displaystyle g (x) = {f (x) -f (a) H_ {0} (x )/H_{0}(a) \ponad xa}}$

$,$ w wynika z tego

${\ Displaystyle T (xa) g | _ {x = a} = (xa) Tg | _ {x = a} = 0}$

i stąd

${\ Displaystyle Tf (a) = f (a).}$

Oznacza to wzór inwersji Fouriera :

$\ Displaystyle f (x) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \infty }^{\infty}{\widehat {f}}(\xi)e^{ix\xi}\,d\xi}$

$, że transformata$ jest izomorfizmem samej siebie.

Z twierdzenia Fubiniego

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ widehat {g}} (x) \, dx = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ iint f(x)g(\xi)e^{-ix\xi}\,dxd\xi =\int _{-\infty}^{\infty}}{\widehat {f}}(\xi)g(\ xi )\,d\xi .}$

W połączeniu ze wzorem inwersji oznacza to, że transformata Fouriera zachowuje iloczyn wewnętrzny

${\ Displaystyle \ lewo ({\ widehat {f}}, {\ widehat {g}} \ prawej) = (f, g)}$

$definiuje$ izometrię na .

Przez gęstość rozciąga się na operatora unitarnego na L ² ( R ), jak potwierdza twierdzenie Plancherela .

Twierdzenie Stone'a-von Neumanna

Zobacz także: Twierdzenie Stone'a – von Neumanna

Załóżmy, że U ( s ) i V ( t ) to jednoparametrowe grupy jednostkowe w przestrzeni Hilberta spełniające relacje komutacji Weyla ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle U (s) V (t) = e ^ {-ist} V (t) U (s).}$

fa ${\ Displaystyle F (s, t) \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbf {R} \ razy \ mathbf {R}),$ niech

${\ Displaystyle F ^ {\ vee} (x, y) = {1 \ ponad {\ sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty}^{\infty}F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

i zdefiniuj operator ograniczony na ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ przez

${\ Displaystyle T (F) = \ iint F ^ {\ vee} (x, x + y) U (x) V (y) \, dxdy.}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T (F) T (G) & = T (F \ gwiazda G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{wyrównane}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (F\gwiazda G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F( y,x)}}\end{wyrównane}}}$

Operatory T ( fa ) $mają$ ważną właściwość niezdegenerowania : liniowa rozpiętość wszystkich wektorów T ( fa ) ξ jest gęsta .

Rzeczywiście, jeśli fds i gdt definiują miary prawdopodobieństwa ze zwartym wsparciem, to operatory rozmazane

${\ Displaystyle U (f) = \ int U (s) f (s )\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

usatysfakcjonować

${\ Displaystyle \| U (f) \ |, \ | V (g) \|\ równoważnik 1}$

i zbiegają się w topologii silnego operatora do operatora tożsamości, jeśli podpory miar zmniejszają się do 0.

Ponieważ U ( f ) V ( g ) ma postać T ( F ), następuje niezdegenerowanie.

Gdy jest reprezentacją Schrödingera na L ² ( R ), operator T ( fa ) jest dany przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle T (F) f (x) = \ int F (x, y) f (y) \, dy.}$

Z tego wzoru wynika, że ​​U i V łącznie działają nieredukowalnie na reprezentację Schrödingera, ponieważ jest to prawdziwe dla operatorów danych przez jądra, które są funkcjami Schwartza. Konkretny opis dostarcza Liniowe transformacje kanoniczne .

$,$ biorąc pod uwagę reprezentację relacji komutacji Weyla na daje to niezdegenerowaną reprezentację * -algebry operatorów jądra. Ale wszystkie takie reprezentacje są na ortogonalnej bezpośredniej sumie kopii L ² ( R ) z działaniem na każdą kopię jak powyżej. Jest to proste uogólnienie elementarnego faktu, że reprezentacje macierzy N × N są bezpośrednimi sumami reprezentacji standardowej na C ^N . Dowód za pomocą jednostki macierzowe działają równie dobrze w nieskończonych wymiarach.

Jednoparametrowe grupy unitarne U i V pozostawiają każdy składnik niezmienny, indukując standardowe działanie na reprezentacji Schrödingera.

W szczególności implikuje to twierdzenie Stone'a – von Neumanna : reprezentacja Schrödingera jest wyjątkową nieredukowalną reprezentacją relacji komutacji Weyla w przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja oscylatora SL(2,R)

Biorąc pod uwagę U i V spełniające relacje komutacji Weyla, zdefiniuj

${\ Displaystyle W (x, y) = e ^ {\ Frac {ixy} {2}} U (x) V (y).}$

Następnie

${\ Displaystyle W ( x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_ {1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

tak, że W definiuje rzutową reprezentację jednostkową R ² z kocyklem danym przez

${\ Displaystyle \ omega (z_ {1}, z_ {2}) = e ^ {iB (z_ {1}, z_ {2} })},}$

gdzie ${\ Displaystyle z = x + iy = (x, y)}$ i B jest formą symplektyczną na R ² określoną przez

${\ Displaystyle B (z_ {1}, z_ {2}) = x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2} = \ jestem z_ {1} {\ overline {z_ {2}}} .}$

Zgodnie z twierdzeniem Stone'a-von Neumanna istnieje unikalna nieredukowalna reprezentacja odpowiadająca temu kocyklowi.

Wynika z tego, że jeśli g jest automorfizmem R ² zachowującym postać B , czyli elementem SL(2, R ), to istnieje unitarne π( g ) na L ² ( R ) spełniające relację kowariancji

${\ Displaystyle \ pi (g) W (z) \ pi (g) ^ {*} = W (g (z)).}$

Zgodnie z lematem Schura jednostkowe π( g ) jest unikalne aż do pomnożenia przez skalar ζ z |ζ| = 1, tak że π definiuje rzutową reprezentację unitarną SL(2, R ).

Można to ustalić bezpośrednio, korzystając jedynie z nieredukowalności reprezentacji Schrödingera. Nieredukowalność była bezpośrednią konsekwencją faktu operatorów

${\ Displaystyle \ iint K (x, y) U (x) V (y) \, dxdy,}$

z K a funkcją Schwartza odpowiadają dokładnie operatorom podanym przez jądra z funkcjami Schwartza.

Są one gęste w przestrzeni operatorów Hilberta-Schmidta , która, ponieważ zawiera operatory skończonego rzędu, działa nieredukowalnie.

Istnienie π można udowodnić jedynie za pomocą nieredukowalności reprezentacji Schrödingera. Operatory są unikalne aż do znaku z

${\ Displaystyle \ pi (gh) = \ pm \ pi (g) \ pi (h)}$

tak, że 2-kocykl dla projekcyjnej reprezentacji SL(2, R ) przyjmuje wartości ±1.

W rzeczywistości grupa SL(2, R ) jest generowana przez macierze postaci

${\ Displaystyle g_ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} a & 0 \\ 0 & a ^ {- 1 }\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1 \\-1&0\end{pmacierz}},}$

i można bezpośrednio zweryfikować, że następujące operatory spełniają powyższe relacje kowariancji:

${\ Displaystyle \ pi (g_ {1}) f (x) = \ pm a ^ {- {\ Frac {1} {2}}} f (a ^ {-1} x), \, \, \ pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{ \frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

Generatory g _i spełniają następujące relacje Bruhata , które jednoznacznie określają grupę SL(2, R ):

${\ Displaystyle g_ {3} ^ {2} = g_ {1} (-1), \, \, g_ {3} g_ {1} (a) g_ {3} ^ {-1} = g_ {1} (a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2 }b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2 }(a^{-1}).}$

Bezpośrednim obliczeniem można zweryfikować, że relacje te są spełnione aż do znaku przez odpowiednie operatory, który stwierdza, że ​​kocykl przyjmuje wartości ±1.

Istnieje bardziej konceptualne wyjaśnienie wykorzystujące jawną konstrukcję grupy metaplektycznej jako podwójnego pokrycia SL(2, R ). SL(2, R ) działa poprzez transformacje Möbiusa na górnej połowie płaszczyzny H . Co więcej, jeśli

${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}},}$

Następnie

${\ Displaystyle {dg (z) \ ponad dz} = {1 \ ponad (cz + d) ^ {2}}.}$

Funkcja

${\ Displaystyle m (g, z) = cz + d}$

spełnia relację 1-kocyklu

${\ Displaystyle m (gh, z) = m (g, hz) m (h, z).}$

Dla każdego g funkcja m ( g , z ) nie znika na H , a zatem ma dwa możliwe holomorficzne pierwiastki kwadratowe. Grupa metaplektyczna jest zdefiniowana jako grupa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {MP} (2, \ mathbf {R}) = \ {(g, G) | G (z) ^ {2} = m (g, z) \}.}$

Z definicji jest to podwójne pokrycie SL(2, R ) i jest spójny. Mnożenie jest podane przez

${\ Displaystyle (g, G) \ cdot (h, H) = (gh, K)}$

Gdzie

${\ Displaystyle K (z) = G (hz) H (z).}$

Zatem dla elementu g grupy metaplektycznej istnieje jednoznacznie określona funkcja m ( g , z ) ^1/2 spełniająca zależność 1-kocykl.

Jeśli ${\ Displaystyle \ Im z> 0}$ , to

${\ Displaystyle f_ {z} (x) = e ^ {izx ^ {2}/2}}$

leży w L ² i jest nazywany stanem koherentnym .

Funkcje te leżą na pojedynczej orbicie SL(2, R ) generowanej przez

${\ Displaystyle f_ {i} (x) = e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}},}$

ponieważ dla g w SL(2, R )

${\ Displaystyle \ pi ((g ^ {t}) ^ {-1}) f_ {z} (x) = \ pm m (g, z) ^ {-1/2} f_ {gz} (x). }$

Dokładniej, jeśli g leży w Mp(2, R ), to wtedy

${\ Displaystyle \ pi ((g ^ {t}) ^ {-1}) f_ {z} (x) = m (g, z) ^ {-1/2} f_ {gz} (x).}$

Rzeczywiście, jeśli dotyczy to g i h , dotyczy to również ich iloczynu. Z drugiej strony wzór można łatwo sprawdzić, czy gi _g t ^ma postać i są to generatory.

To definiuje zwykłą jednolitą reprezentację grupy metaplektycznej.

Element (1,–1) działa jak pomnożenie przez –1 na L ² ( R ), z czego wynika, że ​​kocykl na SL(2, R ) przyjmuje tylko wartości ±1.

Indeks Masłowa

Jak wyjaśniono w Lion & Vergne (1980) , 2-kocykl na SL(2, R ) związany z reprezentacją metaplektyczną, przyjmujący wartości ±1, jest określony przez indeks Maslova .

Biorąc $pod$ uwagę trzy niezerowe wektory u , v , w na płaszczyźnie, Masłowa jako sygnatura R ³ określone przez

${\ Displaystyle Q (a, b, c) = abB (u, v) + bcB (v, w) + caB (w, u).}$

Właściwości indeksu Masłowa :

• zależy to od jednowymiarowych podrzędnych przestrzeni rozpiętych przez wektory
• jest niezmiennikiem pod SL(2, R )
• jest naprzemienny w swoich argumentach, tj. jego znak zmienia się, jeśli dwa argumenty są zamienione
• znika, jeśli dwie podprzestrzenie pokrywają się
• przyjmuje wartości –1, 0 i +1: jeśli u i v spełniają B ( u , v ) = 1 i w = au + bv , to indeks Masłowa wynosi zero, jeśli ab = 0 i poza tym jest równy minus znak Ab
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ tau (v, w, z )-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

₀ Wybierając niezerowy wektor u , wynika, że ​​funkcja

${\ Displaystyle \ Omega (g, h) = \ exp - {\ pi ja \ ponad 4} \ tau (u_ { 0},gu_{0},ghu_{0})}$

definiuje 2-kocykl na SL(2, R ) z wartościami w ósmych pierwiastkach jedności.

Modyfikację 2-kocyklu można wykorzystać do zdefiniowania 2-kocyklu z wartościami w ± 1 związanymi z kocyklem metaplektycznym.

W rzeczywistości, biorąc pod uwagę niezerowe wektory u , v na płaszczyźnie, zdefiniuj f ( u , v ) jako

• i razy znak B ( u , v ), jeśli u i v nie są proporcjonalne
• znak λ, jeśli u = λ v .

Jeśli

${\ Displaystyle b (g) = f (u_ {0}, gu_ {0}),}$

Następnie

${\ Displaystyle \ Omega (g, h) ^ {2} = b (gh) b (g) ^ {- 1} b (h) ^ {- 1}.}$

Reprezentanci π( g ) w reprezentacji metaplektycznej mogą być tak dobrani, że

${\ Displaystyle \ pi (gh) = \ omega (g, h) \ pi (g) \ pi (h)}$

gdzie 2-kocykl ω jest określony przez

${\ Displaystyle \ omega (g, h) = \ Omega (g, h) \ beta ( gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

z

${\ Displaystyle \ beta (g) ^ {2} = b (g).}$

Holomorficzna przestrzeń Focka

Główny artykuł: przestrzeń Segala – Bargmanna

Holomorficzna przestrzeń Focka (znana również jako przestrzeń Segala – Bargmanna ) jest zdefiniowana jako przestrzeń wektorowa funkcji holomorficznych fa ( z ) na C z ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle {1 \ ponad \ pi} \ iint _ {\ mathbf {C}} | f (z) | ^ {2} e ^ {- | z | ^ {2}} \, dxdy }$

skończone. Ma produkt wewnętrzny

${\ Displaystyle (f_ {1}, f_ {2}) = {1 \ ponad \ pi} \ iint _ {\ mathbf {C}} f_ {1} (z) {\ overline {f_ {2} (z) }}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

jest przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle e_ {n} (z) = {z ^ {n} \ ponad {\ sqrt {n!}}}, \ quad n \ geq 0.$

Co więcej, rozwinięcie szeregu potęgowego funkcji holomorficznej w $jej$ rozwinięcie w odniesieniu do tej podstawy. Zatem dla z w C

${\ Displaystyle | f (z) | = \ lewo | \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n} \ prawo |\ równoważnik \| f \ | e ^ {| z |^{2}/2},}$

więc ocena w z daje ciągły funkcjonał liniowy na ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ W rzeczywistości

${\ Displaystyle f (a) = (f, E_ {a})}$

Gdzie

${\ Displaystyle E_ {a} (z) = \ suma _ {n \ geq 0} {(E_ {a}, e_ {n}) z ^ {n} \ ponad {\ sqrt {n!}}} = \ suma _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \ponad n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

Zatem w szczególności jest to odtwarzająca się przestrzeń Hilberta jądra. fa $\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Dla f in C zdefiniuj . fa { \ displaystyle {\ mathcal {F $}}$

${\ Displaystyle W _ {\ mathcal {F}} (z) f (w) = e ^ {- | z | ^ {2}/2} e ^ {w {\ overline {z}}} f (wz). }$

Następnie

${\ Displaystyle W _ {\ mathcal {F}} (z_ {1}) W_ {\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+ z_{2}),}$

więc daje to jednolitą reprezentację relacji komutacji Weyla. Teraz

${\ Displaystyle W _ {\ mathcal {F}} (a) E_ {0} = e ^ {- | a | ^ {2}/2} E_ {a}.}$

$,$ że reprezentacja .

$funkcja$ prostopadła do wszystkich E _a musi zniknąć, tak że ich rozpiętość liniowa jest gęsta .

₀ Jeśli P jest rzutem ortogonalnym dojeżdżającym do pracy z W ( z ), niech f = PE . Następnie

${\ Displaystyle f (z) = (PE_ {0}, E_ {z}) = e ^ {| z | ^ {2}} (PE_ {0}, W_ {\ mathcal {F}} (z) E_ { 0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

Jedyną funkcją holomorficzną spełniającą ten warunek jest funkcja stała. Więc

${\ Displaystyle PE_ {0} = \ lambda E_ {0},}$

₀ gdzie λ = 0 lub 1. Ponieważ E jest cykliczne, wynika z tego, że P = 0 lub I .

Zgodnie z twierdzeniem Stone'a-von Neumanna $.$ operator unitarny od L ² ( R $)$ na , unikalny do pomnożenia przez a skalar, przeplatając dwie reprezentacje relacji komutacji Weyla. Zgodnie z lematem Schura i konstrukcją Gelfanda – Naimarka współczynnik macierzy dowolnego wektora określa wektor aż do wielokrotności skalarnej. Ponieważ współczynniki macierzy F = E ₀₀ i f = H są równe, wynika z tego, że jednostkowość jest jednoznacznie określona przez właściwości ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle W _ {\ mathcal {F}} (a) {\ mathcal {U}} = {\ mathcal {U}} W (a)}$

I

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} H_ {0} = E_ {0}.}$

Stąd dla f w L ² ( R )

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} f (z) = ({\ mathcal {U}} f, E_ {z}) = (f, {\ mathcal {U}} ^ {* }E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})= e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

aby

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} f (z) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty}^{\infty}B(z,t)f(t)\,dt,}$

Gdzie

${\ Displaystyle B (z, t) = \ exp [- z ^ {2} -t ^ {2}/2 + zt].}$

Operator nazywa się transformatą Segala – Bargmanna $Bargmanna$ a B jądrem .

Adjoint z jest określony wzorem: ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {*} F (t) = {1 \ ponad \ pi} \ iint _ {\ mathbf {C}} B ({\ overline {z}}, t) F ( z)\,dxdy.}$

Model Focka

Działanie SU(1,1) na holomorficzną przestrzeń Focka opisali Bargmann (1970) i ​​Itzykson (1967) .

Podwójna osłona metaplektyczna SU(1,1) może być jawnie skonstruowana jako pary ( g , γ) z

${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa & \ beta \\ {\ overline {\ beta}} i {\ overline {\ alfa}} \ koniec {pmatrix} }}$

I

${\ Displaystyle \ gamma ^ {2} = \ alfa.}$

Jeśli g = g ₁ g ₂ , to

${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ lewo (1 + {\ beta _ {1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

używając rozwinięcia szeregu potęg (1 + z ) ^1/2 dla | z | < 1.

Reprezentacja metaplektyczna jest reprezentacją unitarną π( g , γ) tej grupy spełniającą relacje kowariancji

${\ Displaystyle \ pi (g, \ gamma) W _ {\ mathcal {F}} (z) \ pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

Gdzie

${\ Displaystyle g \ cdot z = \ alfa z + \ beta {\ overline {z}}.}$

Ponieważ jest $określonemu$ odtwarzającym przestrzeń Hilberta , każdy ograniczony operator T na nim odpowiada jądru przez szereg potęg jego dwóch argumentów. W rzeczywistości, jeśli

${\ Displaystyle K_ {T} (a, b) = (TE_ {\ overline {b}}, E_ {a}),}$

i fa w wtedy ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle TF (a) = (TF, E_ {a}) = (F, T ^ {*} E_ {a}) = {\ Frac {1} {1} {\ pi}} \ iint _ {\ mathbf {C } }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1} {\pi}}\iint _{\mathbf {C}}K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy. }$

Relacje kowariancji i analityczność jądra implikują, że dla S = π( g , γ),

${\ Displaystyle K_ {S} (a, z) = C \ cdot \ exp \, {1 \over 2\alpha}({\overline {\beta}}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

dla pewnej stałej C . Pokazuje to bezpośrednia kalkulacja

${\ Displaystyle C = \ gamma ^ {- 1}}$

prowadzi do zwykłej reprezentacji podwójnej okładki.

₀ Stany spójne można ponownie zdefiniować jako orbitę E pod grupą metaplektyczną.

Dla w złożonego zestawu

${\ Displaystyle F_ {w} (z) = e ^ {wz ^ {2}/2}.}$

₀₀ fa ${\ mathcal {F}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy | w | < 1. W szczególności F = 1 = mi . Ponadto,

${\ Displaystyle \ pi (g, \ gamma) F_ {w} = ({\ overline {\ alfa}} + {\ overline {\ beta}} w) ^ {- {\ frac {1} {2}}} F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma}}}\left(1+{{\overline {\beta}} \over {\overline {\alpha}}}w\right)^ {-1/2}F_{gw},}$

Gdzie

${\ Displaystyle gw = {\ alfa w + \ beta \ ponad {\ overline {\ beta}} w + {\ overline {\ alfa}}}.}$

Podobnie funkcje zF _w ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ w i tworzą orbitę grupy metaplektycznej: fa

${\ Displaystyle \ pi (g, \ gamma) [zF_ {w}] (z) = ({\ overline {\ alfa}} + {\ overline {\ beta}} w) ^ {-3/2} zF_ { gw}(z).}$

₀₀ Ponieważ ( F _w , E ) = 1, współczynnik macierzowy funkcji E = 1 jest określony przez

${\ Displaystyle (\ pi (g, \ gamma) 1,1) = \ gamma ^ {- 1}.}$

model dysku

Rzutowa reprezentacja SL (2, ^R ) na lub na rozpada się jako bezpośrednia suma dwóch nieredukowalnych reprezentacji, odpowiadających parzystym i nieparzystym funkcjom x lub L $2 ($ ) z . Te dwie reprezentacje można zrealizować w przestrzeniach Hilberta funkcji holomorficznych na dysku jednostkowym; lub, używając transformaty Cayleya, na górnej połowie płaszczyzny.

Funkcje parzyste odpowiadają funkcjom holomorficznym F ₊ dla których

${\ Displaystyle {1 \ ponad 2 \ pi} \ iint | F_ {+} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {- 1/2} \, dxdy + { 2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

jest skończony; a funkcje nieparzyste do funkcji holomorficznych F _– dla których

${\ Displaystyle {1 \ ponad 2 \ pi} \ iint | F_ {-} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2})^{-1/2}\,dxdy}$

jest skończony. Spolaryzowane formy tych wyrażeń definiują iloczyny wewnętrzne.

Działanie grupy metaplektycznej jest podane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ pi _ {\ pm} (g ^ {- 1}) F _ {\ pm} (z) &=\left({\overline {\beta}}z+{\overline {\alpha}}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm}(gz) \\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\ overline {\alpha}}z-\beta \over -{\overline {\beta}}z+\alpha}\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta} }&{\overline {\alpha}}\end{pmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Nieredukowalność tych reprezentacji ustalana jest w sposób standardowy. Każda reprezentacja rozpada się jako bezpośrednia suma jednowymiarowych przestrzeni własnych grupy rotacji, z których każda jest generowana przez C ^∞ dla całej grupy. Wynika z tego, że każda zamknięta niezmienna podprzestrzeń jest generowana przez algebraiczną sumę bezpośrednią zawartych w niej przestrzeni własnych i że ta suma jest niezmienna w ramach nieskończenie małego działania algebry Liego sol {\ ${\ mathfrak {g}}}$ . Z drugiej strony działanie to jest nieredukowalne.

Izomorfizm z parzystymi i nieparzystymi funkcjami w można udowodnić za pomocą konstrukcji Gelfanda – Naimarka, $ponieważ$ współczynniki macierzy związane z 1 i z w odpowiednich reprezentacjach są proporcjonalne Itzykson (1967) podał inną metodę, zaczynając od map

${\ Displaystyle U_ {+} (F) (w) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ iint _ {\ mathbf {C}} F (z) e ^ {{\ frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\ Displaystyle U_ {-} (F) (w) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ iint _ {\ mathbf {C}} F (z) {\ overline {z }}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

od części parzystych i nieparzystych do funkcji na dysku jednostkowym. Mapy te przeplatają działania grupy metaplektycznej podanej powyżej i wysyłają z ⁿ do wielokrotności w ⁿ . Założenie, że U _± powinno być jednolite, określa iloczyny wewnętrzne funkcji na dysku, które można wyrazić w powyższej postaci.

₀ Chociaż w tych reprezentacjach operator L ma widmo dodatnie — cechę, która wyróżnia holomorficzne reprezentacje szeregów dyskretnych SU(1,1) — reprezentacje nie leżą w dyskretnych szeregach grupy metaplektycznej. Rzeczywiście, Kashiwara i Vergne (1978) zauważyli, że współczynniki macierzowe nie są całkowalne do kwadratu, chociaż ich trzecia potęga jest.

Oscylator harmoniczny i funkcje Hermite'a

Rozważ następującą podprzestrzeń L ² ( R ):

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ lewo \ {f \ w L ^ {2} (\ mathbf {R}) \ lewo | f (x) = p (x) e ^ {- {\ frac { x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\prawo.\prawo\}.}$

Operatorzy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X & = Q-iP = {d \ ponad dx} + x \\ Y&=Q+iP=-{d \ponad dx}+x\end{wyrównane}}}$

działać ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}.}$ X nazywany jest operatorem anihilacji , a Y operatorem kreacji . Satysfakcjonują

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X & = Y ^ {*} \\ XY & = D + I & & D = - {d ^ {2} \ nad dx ^ {2}} + x ^ {2} \\ XY-YX & =2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{przez indukcję}}\end{wyrównane}}}$

Zdefiniuj funkcje

${\ Displaystyle F_ {n} (x) = Y ^ {n} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Twierdzimy, że są to funkcje własne oscylatora harmonicznego D . Aby to udowodnić, używamy powyższych relacji komutacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} DF_ {n} & = DY ^ {n} F_ {0} \\& = (XY-I) Y ^ {n} F_ {0} \\& = \ lewo (XY ^{n+1}-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left(\left((2n+2)Y^{n}+Y^{n+1}X\right )-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left((2n+1)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)F_{0}\\& =(2n+1)Y^{n}F_{0}+Y^{n+1}XF_{0}\\&=(2n+1)F_{n}&&XF_{0}=0\end{wyrównane }}}$

Dalej mamy:

${\ Displaystyle \| F_ {n} \|_ {2} ^ {2} = 2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}}.}$

Jest to znane dla n = 0, a powyższa relacja komutacji daje wyniki

${\ Displaystyle (F_ {n}, F_ {n}) = \ lewo (XY ^ {n} F_ {0}, Y ^ {n-1} F_ {0} \ prawej) = 2n (F_ {n-1 },F_{n-1}).}$

N -ta funkcja Hermite'a jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = \| F_ {n} \| ^ {-1} F_ {n} (x) = p_ {n} (x) e ^ {- {\ Frac {x ^ { 2}}{2}}}.}$

p _n nazywamy n-tym wielomianem Hermite'a .

Pozwalać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & = {1 \ ponad {\ sqrt {2}}}Y={1 \over {\sqrt {2}}}\left(-{d \over dx}+x\right)\\A^{*}&={1 \over {\sqrt {2}}}X={1 \over {\sqrt {2}}}\left({d \over dx}+x\right)\end{wyrównane}}}$

Zatem

${\ Displaystyle AA ^ {*} -A ^ {*} A = ja.}$

Operatory P , Q lub równoważnie ZA , A * działają nieredukowalnie na $.$ argumencie

Rzeczywiście, w ramach izomorfizmu jednostkowego z holomorficzną przestrzenią Focka $]$ utożsamiać z C [ z , przestrzenią wielomianów w z , z

${\ Displaystyle A = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z}}, \ qquad A ^ {*} = z.}$

Jeśli niezmiennik podprzestrzeni pod A i A* zawiera niezerowy wielomian p ( z ), to stosując potęgę A *, zawiera niezerową stałą; stosując następnie potęgę A , zawiera wszystkie z ⁿ .

Pod izomorfizmem F _n jest przesyłane do wielokrotności z ⁿ , a operator D jest dany przez

${\ Displaystyle D = 2A ^ {*} A + I.}$

Pozwalać

${\ Displaystyle L_ {0} = {1 \ ponad 2} (A ^ {*} A + {1 \ ponad 2 })={1 \ponad 2}(z{\częściowo \ponad \częściowo z}+{1 \ponad 2})}$

aby

${\ Displaystyle L_ {0} z ^ {n} = {1 \ ponad 2} (n + {1 \ ponad 2}) z ^ {n}.}$

₀ W terminologii fizyki A , A * dają pojedynczy bozon, a L jest operatorem energii. Jest diagonalizowalny z wartościami własnymi 1/2, 1, 3/2, ...., każda o krotności jeden. Taka reprezentacja nazywana jest dodatnią reprezentacją energii .

Ponadto,

${\ Displaystyle [L_ {0}, A] = - {1 \ ponad 2} A, [L_ {0}, A^{*}]={1 \ponad 2}A^{*},}$

₀₀₀ tak że nawias Liego z L definiuje wyprowadzenie algebry Liego rozpiętej przez A , A * i I . Sąsiadujące L daje produkt półbezpośredni . Nieskończenie mała wersja twierdzenia Stone'a-von Neumanna stwierdza, że ​​​​powyższa reprezentacja na C [ z ] jest unikalną reprezentacją nieredukowalnej energii dodatniej tej algebry Liego z L = A * A + 1/2. Dla A obniża energię i A * podnosi energię. Tak więc każdy wektor najniższej energii v jest anihilowany przez A , a moduł jest wyczerpany przez potęgi A * przyłożone do v . Jest to zatem niezerowy iloraz C [ z ] i dlatego można go utożsamiać z nieredukowalnością.

Pozwalać

${\ Displaystyle L_ {-1} = {1 \ ponad 2} A ^ {2}, L_ {1} = {1 \ ponad 2} A^{*2},}$

aby

${\ Displaystyle [L_ {-1} ,A]=0,\,\,\,[L_{-1},A^{*}]=A,\,\,\,[L_{1},A]=-A^{*}, \,\,\,[L_{1},A^{*}]=0.}$

Te operatory spełniają:

${\ Displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n}}$

i działaj przez wyprowadzenia z algebry Liego obejmującej A , A * i I .

Są to nieskończenie małe operatory odpowiadające metaplektycznej reprezentacji SU(1,1).

Funkcje F _n są określone przez

${\ Displaystyle F_ {n} (x) = \ lewo (x - {d \ nad dx} \ prawej) ^ {n} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} = ( -1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x^{2}} \right)=\left(2^{n}x^{n}+\cdots \right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

$ortonormalizacji$ ^że funkcje Hermite'a są bazą ortonormalną uzyskaną przez zastosowanie procesu ^Grama - Schmidta do podstawy .

Kompletność funkcji Hermite'a wynika z faktu, że transformata Bargmanna jest unitarna i przenosi bazę ortonormalną e _n ( z ) holomorficznej przestrzeni Focka na H _n ( x ).

Operatorem ciepła dla oscylatora harmonicznego jest operator na L ² ( R ) zdefiniowany jako operator diagonalny

${\ Displaystyle e ^ {-Dt} H_ {n} = e ^ {- (2n + 1) t} H_ {n}.}$

Odpowiada to jądrze ciepła określonemu wzorem Mehlera :

${\ Displaystyle K_ {t} (x, y) \ równoważnik \ suma _ {n \ geq 0} e ^ {- (2n + 1) t} H_ {n} (x) H_ {n} (y) = ( 4\pi t)^{-{1 \over 2}}\left({2t \over \sinh 2t}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{1 \over 4t}\left [{2t \over \tanh 2t}(x^{2}+y^{2})-{2t \over \sinh 2t}(2xy)\right]\right).}$

Wynika to ze wzoru

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} s ^ {n} H_ {n} (x) H_ {n} (y) = {1 \ ponad {\ sqrt {\ pi (1-s ^ {2} )}}}\exp {4xys-(1+s^{2})(x^{2}+y^{2}) \ponad 2(1-s^{2})}.}$

Aby udowodnić ten wzór, zauważmy, że jeśli s = σ ² , to zgodnie ze wzorem Taylora

${\ Displaystyle F _ {\ sigma, x} (z) \ równoważnik \ suma _ {n \ geq 0} \ sigma ^ {n} e_ {n} (z) H_ {n} (x) = \ pi ^ {- {1 \over 4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\sum _{n\geq 0}{(-z)^{n}\sigma ^{n} \over 2^{n}n!}{d^{n}e^{x^{2}} \over dx^{n}}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}} \exp \left(-{x^{2} \over 2}+{\sqrt {2}}xz\sigma -{z^{2}\sigma ^{2} \over 2}\right).}$

Zatem F _{σ, x} leży w holomorficznej przestrzeni Focka i

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} s ^ {n} H_ {n} (x)H_{n}(y)=(F_{\sigma,x},F_{\sigma,y})_{\mathcal {F}},}$

iloczyn wewnętrzny, który można obliczyć bezpośrednio.

Wiener (1933 , s. 51–67) bezpośrednio ustala formułę Mehlera i używa klasycznego argumentu, aby udowodnić, że

${\ Displaystyle \ int K_ {t} (x, y) f (y) \, dy}$

ma tendencję do f w L ² ( R ) gdy t maleje do 0. Pokazuje to kompletność funkcji Hermite'a, a także, ponieważ

${\ Displaystyle {\ widehat {H_ {n}}} = (-i) ^ {n} H_ {n},}$

można użyć do wyprowadzenia właściwości transformaty Fouriera.

Istnieją inne elementarne metody dowodzenia kompletności funkcji Hermite'a, na przykład za pomocą szeregu Fouriera .

Przestrzenie Sobolewa

Przestrzenie Sobolewa H _s , czasami nazywane przestrzeniami Hermite'a-Sobolewa , są definiowane jako uzupełnienia ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ w odniesieniu do norm

${\ Displaystyle \| f \ | _ {(s)} ^ {2} = \ suma _ {n \ geq 0} | a_ {n} | ^ {2} (1+ 2n)^{s},}$

Gdzie

${\ Displaystyle f = \ suma a_ {n} H_ {n}}$

jest rozwinięciem f w funkcjach Hermite'a.

Zatem

${\ Displaystyle \| f \ | _ {(s)} ^ {2} = (D ^ {s} f, f), \ qquad (f_ {1}, f_ {2}) _ {(s)} = (D^{s}f_{1},f_{2}).}$

Przestrzenie Sobolewa to przestrzenie Hilberta. Co więcej, H _s i H _{– s} są w dualności w parowaniu

${\ Displaystyle \ langle f_ {1}, f_ {2} \ rangle = \ int f_ {1} f_ {2} \, dx.}$

dla s ≥ 0,

${\ Displaystyle \| (AP + bQ) f \ | _ {( s)}\leq (|a|+|b|)C_{s}\|f\|_{\left(s+{1 \ponad 2}\right)}}$

dla pewnej dodatniej stałej C _s .

Rzeczywiście, taka nierówność może być sprawdzona dla operatorów kreacji i anihilacji działających na funkcjach Hermite'a H _n i implikuje to ogólną nierówność.

Wynika to z dualności dla dowolnych s .

W konsekwencji dla wielomianu kwadratowego R w P i Q

${\ Displaystyle \|Rf \|_ {(s)} \ równoważnik C'_ {s} \|f \|_ {(s + 1)}.}$

Nierówność Sobolewa zachodzi dla f w H _s z s > 1/2:

${\ Displaystyle | f (x) | \ równoważnik C_ {s, k} \ | f \ | _ {(s + k) }(1+x^{2})^{-k}}$

dla dowolnego k ≥ 0.

Rzeczywiście, wynik dla ogólnego k wynika z przypadku k = 0 zastosowanego do Q ^k f .

Dla k = 0 wzór inwersji Fouriera

$\ Displaystyle f (x) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \infty }^{\infty}{\widehat {f}}(t)e^{itx}\,dt}$

implikuje

${\ Displaystyle | f (x) | \ równoważnik C \ lewo (\ int \ lewo | {\ widehat {f}} (t) \ prawo | ^ {2} (1 + t ^ {2}) ^ {s} \,dt\right)^{1 \over 2}=C\left(\left(I+Q^{2}\right)^{s}{\widehat {f}},{\widehat {f}} \right)^{1 \over 2}\leq C'\left\|{\widehat {f}}\right\|_{(s)}=C'\|f\|_{(s)}. }$

Jeśli s < t , postać diagonalna D , pokazuje, że inkluzja H _t w H _s jest zwarta (lemat Rellicha).

Z nierówności Sobolewa wynika, że ​​przecięcie przestrzeni H _s to ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ . Funkcje w $Hermite'a$ się szybkim zanikiem ich współczynników za _n .

Standardowe argumenty pokazują, że każda przestrzeń Sobolewa jest niezmienna pod operatorami W ( z ) i grupą metaplektyczną. Rzeczywiście, wystarczy sprawdzić niezmienniczość, gdy g jest wystarczająco bliskie tożsamości. W tym wypadku

${\ Displaystyle gDg ^ {-1} = D + A}$

z re + ZA izomorfizmem od ${\ Displaystyle H_ {t + 2}}$ do ${\ displaystyle H_ {t}.}$

Wynika, że

${\ Displaystyle \|\ pi (g) f \|_ {(s)} ^ {2} = \ lewo | ((D + A) ^ {s} f, f) \ prawo | \ równoważnik \ lewo \ | (D+A)^{s}f\right\|_{(-s)}\cdot \|f\|_{(s)}\leq C\|f\|_{(s)}^{ 2}.}$

Jeśli ${\ Displaystyle f \ w H_ {s}},$ to

${\ Displaystyle {d \ nad ds} U (s) f = iPU (s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f,}$

gdzie pochodne leżą w ${\ Displaystyle H_ {s-1/2}.}$

Podobnie pochodne cząstkowe całkowitego stopnia k U ( s ) V ( t ) f leżą w przestrzeniach Sobolewa rzędu s – k /2 .

W konsekwencji jednomian w P i Q rzędu 2k zastosowany do f leży w H _{s – k} i może być wyrażony jako liniowa kombinacja pochodnych cząstkowych U(s)V(t)f stopnia ≤ 2k ocenianych na 0.

Gładkie wektory

Gładkie wektory relacji komutacji Weyla to wektory u w L2 ( R ) takie ^, że map

${\ Displaystyle \ Phi (z) = W (z) u}$

jest gładki. Zgodnie z twierdzeniem o jednostajnej ograniczoności jest to równoważne wymaganiu, aby każdy współczynnik macierzy (W(z)u,v) był gładki.

Wektor jest gładki wtedy i tylko wtedy leży w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ . Wystarczalność jest jasna. Dku gładkość implikuje ^, że pochodne cząstkowe W(z)u leżą w L ² ( R ), a zatem także dla wszystkich dodatnich k . Stąd u leży na przecięciu H _k , więc w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ .

Wynika z tego, że gładkie wektory są również gładkie dla grupy metaplektycznej.

Co więcej, wektor jest w $,$ gdy jest wektorem gładkim dla podgrupy rotacji SU (1,1).

Wektory analityczne

Jeśli Π ( t ) jest jednoparametrową grupą jednostkową i dla fa w ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ Displaystyle \ Pi (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ Pi (t )\,dt,}$

wtedy wektory Π( f )ξ tworzą gęsty zbiór gładkich wektorów dla Π.

W rzeczywistości biorąc

${\ Displaystyle f _ {\ varepsilon} (x) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi \ varepsilon}}} e ^ {- x ^{2}/2\varepsilon }}$

wektory v = Π( f _ε )ξ zbiegają się do ξ, gdy ε maleje do 0 i

${\ Displaystyle \ Phi (t) = \ Pi (t) v}$

jest funkcją analityczną t , która rozciąga się na całą funkcję na C .

Wektor jest nazywany całym wektorem dla Π.

Operator falowy powiązany z oscylatorem harmonicznym jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ Pi (t) = e ^ {to {\ sqrt {D}}}.}$

Operator jest diagonalny z funkcjami Hermite'a H _n jako funkcjami własnymi:

${\ Displaystyle \ Pi (t) H_ {n} = e ^ {i (2n + 1) ^ {1 \ ponad 2} t} H_ {n}.}$

Ponieważ dojeżdża z D , zachowuje przestrzenie Sobolewa.

Skonstruowane powyżej wektory analityczne można przepisać w kategoriach półgrupy Hermite'a jako

${\ Displaystyle v = e ^ {- \ varepsilon D} \ xi.}$

Fakt, że v jest całym wektorem dla Π, jest równoważny z warunkiem sumowalności

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} {r ^ {n} \| D ^ {n \ ponad 2} v \ | \ponad n!}<\infty }$

dla wszystkich r > 0.

Każdy taki wektor jest również całym wektorem dla U(s)V(t) , czyli mapą

${\ Displaystyle F (s, t) = U (s) V (t) v}$

zdefiniowana na R ² rozciąga się na mapę analityczną na C ² .

Zmniejsza się to do oszacowania szeregu potęgowego

${\ Displaystyle \ lewo \ | \ suma _ {m, n \ geq 0} {1 \ ponad m! n!} z ^ {m} w ^ {n} P ^ {m} Q ^ {n} v \ prawo \|\leq C\sum _{k\geq 0}{(|z|+|w|)^{k} \over k!}\|D^{k \over 2}v\|<\infty . }$

Więc tworzą one gęsty zbiór całych wektorów dla U(s)V(t) ; można to również sprawdzić bezpośrednio za pomocą wzoru Mehlera.

Przestrzenie gładkich i całych wektorów dla U(s)V(t) są z definicji niezmienne pod działaniem grupy metaplektycznej, jak również półgrupy Hermite'a.

Pozwalać

${\ Displaystyle W (z, w) = e ^ {-izw / 2} U (z) V (w)}$

będzie analityczną kontynuacją operatorów W ( x , y ) od R ² do C ² taką, że

${\ Displaystyle e ^ {-izw / 2} F (z, w) = W (z, w) v.}$

Wtedy W pozostawia przestrzeń całych wektorów niezmienną i spełnia

${\ Displaystyle W (z_ {1}, w_ {1}) W (z_ {2}, w_ {2}) = e ^ {i (z_ {1} w_ {2} -w_ {1} z_ {2} )}W(z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).}$

Ponadto dla g w SL(2, R )

${\ Displaystyle \ pi (g) W (u) \ pi (g) ^ {*} = W (gu)}$

używając naturalnego działania SL(2, R ) na C ² .

Formalnie

${\ Displaystyle W (z, w) ^ {*} = W (- {\ overline {z}}, - {\ overline {w}}).}$

Półgrupa oscylatora

Istnieje naturalne podwójne pokrycie półgrupy Olszańskiego H , a jego zamknięcie , $które$ rozszerza podwójne pokrycie SU (1,1) odpowiadające grupie Jest ona dana parami ( g , γ), gdzie g jest elementem H lub jego domknięciem

${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}}$

a γ jest pierwiastkiem kwadratowym z a .

Taki wybór determinuje unikalną gałąź

${\ Displaystyle \ lewo (- {\ overline {b}} z + {\ overline {d}} \ prawej) ^ {1 \ ponad 2}}$

dla | z | < 1.

Operatory unitarne π( g ) dla g w SL(2, R ) spełniają

${\ Displaystyle \ pi (g )W(u)=W(g\cdot u)\pi (g),\,\,\,\pi (g)^{*}W(u)=W(g^{-1}\cdot u )\pi (g)^{*}}$

dla ciebie w C ² .

O elemencie g kompleksu SL(2, C ) mówi się, że jest możliwy do zrealizowania , jeśli istnieje ograniczony operator T taki, że on i jego sprzężenie opuszczają przestrzeń całych wektorów dla niezmiennika W , oba mają gęste obrazy i spełniają relacje kowariancji

${\ Displaystyle TW (u) = W (g \ cdot u) T, \, \ ,\,T^{*}W(u)=W(g^{\sztylet }\cdot u)T^{*}}$

dla ciebie w C ² . Operator implementujący T jest jednoznacznie określony aż do pomnożenia przez niezerowy skalar.

Implementowalne elementy tworzą półgrupę zawierającą SL(2, R ). Ponieważ reprezentacja ma dodatnią energię, ograniczone zwarte operatory samosprzężone

${\ Displaystyle S_ {0} (t) = e ^ {-tL_ {0}}}$

dla t > 0 zaimplementuj elementy grupowe w exp C ₁ .

Wynika z tego, że realizowane są wszystkie elementy półgrupy Olszańskiego i jej domknięcia.

₀ Maksymalność półgrupy Olshanki oznacza, że ​​nie są implementowane żadne inne elementy SL(2, C ). Rzeczywiście, w przeciwnym razie każdy element SL(2, C ) byłby zaimplementowany przez ograniczony operator, co byłoby sprzeczne z nieodwracalnością operatorów S ( t ) dla t > 0.

₀ W reprezentacji Schrödingera operatory S ( t ) dla t > 0 są dane wzorem Mehlera. Są to operatory kontrakcji , dodatnie iw każdej klasie Schattena . Ponadto pozostawiają niezmienniczą każdą z przestrzeni Sobolewa. $kontynuacji$ formuła jest prawdziwa dla

Bezpośrednio w modelu Focka widać, że operatory implementujące można wybrać tak, aby definiowały zwykłą reprezentację podwójnego pokrycia H skonstruowanego powyżej. Odpowiednia półgrupa operatorów kontrakcji nazywana jest półgrupą oscylatora . Rozszerzoną półgrupę oscylatora uzyskuje się, biorąc iloczyn półprosty z operatorami W ( u ). Operatory te leżą w każdej klasie Schatten i pozostawiają niezmienne przestrzenie Sobolewa i przestrzeń całych wektorów dla W .

Rozkład

${\ Displaystyle {\ overline {H}} = G \ cdot \ exp {\ overline {C}}$

odpowiada na poziomie operatora rozkładowi biegunowemu operatorów ograniczonych .

₀ Ponadto, ponieważ każda macierz w H jest sprzężona z macierzą diagonalną przez elementy w H lub H ^-1 , każdy operator w półgrupie oscylatora jest quasi-podobny do operatora S ( t ) z ${\ displaystyle \ Re t> 0}$ . W szczególności ma to samo widmo składające się z prostych wartości własnych.

W modelu Focka, jeśli element g półgrupy Olshanki H odpowiada macierzy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}},}$

odpowiedni operator jest podany przez

${\ Displaystyle \ pi (g, \ gamma) f (w) = {1 \ ponad \ pi} \ iint _ {\ mathbf {C}} K (w, {\ overline {z}} )f(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

Gdzie

${\ Displaystyle K (w, z) = \ gamma ^ {- 1} \ cdot \ exp \ ,{1 \over 2a}(cz^{2}+2wz-bw^{2})}$

a γ jest pierwiastkiem kwadratowym z a . Operatory π ( g , γ) dla g w półgrupie H to dokładnie te operatory, które są operatorami Hilberta – Schmidta i odpowiadają jądrom postaci

${\ Displaystyle K (w, z) = C \ cdot \ exp \ {1 \ ponad 2} ( pz^{2}+2qwz+rw^{2})}$

dla których złożona macierz symetryczna

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} p & q \\ q & r \ koniec {pmatrix}}}$

ma normę operatora ściśle mniejszą niż jeden.

Operatory w rozszerzonej półgrupie oscylatora są podane za pomocą podobnych wyrażeń z dodatkowymi wyrazami liniowymi w z i w występującymi w wykładnictwie.

W modelu dysku dla dwóch nieredukowalnych składowych reprezentacji metaplektycznej odpowiednie operatory są podane przez

${\ Displaystyle \ pi _ {\ pm} (g) F _ {\ pm} (z) = (- {\ overline {b}} z + {\ overline {d}}) ^ {- 1 \ pm 1/2} F_{\pm }\left({{\overline {a}}z-{\overline {c}} \over -{\overline {b}}z+{\overline {d}}}\right).}$

Możliwe jest również podanie jawnego wzoru na operatory skurczu odpowiadające g w H w reprezentacji Schrödingera. To właśnie za pomocą tego wzoru Howe (1988) wprowadził półgrupę oscylatora jako jawną rodzinę operatorów na L ² ( R ).

W rzeczywistości rozważ górną połowę płaszczyzny Siegela składającą się z symetrycznych zespolonych macierzy 2x2 z dodatnio określoną częścią rzeczywistą:

${\ Displaystyle Z = {\ rozpocząć {pmatrix} A & B \\ B & D \ koniec {pmatrix}}}$

i zdefiniuj jądro

${\ Displaystyle K_ {Z} (x, y) = e ^ {- (Ax ^ {2} + 2Bxy + Dy ^ {2})}.}$

z odpowiednim operatorem

${\ Displaystyle T_ {Z} f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} K_ {Z}(x,y)f(y)\,dy}$

dla f w L ² ( R ).

Wtedy bezpośrednie obliczenia dają

${\ Displaystyle T_ {Z_ {1}} T_ {Z_ {2}} = (D_ {1} + A_ {2}) ^{-1/2}T_{Z_{3}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle Z_ {3} = {\ rozpocząć {pmatrix} A_ {1} -B_ {1} ^ {2} (D_ {1} + A_ {2}) ^ {-1} i - B_ {1} B_ {2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\\-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&D_{2} -B_{2}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\end{pmacierz}}.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle T_ {Z} ^ {*} = T_ {Z ^ {+}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle Z ^ {+} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ overline {D}} i {\ overline {B}} \\ {\ overline {B}} & {\ overline {A}} \ koniec { pmatrix}}.}$

Według wzoru Mehlera dla ${\ Displaystyle \ Re \, t> 0}$

$\ Displaystyle e ^ {- t (P ^ {2} + Q ^ {2}) }=(\mathrm {cosech} \,2t)^{1 \over 2}\cdot T_{Z(t)}}$

z

${\ Displaystyle Z (t) = {\ rozpocząć {pmatrix} \ coth 2t & - \ operatorname {cosech} \, 2t \ \ - \ operatorname {cosech} \, 2t & \ coth 2t \ koniec {pmatrix}}.}$

Półgrupę oscylatora uzyskuje się, biorąc tylko macierze z B ≠ 0. Z powyższego warunek ten jest zamknięty w kompozycji.

Znormalizowany operator można zdefiniować za pomocą

${\ Displaystyle S_ {Z} = B ^ {1 \ ponad 2} \ cdot T_ {Z}.}$

Wybór pierwiastka kwadratowego określa podwójną osłonę.

W tym przypadku S _Z odpowiada elementowi

${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} -DB ^ {- 1} i DAB ^ {- 1} -B \\B^{-1}&-AB^{-1}\end{pmatrix}}}$

półgrupy Olszankij H.

Ponadto S _Z jest ścisłym skróceniem:

${\ Displaystyle \| S_ {Z} \| <1.}$

Wynika z tego również

${\ Displaystyle S_ {Z_ {1}} S_ {Z_ {2}} = \ pm S_ {Z_ {3}}.}$

rachunek Weyla

Dla funkcji a ( x , y ) na R ² = do , niech

${\ Displaystyle \ psi (a) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int {\ widehat {a}} (x, y) W (x, y) \, dxdy.}$

Więc

${\ Displaystyle \ psi (a) f (x) = \ int K (x, y) f (y) \, dy,}$

Gdzie

${\ Displaystyle K (x, y) = \ int a (t, {x + y \ ponad 2}) e ​​^ {i (xy) t} \, dt.}$

Definiowanie w ogólności

${\ Displaystyle W (F) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int F (z) W (z) \, dxdy,}$

iloczyn dwóch takich operatorów daje wzór

${\ Displaystyle W (F) W (G) = W (F \ gwiazda G),}$

gdzie skręcony splot lub iloczyn Moyala jest podany przez

${\ Displaystyle F \ gwiazda G (z) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int F (z_ {1}) G (z_ {2} -z_ {1}) e ^ {i (x_ {1} y_ {2}-y_{1}x_{2})}\,dx_{1}dy_{1}.}$

Operatory wygładzania odpowiadają W ( F ) lub ψ( ^a ) z F lub funkcjami Schwartza na R2 . Odpowiednie operatory T mają jądra, które są funkcjami Schwartza. Przenoszą każdą przestrzeń Sobolewa do funkcji Schwartza. Co więcej, każdy operator ograniczony na L ² ( R ) mający tę własność ma tę postać.

Dla operatorów ψ( a ) iloczyn Moyala przekłada się na rachunek symboliczny Weyla . Rzeczywiście, jeśli transformaty Fouriera a i b mają zwarte wsparcie niż

${\ Displaystyle \ psi (a) \ psi (b) = \ psi (a \ circ b)}$

Gdzie

${\ Displaystyle a \ circ b = \ suma _ {n \ geq 0} {i ^ {n} \ ponad n!} \ lewo ({\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe x_ {1} \ częściowe y_ { 2}}-{\częściowy ^{2} \na \częściowy y_{1}\częściowy x_{2}}\right)^{n}a\oraz b|_{\mathrm {przekątna} }.}$

^to z tego, że w tym przypadku b musi rozciągać się na całą funkcję na C2 przez twierdzenie Paleya-Wienera .

Rachunek ten można rozszerzyć na szeroką klasę symboli, ale najprostszy odpowiada splotowi przez klasę funkcji lub rozkładów, z których wszystkie mają postać T + S , gdzie T jest rozkładem zwartości z pojedynczym wsparciem skoncentrowanym w 0 i gdzie S jest funkcja Schwartza. Ta klasa zawiera operatory P , Q oraz D ^1/2 i D ^−1/2 , gdzie D jest oscylatorem harmonicznym.

Symbole m-tego rzędu S m są ^dane przez gładkie funkcje a zadowalające

${\ Displaystyle | \ częściowe ^ {\ alfa} a (z) | \ równoważnik C _ {\ alfa} (1 + | z |) ^ {m- | \ alfa |}}$

dla wszystkich α i Ψ ^m składa się ze wszystkich operatorów ψ( a ) dla takiego .

Jeśli a jest w S ^m , a χ jest gładką funkcją zwartego podparcia równą 1 w pobliżu 0, to wtedy

$\ Displaystyle {\ widehat {a}} = \ chi {\ widehat {a}} + (1- \ chi) {\ widehat { a}}=T+S,}$

z T i S jak wyżej.

Operatory te zachowują funkcje Schwartza i spełniają;

${\ Displaystyle \ Psi ^ {m} \ cdot \ Psi ^ {m} \ subseteq \ Psi ^ {m + n}, \, \, \, \, [\ Psi ^ {m}, \ Psi ^ {n} ]\subseteq \Psi ^{m+n-2}.}$

Operatory P i Q leżą w Ψ ¹ , a D leży w Ψ ² .

Nieruchomości:

• Symbol rzędu zerowego definiuje operator ograniczony na L ² ( R ).
• D ^-1 leży w Ψ ^-2
• Jeśli R = R * wygładza, to D + R fa _ma pełny zestaw wektorów własnych fa n _w gdzie ( re + R $)$ fa _n = λ _n i λ _n zmierza do ≈, ponieważ n dąży do ≈.
• D ^1/2 leży w Ψ ¹ , a więc D ^−1/2 leży w Ψ ⁻¹ , ponieważ D ^−1/2 = D ^1/2 · D ⁻¹
• Ψ ⁻¹ składa się z operatorów zwartych, Ψ ^{− s} składa się z operatorów klasy śladowej dla s > 1, a Ψ ^k przenosi H _m na H _{m – k} .
• ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} \ \ psi (a) = \ int a}$

Dowód ograniczoności Howe'a (1980) jest szczególnie prosty: jeśli

${\ Displaystyle T_ {a, b} v = (v, b) a,}$

Następnie

${\ Displaystyle T_ {W (z) a, b} = e ^ {| z | ^ {2}/2 }[W(z)T_{a,E_{0}}W(z)^{-1}T_{E_{0},b}],}$

$_$ operator ma Więc jeśli F jest obsługiwane w | z | ≤ R , zatem

${\ Displaystyle \| W (F) \|\ równoważnik e ^ {R ^ {2}/2} \| {\ widehat {F}} \| _ {\ infty}.}$

Własność D ^-1 jest udowodniona przez wzięcie

${\ Displaystyle S = \ psi (a)}$

z

${\ Displaystyle a (z) = {1 \ ponad | z | ^ {2} + 1}.}$

Wtedy R = I – DS leży w Ψ ⁻¹ , tak że

${\ Displaystyle A \ sim S + SR + SR ^ {2} + \ cdots}$

leży w Ψ ⁻² , a T = DA – I wygładza. Stąd

${\ Displaystyle D ^ {- 1} = AD ^ {- 1} T}$

leży w Ψ ⁻² , ponieważ D ⁻¹ T jest wygładzaniem.

Własność dla D ^1/2 ustala się podobnie, konstruując B w Ψ ^1/2 z rzeczywistym symbolem, tak że D – B ⁴ jest operatorem wygładzającym. Za pomocą holomorficznego rachunku funkcyjnego można sprawdzić, że D ^1/2 – B ² jest operatorem wygładzającym.

Powyższy wynik ograniczeń został wykorzystany przez Howe (1980) do ustalenia bardziej ogólnej nierówności Alberto Calderóna i Remi Vaillancourta dla operatorów pseudoróżnicowych . Alternatywny dowód, który odnosi się bardziej ogólnie do operatorów całkowych Fouriera, został podany przez Howe'a (1988) . Pokazał, że takie operatory można wyrazić jako całki po półgrupie oscylatora, a następnie oszacować za pomocą lematu Cotlara-Steina .

Zastosowania i uogólnienia

Teoria skończonych grup abelowych

Weil (1964) zauważył, że formalizm twierdzenia Stone'a-von Neumanna i oscylatorowej reprezentacji grupy symplektycznej rozciąga się od liczb rzeczywistych R do dowolnej lokalnie zwartej grupy abelowej . Szczególnie prostego przykładu dostarczają skończone grupy abelowe , gdzie dowody są albo elementarne, albo uproszczenia dowodów dla R.

Niech A będzie skończoną grupą abelową, zapisaną addytywnie, i niech Q będzie niezdegenerowaną formą kwadratową na A z wartościami w T . Zatem

${\ Displaystyle (a, b) = Q (a) Q (b) Q (a + b) ^ {- 1} }$

jest symetryczną postacią dwuliniową na A , która nie jest zdegenerowana, więc pozwala na identyfikację między A i jej podwójną grupą A * = Hom ( A , T ).

Niech ${\ Displaystyle V = \ ell ^ {2} (A)}$ będzie przestrzenią funkcji o wartościach zespolonych na A z iloczynem wewnętrznym

${\ Displaystyle (f, g) = \ suma _ {x \ w A} f (x) {\ overline {g (x)}}.}$

Zdefiniuj operatory na V przez

${\ Displaystyle U (x) f (t) = f (tx) ,\,\,\,V(y)f(t)=(y,t)f(t)}$

dla x , y w A . Wtedy U ( x ) i V ( y ) są unitarnymi reprezentacjami A na V spełniającymi relacje komutacji

${\ Displaystyle U (x) V (y) = (x, y) V (y) U (x).}$

To działanie jest nieredukowalne i jest wyjątkową taką nieredukowalną reprezentacją tych relacji.

Niech G = A × A i dla z = ( x , y ) w G zbiór

${\ Displaystyle W (z) = U (x) V (y).}$

Następnie

${\ Displaystyle W (z_ {1}) W (z_ {2}) = B ( z_{1},z_{2})W(z_{2})W(z_{1}),}$

Gdzie

${\ Displaystyle B (z_ {1}, z_ {2}) = (x_ {1}, y_ { 2})(x_{2},y_{1})^{-1},}$

niezdegenerowana naprzemienna forma dwuliniowa na G . Powyższy wynik jednoznaczności implikuje, że jeśli W' ( z ) jest inną rodziną unitarnych dających rzutową reprezentację G taką, że

${\ Displaystyle W' (z_ {1}) W '(z_ { 2})=B(z_{1},z_{2})W'(z_{2})W'(z_{1}),}$

wtedy istnieje jednolite U , unikalne aż do fazy, takie, że

${\ Displaystyle W' (z) = \ lambda (z) UW (z) U ^ {*},}$

dla pewnego λ( z ) w T .

W szczególności, jeśli g jest automorfizmem G zachowującym B , to istnieje zasadniczo unikalny unitarny π( g ) taki, że

${\ Displaystyle W (gz) = \ lambda _ {g} (z) \ pi (g) W (z) \ pi (g) ^ {*}.}$

Grupa wszystkich takich automorfizmów nazywana jest grupą symplektyczną dla B , a π daje rzutową reprezentację G na V .

Grupa SL(2. Z ) naturalnie działa na G = A x A przez automorfizmy symplektyczne. Jest generowany przez macierze

${\ Displaystyle S = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}}, \ qquad R = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Jeśli Z = – I , to Z jest centralne i

${\ Displaystyle {S ^ {2} = Z, \, \, \, (SR) ^ {3} = Z, \, \, \, Z ^ {2} = I.}}$

Te automorfizmy G są realizowane na V przez następujące operatory:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ pi (S) f (t) & = | A | ^ {- {\ Frac {1} {2}}} \sum _{x\in A}(-x,t)f(x)&&{\text{transformata Fouriera dla }}A\\\pi (Z)f(t)&=f(-t)\ \\pi (R)f(t)&=Q(t)^{-1}f(t)\\\end{wyrównane}}}$

Wynika, że

${\ Displaystyle (\ pi (S) \ pi (R)) ^ {3} = \ mu \ pi (Z)}$

gdzie μ leży w T . Bezpośrednie obliczenie pokazuje, że μ jest określone przez sumę Gaussa

${\ Displaystyle \ mu = | A | ^ {- {\ Frac {1} {2}}} \ suma _ {x \ w A} Q (x).}$

Prawa transformacji dla funkcji theta

Zobacz też: Reprezentacja Theta

Grupa metaplektyczna została zdefiniowana jako grupa

${\ Displaystyle \ operatorname {Mp} (2, \ mathbf {R}) = \ lewo \ {\ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {pmatrix} a&b\\c&d\end{pmacierz}},G\right)\right|G(\tau )^{2}=c\tau +d,\tau \in \mathbf {H} \right\},}$

Stan spójny

${\ Displaystyle f _ {\ tau} (x) = e ^ {{\ Frac {1} {2}} ja \ tau x ^ {2}}}$

definiuje holomorficzne odwzorowanie H na L ² ( R ) zadowalające

${\ Displaystyle \ pi ((g ^ {t}) ^ {-1}) f_ {\ tau} = (c \ tau + d) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} f_ {g \ tau}.}$

$.$ holomorficzna mapa do każdej przestrzeni Sobolewa H , _a zatem także

_Z drugiej strony, w $) istnieje$ w rzeczywistości w wymiarowa przestrzeń rozkładów SL (2, Z ) i izomorficzne z N -wymiarową reprezentacją oscylatora na ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (A)}$ gdzie ZA = Z / N Z .

W rzeczywistości niech m > 0 i ustaw N = 2 m . Pozwalać

${\ Displaystyle M = {\ sqrt {2 \ pi m}} \ cdot \ mathbf {Z}.}$

Operatory U ( x ), V ( y ) z x i y w M wszystkie dojeżdżają do pracy i mają skończenie wymiarową podprzestrzeń ustalonych wektorów utworzonych przez rozkłady

${\ Displaystyle \ Psi _ {b} = \ suma _ {x \ w M} \ delta _ {x + b}}$

z b w M ₁ , gdzie

${\ Displaystyle M_ {1} = {1 \ ponad 2 m} M \ supset M.}$

Suma definiująca Ψ $w$ _zbiega się i od klasy b w M ₁ Z drugiej strony, operatory U ( x ) i V ( y ) z ' x , y w M ₁ komutują ze wszystkimi odpowiednimi operatorami dla M. więc M _{00 1} opuszcza podprzestrzeń V rozpiętą przez niezmiennik Ψ _b . Stąd grupa A = M ₁ działa na V . To działanie można natychmiast utożsamić z działaniem na V dla N -wymiarowej reprezentacji oscylatora związanej z A , ponieważ

${\ Displaystyle U (b) \ Psi _ {b'} = \ Psi _ {b + b'}, \ qquad V (b) \ Psi _ {b'} = e ^ {-imbb'} \ Psi _ { B'}.}$

₀₀ Ponieważ operatory π( R ) i π( S ) normalizują dwa zbiory operatorów U i V odpowiadające M i M ₁ , wynika z tego, że pozostawiają V niezmienne i na V muszą być stałymi wielokrotnościami operatorów związanych z reprezentacją oscylatora z A. _ W rzeczywistości pokrywają się. Z R wynika to bezpośrednio z definicji, które na to wskazują

${\ Displaystyle R (\ psi _ {b}) = e ^ {\ pi imb ^ {2}} \ psi _ {b}.}$

Dla S wynika to ze wzoru na sumę Poissona i właściwości komutacyjnych z operatorami U ) x ) i V ( y ). Sumowanie Poissona jest klasycznie udowodnione w następujący sposób.

Dla a > 0 i fa w niech . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ Displaystyle F (t) = \ suma _ {x \ w M} f (x + t).}$

F jest gładką funkcją na R z okresem a :

${\ Displaystyle F (t + a) = F (t).}$

Pokazuje to teoria szeregu Fouriera

${\ Displaystyle F (0) = \ suma _ {n \ w \ mathbf {Z}} c_ {n}}$

z sumą bezwzględnie zbieżną i współczynnikami Fouriera podanymi przez

${\ Displaystyle c_ {n} = a ^ {-1} \ int _ {0} ^ {a} F (t) e ^ {- {\ Frac {2 \ pi int} {a}}} \, dt = a^{-1}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt={{\sqrt { 2\pi }} \ponad a}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right).}$

Stąd

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ in \ mathbf {Z}} f (na) = {\ Frac {\sqrt {2\pi}}{a}}\sum _{n\in \mathbf {Z}}}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\ Prawidłowy),}$

zwykły wzór sumowania Poissona.

Ta formuła pokazuje, że S działa w następujący sposób

${\ Displaystyle S (\ Psi _ {b}) = (2 m) ^ { -{\frac {1}{2}}}\sum _{b'\in M_{1}/M}e^{-imbb'}\Psi _{b'},}$

a więc dokładnie zgadza się ze wzorem na reprezentację oscylatora na A .

Identyfikacja A z Z /2 m Z , z

${\ Displaystyle b (n) = {\ Frac {{\ sqrt {2 \ pi}} n} {2m}}}$

przypisany do liczby całkowitej n modulo 2 m , funkcje teta można zdefiniować bezpośrednio jako współczynniki macierzowe:

${\ Displaystyle \ Theta _ {m, n} (\ tau, z) = (W (z) f_ {\ tau}, \ psi _ {b (n)}).}$

Dla τ w H i z w zestawie C

${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi ja \ tau}, \ qquad u = e ^ {\ pi iz}$

tak że | q | < 1. Funkcje teta zgadzają się ze standardowymi klasycznymi wzorami funkcji theta Jacobiego-Riemanna:

${\ Displaystyle \ Theta _ {n, m} (\ tau, z) = \ suma _ {k \ in {\ Frac {n} {2m}} + \ mathbf {Z}} q ^ {mk ^ {2} }u^{2mk}.}$

Z definicji definiują funkcje holomorficzne na H × C . Własności kowariancji funkcji f _τ i rozkładu Ψ _b prowadzą bezpośrednio do następujących praw transformacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Theta _ {n, m} (\ tau, z + a) & = \ Theta _ {n, m} (\ tau, z) & & a \ w \ mathbf {Z} \ \\Theta _{n,m}(\tau ,z+b\tau )&=q^{-b^{2}}u^{-b}\Theta _{n,m}(\tau ,z )&&b\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau +1,z)&=e^{\frac {\pi in^{2}}{m}}\Theta _ {n,m}(\tau ,z)\\\Theta _{n,m}(-{\tfrac {1}{\tau}},{\tfrac {z}{\tau}})&=\ tau ^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {i\pi }{8}}}(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{ n'\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{-{\frac {\pi inn'}{m}}}\Theta _{n',m}(\tau,z) \end{wyrównane}}}$

Wyprowadzenie prawa kwadratowej wzajemności

₀ Ponieważ operatory π( S ), π ( R ) i π ( J ) na L ² ( R ) ograniczają się do odpowiednich operatorów na V dla dowolnego wyboru m , znaki kocykli można określić przyjmując m = 1. W tym przypadku reprezentacja jest dwuwymiarowa, a relacja

${\ Displaystyle {(\ pi (S) \ pi (R)) ^ {3} = \ pi (J)}}$

₀ na L ² ( R ) można sprawdzić bezpośrednio na V .

Ale w tym przypadku

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo (e ^ {\ Frac {i \ pi }{4}}+e^{-{\frac {i\pi }{4}}}\right)=1.}$

Zależność można również sprawdzić bezpośrednio, stosując obie strony do stanu podstawowego exp - x ² /2.

Z tego wynika, że ​​dla m ≥ 1 można obliczyć sumę Gaussa:

${\ Displaystyle \ suma _ {x \ in \ mathbf {Z} / 2m \ mathbf {Z}} e ^ {\ pi ix ^ {2}/2m} = {\ sqrt {m}} (1 + i). }$

Dla m nieparzystego zdefiniuj

${\ Displaystyle {G (c, m) = \ suma _ {x \ w \ mathbf {Z} / m \ mathbf {Z}} e ^ {2 \ pi icx ^ {2} / m}.}}$

Jeśli m jest nieparzyste, to dzieląc poprzednią sumę na dwie części, wynika, że ​​G (1, m ) równa się m ^1/2 , jeśli m jest przystające do 1 mod 4 i jest równe i m ^1/2 w przeciwnym razie. Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, a c nie jest podzielne przez p , to implikuje

${\ Displaystyle {G (c, p) = \ lewo ({c \ nad p} \ prawej) G (1, p)}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lewo ({c \ nad p} \ prawej)}$ jest symbolem Legendre równym 1, jeśli c jest kwadratem mod p i –1 w przeciwnym razie. Co więcej, jeśli p i q są różnymi nieparzystymi liczbami pierwszymi, to wtedy

${\ Displaystyle {G (1, pq) / G (1, p) G (1, q) = \ lewo ({p \ nad q} \ prawej) \ lewo ({q \ nad p} \ prawej)}. }$

Ze wzoru na G (1, p ) i tej relacji wynika prawo kwadratowej wzajemności:

${\ Displaystyle {\ lewo ({p \ nad q} \ prawej) \ lewo ({q \ nad p} \ prawej) = (-1) ^ {\ Frac {(p-1) (q-1)} 4}}.}}$

Teoria w wyższych wymiarach

Teorię reprezentacji oscylatora można rozszerzyć od ^{R do Rn} , zastępując grupę SL (2, R ) grupą symplektyczną Sp(2n, R ). Wyniki można udowodnić albo poprzez proste uogólnienia z przypadku jednowymiarowego, jak w przypadku Follanda (1989) , albo wykorzystując fakt, że przypadek n -wymiarowy jest iloczynem tensorowym n przypadków jednowymiarowych, odzwierciedlającym rozkład:

${\ Displaystyle L ^ {2} ({\ mathbf {R}} ^ {n}) = L ^ {2} ({\ mathbf {R}}) ^ {\ czasami n}.}$

Niech $będzie$ przestrzenią funkcji Schwartza na R ⁿ , gęstej podprzestrzeni L ⁽ R ⁿ ). Dla s , t w R ⁿ , zdefiniuj U ( s ) i V ( t ) na ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ i L ² ( R ) przez

${\ Displaystyle U (s) f (x) = f (xs), \ qquad V (t) f (tx) = e ^ {ix \ cdot t} f (x).}$

Z definicji U i V spełniają relację komutacji Weyla

${\ Displaystyle U (s) V (t) = e ^ {- jest \ cdot t} V (t) U (s).}$

Tak jak poprzednio, nazywa się to reprezentacją Schrödingera.

Transformata Fouriera jest zdefiniowana na ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ przez

${\ Displaystyle {{\ widehat {f}} (t) = {1 \ ponad (2 \ pi) ^ {n/2}} \ int _ {{\ mathbf {R}} ^ {n}} f (x )e^{-ix\cdot t}\,dx.}}$

Formuła inwersji Fouriera

${\ Displaystyle {f (x) = {1 \ ponad (2 \ pi) ^ {n / 2}}\int _{{\mathbf {R}}^{n}}{\widehat {f}}(t)e^{ix\cdot t}\,dt}}$

$,$ że transformata Fouriera jest izomorfizmem na rozciągającym się na jednostkowe odwzorowanie L ² ( R ⁿ ) na siebie ( twierdzenie Plancherela ).

Twierdzenie Stone'a – von Neumanna głosi, że reprezentacja Schrödingera jest nieredukowalna i jest unikalną nieredukowalną reprezentacją relacji komutacji: każda inna reprezentacja jest bezpośrednią sumą kopii tej reprezentacji.

jeśli U i V spełniają relacje komutacji Weyla

${\ Displaystyle {W (x, y) = e ^ {ix \ cdot y/2} U (x) V (y).}}$

Następnie

${\ Displaystyle {W (x_ {1}, y_ {1}) W (x_ {2}, y_ {2}) = e ^ {i (x_ {1} \ cdot y_ {2} -y_ {1} \ cdot x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}}$

tak, że W definiuje rzutową reprezentację jednostkową R ^{2 n} z kocyklem danym przez

${\ Displaystyle \ omega (z_ {1}, z_ {2}) = e ^ {iB (z_ {1}, z_ {2} })},}$

gdzie ${\ Displaystyle z = x + iy = (x, y)}$ i B jest formą symplektyczną na R ^{2 n} określoną przez

${\ Displaystyle B (z_ {1}, z_ {2}) = x_ {1} \ cdot y_ {2} -y_ {1} \ cdot x_ {2} = \ Im \, z_ {1} \ cdot {\ nadkreśl {z_{2}}}.}$

Grupa symplektyczna Sp (2 n , R ) jest zdefiniowana jako grupa automorfizmów g R ^{2 n} zachowujących postać B . Z twierdzenia Stone'a-von Neumanna wynika, że ​​dla każdego takiego g istnieje unitarne π( g ) na L ² ( R ) spełniające relację kowariancji

${\ Displaystyle \ pi (g) W (z) \ pi (g) ^ {*} = W (g (z)).}$

Zgodnie z lematem Schura jednostkowe π( g ) jest jednoznaczne aż do pomnożenia przez skalar ζ z |ζ| = 1, tak że π definiuje rzutową reprezentację jednostkową Sp( n ). Można wybrać przedstawicieli dla π( g ), jednoznacznych aż do znaku, który pokazuje, że 2-kocykl dla projekcyjnej reprezentacji Sp(2 n , R ) przyjmuje wartości ±1. W rzeczywistości elementy grupy Sp( n , R ) są dane przez 2 n × 2 n rzeczywiste macierze g spełniające

${\ Displaystyle {gJg ^ {t} = J,}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {J = {\ początek {pmatrix} 0 i - ja \\ I & 0 \ koniec {pmatrix}}.}}$

Sp(2 n , R ) jest generowany przez macierze postaci

${\ Displaystyle g_ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} A & 0 \\ 0 & ( A^{t})^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}I&0\\B&I\end{pmatrix}},\,\,g_{ 3}={\begin{pmacierz}0&I\\-I&0\koniec{pmacierz}},}$

i operatorów

${\ Displaystyle {\ pi (g_ {1}) f (x) = \ pm \ det (A) ^ {- {\ Frac {1 }{2}}}f(A^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ix^{t}Bx}f(x ),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{in\pi /8}{\widehat {f}}(x)}}$

spełniają powyższe relacje kowariancji. Daje to zwykłą jednolitą reprezentację grupy metaplektycznej , podwójne pokrycie Sp(2n , R ) . Rzeczywiście, Sp( n , R ) działa przez transformacje Möbiusa na uogólnionej górnej połowie płaszczyzny Siegela H _n składającej się z symetrycznego zespołu n × n macierzy Z z ściśle urojoną częścią przez

${\ Displaystyle {gZ = (AZ + B) (CZ + D) ^ {- 1}}}$

Jeśli

${\ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} A&B \\ C&D \ koniec {pmatrix}}.}}$

Funkcja

${\ Displaystyle {m (g, z) = \ det (CZ + D)}}$

spełnia relację 1-kocyklu

${\ Displaystyle {m (gh, Z) = m (g, hZ) m (h, Z).}}$

Grupa metaplektyczna Mp(2n , R ) jest zdefiniowana jako grupa

${\ Displaystyle {Mp (2, \ mathbf {R}) = \ {(g, G) :\,G(Z)^{2}=m(g,Z)\}}}$

i jest spójną podwójną grupą pokrywającą Sp(2n , R ) .

Jeśli ${\ Displaystyle \ Im Z> 0}$ , to definiuje spójny stan

${\ Displaystyle {f_ {z} (x) = e ^ {ix ^ {t} Zx / 2}}}$

w L ² , leżącej na pojedynczej orbicie Sp(2 n ) generowanej przez

${\ Displaystyle {f_ {iI} (x) = e ^ {- x \ cdot x/2}.}}$

Jeśli g leży w Mp(2n, R ), to

${\ Displaystyle {\ pi ((g ^ {t}) ^ {- 1} )f_{Z}(x)=m(g,Z)^{-1/2}f_{gZ}(x)}}$

definiuje zwykłą reprezentację unitarną grupy metaplektycznej, z której wynika, że ​​kocykl na Sp(2 n , R ) przyjmuje tylko wartości ±1.

Holomorficzna przestrzeń Focka to przestrzeń Hilberta ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} _ {n}}$ holomorficznych fa ( z ) na C _n ze skończoną normą fa

${\ Displaystyle {{1 \ ponad \ pi ^ {n}} \ int _ {{\ mathbf {C}} ^ {n}} | f (z) | ^ {2} e ^ { -|z|^{2}}\,dx\cdot dy}}$

produkt wewnętrzny

${\ Displaystyle {(f_ {1}, f_ {2}) = {1 \ ponad \ pi ^ {n}} \ int _ {{\ mathbf {C}} ^ {n}} f_ {1} (z) {\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy.}}$

i baza ortonormalna

${\ Displaystyle {e _ {\ alfa} (z) = {z ^ {\ alfa} \ ponad {\ sqrt {\ alfa!}}}}}$

dla α wielomian . Dla fa w ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ i z w C ⁿ operatory

${\ Displaystyle {W_ {{\ mathcal {F}} _ {n}} (z) f (w) = e ^ {- | z | ^ {2}} e ^ {w {\ overline {z}}} f(wz).}}$

zdefiniuj nieredukowalną unitarną reprezentację relacji komutacji Weyla. Zgodnie z twierdzeniem Stone'a-von Neumanna istnieje operator unitarny $)$ się z L ² ( R ⁿ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ dwie reprezentacje. Jest ona dana przez transformatę Bargmanna

${\ Displaystyle {{\ mathcal {U}} f (z) = {1 \ ponad (2 \pi )^{n/2}}\int B(z,t)f(t)\,dt,}}$

Gdzie

${\ Displaystyle B (z, t) = \ exp [- z \ cdot zt \ cdot t/2 + z \ cdot t].}$

Jego przylegający jest określony wzorem: ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle {{\ mathcal {U}} ^ {*} F (t) = {1 \ ponad \ pi ^ {n}} \ int _ {{\ mathbf {C}} ^ {n}} B ({{ \overline {z}},t)F(z)\,dx\cdot dy.}}$

Przestrzenie Sobolewa, wektory gładkie i analityczne można zdefiniować jak w przypadku jednowymiarowym za pomocą sumy n kopii oscylatora harmonicznego

${\ Displaystyle \ Delta _ {n} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} - {\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe x_ {i} ^ {2}} + x_ {i} ^ { 2}.}$

Rachunek Weyla podobnie rozciąga się na przypadek n -wymiarowy.

Złożoność Sp(2 n , C ) grupy symplektycznej jest określona tą samą zależnością, ale pozwala na to, aby macierze A , B , C i D były zespolone. Podpółgrupa elementów grupowych, które obejmują górną połowę płaszczyzny Siegela, ma naturalne podwójne pokrycie. Reprezentacje Mp (2 n , R ) na L ² ( R ⁿ ) i fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ rozciągają się naturalnie na reprezentację tej półgrupy przez operatory kontrakcji zdefiniowane przez jądra, które uogólniają przypadek jednowymiarowy (w razie potrzeby przyjmując wyznaczniki). Działanie Mp(2n , R ) na stany spójne odnosi się równie dobrze do operatorów w tej większej półgrupie.

Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, gdzie grupa SL(2, R ) ma odpowiednik SU(1,1) poprzez transformatę Cayleya z górną półpłaszczyzną zastąpioną przez dysk jednostkowy, grupa symplektyczna ma złożony odpowiednik. Rzeczywiście, jeśli C jest macierzą unitarną

${\ Displaystyle {C = {1 \ ponad {\ sqrt {2}}} {\ rozpocząć {pmatrix} I & iI \\ I & -iI \ koniec {pmatrix}}} }$

wtedy C Sp(2n) C ^-1 jest grupą wszystkich macierzy

${\ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} A & B \\ {\ overline {B}} i {\ overline {A}} \ koniec {pmatrix}}}}$

takie że

${\ Displaystyle {AA ^ {*} -BB ^ {*} = ja, \, \, \, AB ^ {t} = BA ^ {t};}}$

lub równoważnie

${\ Displaystyle gKg ^ {*} = K,}$

Gdzie

${\ Displaystyle {K = {\ rozpocząć {pmatrix} I & 0 \\ 0 i - I \ koniec {pmatrix}}.}}$

Uogólniony dysk Siegela Dn _operatora jest zdefiniowany jako zbiór zespolonych symetrycznych macierzy n x n W z normą mniejszą niż 1.

Składa się dokładnie z transformat Cayleya punktów Z w uogólnionej górnej połowie płaszczyzny Siegela:

${\ Displaystyle {W = (Z-iI) (Z + iI) ^ {-1}.}}$

Elementy g działają na D _n

${\ Displaystyle {gW = (AW + B) ({\ overline {B}} W + {\ overline {A}}) ^ {- 1}}}$

i podobnie jak w przypadku jednowymiarowym działanie to jest przechodnie. Podgrupa stabilizatora 0 składa się z macierzy z A i B = 0.

Dla W w D _n metaplektyczne stany koherentne w holomorficznej przestrzeni Focka są określone przez

${\ Displaystyle {f_ {W} (z) = e ^ {z ^ {t} Wz / 2}.}}$

Iloczyn wewnętrzny dwóch takich stanów jest określony wzorem

${\ Displaystyle {(f_ {W_ {1}}, f_ {W_ {2}}) = \ det (1-W_ {1} {\ overline {W_ {2}}}) ^ {-1/2}. }}$

Co więcej, reprezentacja metaplektyczna π jest spełniona

${\ Displaystyle {\ pi (g) f_ {W} = \ det ({\ overline {A}} + {\ overline {B}} W) ^ {-1/2} f_ {gW}.}}$

Zamknięta liniowa rozpiętość tych stanów daje parzystą część holomorficznej przestrzeni Focka ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} ^ {+}}$ . Wbudowanie Sp(2n ) w Sp(2( n +1)) i kompatybilna identyfikacja

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n + 1} ^ {+} = {\ mathcal {F}} _ {n} ^ {+} \ oplus {\mathcal {F}}_ {n}^{-}}$

prowadzić do działania w całości . ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} _ {n}}$ . Można bezpośrednio zweryfikować, że jest to zgodne z działaniem operatorów W ( z ).

Ponieważ zespolona półgrupa ma jako granicę Shilova grupę symplektyczną, to fakt, że reprezentacja ta ma dobrze zdefiniowane skrócone rozszerzenie na półgrupę, wynika z zasady maksymalnego modułu oraz z faktu, że operatory półgrup są domknięte na spójniki. Rzeczywiście, wystarczy sprawdzić, dla dwóch takich operatorów S , T i wektorów v _i proporcjonalnych do metaplektycznych stanów koherentnych, że

${\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {i, j} (STv_ {i}, v_ {j}) \ prawo |\ równoważnik \|\ suma _ {i} v_ {i }\|^{2},}$

co wynika z tego, że suma zależy holomorficznie od S i T , które są jednolite na granicy.

Twierdzenia indeksowe dla operatorów Toeplitza

Niech S oznacza sferę jednostkową w C ⁿ i zdefiniuj przestrzeń Hardy'ego H ² ( S ) będzie domknięciem w L ² ( S ) ograniczenia wielomianów we współrzędnych z ₁ , ..., z _n . Niech P będzie rzutem na przestrzeń Hardy'ego. Wiadomo, że jeśli m ( f ) oznacza mnożenie przez funkcję ciągłą f na S , to komutator [P, m ( f )] jest zwarty. W konsekwencji zdefiniowanie operatora Toeplitza przez

${\ Displaystyle {T (f) = Pm (f) P}}$

w przestrzeni Hardy'ego wynika, że ​​T ( fg ) – T ( f ) T ( g ) jest zwarty dla ciągłych f i g . To samo dotyczy sytuacji, gdy f i g są funkcjami o wartościach macierzowych (tak, że odpowiednie operatory Toeplitza są macierzami operatorów na H ² ( S )). W szczególności, jeśli f jest funkcją na S przyjmującą wartości w macierzach odwracalnych, to wtedy

${\ Displaystyle {T (f) T (f ^ {- 1}) - ja, \ qquad T (f ^{-1})T(f)-I}}$

są zwarte i stąd T ( f ) jest operatorem Fredholma z indeksem zdefiniowanym jako

${\ Displaystyle \ operatorname {ind} T (f) = \ dim \ ker T (f) - \ dim \ ker T (f) ^ {*}.}$

Indeks został obliczony przy użyciu metod K-teorii Coburna (1973) i pokrywa się do znaku ze stopniem f jako ciągłe odwzorowanie od S do ogólnej grupy liniowej .

Helton i Howe (1975) podali analityczny sposób ustalenia tego twierdzenia o indeksie, uproszczonego później przez Howe'a. Ich dowód opiera się na fakcie, że jeśli f jest gładkie, to indeks jest określony wzorem McKeana i Singera :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ind} T (f) = \ nazwa operatora {Tr} (IT (f ^ {-1}) T (f)) ^ {n} - \ nazwa operatora {Tr} (IT (f) T ( f^{-1}))^{n}.}$

Howe (1980) zauważył, że istnieje naturalny izomorfizm unitarny między H ² ( S ) a L ² ( R ⁿ ) niosący operatory Toeplitza

${\ Displaystyle {T_ {j} = T (z_ {j})}}$

na operatorów

${\ Displaystyle {(P_ {j} + iQ_ {j}) \ delta ^ {-1/2}.}}$

Są to przykłady operatorów rzędu zerowego skonstruowanych w ramach rachunku Weyla. Ślady we wzorze McKeana-Singera można obliczyć bezpośrednio za pomocą rachunku Weyla, co prowadzi do kolejnego dowodu twierdzenia o indeksie. Ta metoda dowodzenia twierdzeń indeksowych została uogólniona przez Alaina Connesa w ramach kohomologii cyklicznej .

Teoria w nieskończonych wymiarach

Teoria reprezentacji oscylatora w nieskończonych wymiarach pochodzi od Irvinga Segala i Davida Shale'a. Graeme Segal użył go, aby podać matematycznie rygorystyczną konstrukcję rzutowych reprezentacji grup pętli i grupy dyfeomorfizmów koła. Na nieskończenie małym poziomie konstrukcja reprezentacji algebr Liego, w tym przypadku afinicznej algebry Kaca-Moody'ego i algebry Virasoro , była już znana fizykom dzięki teorii podwójnego rezonansu , a później teorii strun . Rozpatrzony zostanie tutaj tylko najprostszy przypadek, obejmujący grupę pętli LU(1) gładkich odwzorowań okręgu na U(1) = T . Półgrupa oscylatora, opracowana niezależnie przez Neretina i Segala, umożliwia zdefiniowanie operatorów kontrakcji dla półgrupy jednowartościowych map holomorficznych dysku jednostkowego w siebie, rozszerzając operatory unitarne odpowiadające dyfeomorfizmom koła. W zastosowaniu do podgrupy SU(1,1) grupy dyfeomorfizmu daje to uogólnienie reprezentacji oscylatora na L ² ( R ) i jej rozszerzenie na półgrupę Olszańskiego.

Reprezentacja komutacji w przestrzeni Focka jest uogólniana do nieskończonych wymiarów przez zastąpienie C ⁿ (lub jej przestrzeni dualnej) przez dowolną zespoloną przestrzeń Hilberta H . Grupa symetryczna Sk _. działa na H ^{⊗ k} S ^k ( H ) jest zdefiniowana jako podprzestrzeń punktu stałego S _k a algebra symetryczna jest algebraiczną sumą prostą

${\ Displaystyle {\ bigoplus _ {k \ geq 0} S ^ {k} (H).}}$

Ma naturalny iloczyn wewnętrzny odziedziczony po H ^{⊗ k} :

${\ Displaystyle {(x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {k}, y_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes y_ {k}) = k! \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ { k}(x_{i},y_{i}).}}$

Przyjmując, że składowe S ^k ( H ) są wzajemnie ortogonalne, symetryczna przestrzeń Focka S ( H ) jest zdefiniowana jako uzupełnienie tej sumy bezpośredniej w przestrzeni Hilberta.

Dla ξ w H zdefiniuj stan koherentny e ^ξ przez

${\ Displaystyle {e ^ {\ xi} = \ suma _ {k \ geq 0} (k!) ^ {- 1} \ xi ^ {\ czasami k}.}}$

Wynika z tego, że ich rozpiętość liniowa jest gęsta w S ( H ), że stany koherentne odpowiadające n różnym wektorom są liniowo niezależne i że

${\ Displaystyle {(e ^ {\ xi}, e ^ {\ eta}) = e ^ {(\ xi, \ eta)}.}}$

Kiedy H jest skończonym wymiarem, S ( H ) można naturalnie utożsamiać z holomorficzną przestrzenią Focka dla H *, ponieważ w standardowy sposób S ^k ( H ) są po prostu jednorodnymi wielomianami stopnia k na H *, a iloczyny wewnętrzne są zgodne. Ponadto S ( H ) ma właściwości funkcyjne. Najważniejsze

${\ Displaystyle S (H_ {1} \ oplus H_ {2}) = S (H_ {1}) \ czasami S (H_ {2}), \ qquad e ^ {x_ {1} \ oplus x_ {2}} =e^{x_{1}}\czasami e^{x_{2}}.}$

⁰ Hi _ortogonalne sumy bezpośrednie, stosując definicję nieskończonego iloczynu tensorowego von Neummana z 1 wektorem jednostkowym odniesienia w S ( ). Dowolny operator skurczu między przestrzeniami Hilberta indukuje operator skurczu między odpowiednimi symetrycznymi przestrzeniami Focka w sposób funktoralny.

Operator unitarny na S ( H ) jest jednoznacznie określony przez swoje wartości w stanach koherentnych. Co więcej, dla dowolnego przypisania v _ξ takiego, że

${\ Displaystyle {(v_ {\ xi}, v_ {\ eta}) = e ^ {(\ xi, \ eta)}}}$

istnieje unikalny operator unitarny U na S ( H ) taki, że

${\ Displaystyle {v_ {\ xi} = U (e ^ {\ xi}).}}$

Podobnie jak w przypadku skończonych wymiarów, pozwala to na zdefiniowanie operatorów unitarnych W ( x ) dla x w H :

${\ Displaystyle {W (x) e ^ {y} = e ^ {- \ | x \ | ^ {2}/2} e ^ {- (x, y)} e ^ {x + y}.}}$

Z przypadku skończonych wymiarów wynika natychmiast, że te operatory są unitarne i spełniają

${\ Displaystyle {W (x) W (y) = e ^ {- {i \ ponad 2} \ im (x, y)} W (x + y).}}$

W szczególności spełnione są relacje komutacyjne Weyla:

${\ Displaystyle {W (x) W (y) = e ^ {- ja \ Im (x, y)} W (y) W (x).}}$

Biorąc ortonormalną bazę e _n z H , S ( H ) można zapisać jako nieskończony iloczyn tensorowy S ( C e _n ). Nieredukowalność W w każdej z tych przestrzeni implikuje nieredukowalność W w całości S ( H ). W nazywana jest zespoloną reprezentacją falową .

Aby zdefiniować grupę symplektyczną w nieskończonych wymiarach, niech H _R będzie bazową rzeczywistą przestrzenią wektorową H z postacią symplektyczną

${\ Displaystyle {B (x, y) = - \ Im (x, y)}}$

i prawdziwy produkt wewnętrzny

${\ Displaystyle {(x, y) _ {\ mathbf {R}} = \ Re (x, y).}}$

Złożona struktura jest następnie definiowana przez operatora ortogonalnego

${\ Displaystyle {J (x) = ix}}$

aby

${\ Displaystyle {B (x, y) = - (Jx, y) _ {\ mathbf {R}}.}}$

Ograniczony operator odwracalny rzeczywisty operator liniowy T na HR leży w grupie symplektycznej, jeśli on i jego odwrotność _zachowują B . Jest to równoważne warunkom:

${\ Displaystyle {TJT ^ {t} = J = T ^ {t} JT.}}$

operator T jest możliwy do zaimplementowania na S ( H ) pod warunkiem, że istnieje unitarne π ( T ) takie, że

${\ Displaystyle \ pi (T) W (x) \ pi (T) ^ {*} = W (Tx).}$

Implementowalne operatory tworzą podgrupę grupy symplektycznej, ograniczonej grupy symplektycznej . Zgodnie z lematem Schura π( T ) jest jednoznacznie określone aż do skalara w T , więc π daje rzutową jednostkową reprezentację tej podgrupy.

Kryterium kwantyzacji Segala-Shale’a stwierdza , że ​​T jest implementowalne, tj. leży w ograniczonej grupie symplektycznej, wtedy i tylko wtedy, gdy komutator TJ – JT jest operatorem Hilberta-Schmidta .

W przeciwieństwie do przypadku skończonych wymiarów, w którym można było wybrać podnoszenie π tak, aby było multiplikatywne do znaku, nie jest to możliwe w przypadku nieskończenie wymiarowym. (Można to zobaczyć bezpośrednio na przykładzie rzutowej reprezentacji grupy dyfeomorfizmu koła skonstruowanej poniżej).

Rzutową reprezentację ograniczonej grupy symplektycznej można zbudować bezpośrednio na stanach koherentnych, jak w przypadku skończonych wymiarów.

W rzeczywistości, wybierając rzeczywistą podprzestrzeń Hilberta H , której H jest złożonością, dla dowolnego operatora T na H zdefiniowany jest również złożony koniugat T. Wtedy nieskończenie wymiarowy analog SU(1,1) składa się z odwracalnych operatorów ograniczonych

${\ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} A & B \\ {\ overline {B}} i {\ overline {A}} \ koniec {pmatrix}}}}$

spełniające gKg * = K (lub równoważnie te same relacje, co w przypadku skończonych wymiarów). Należą one do ograniczonej grupy symplektycznej wtedy i tylko wtedy, gdy B jest operatorem Hilberta – Schmidta. Ta grupa działa przechodnie na nieskończenie wymiarowym analogu D _≈ uogólnionego dysku jednostkowego Seigela składającego się z operatorów Hilberta-Schmidta W , które są symetryczne z normą operatora mniejszą niż 1 za pomocą wzoru

${\ Displaystyle {gZ = (AW + B) ({\ overline {B}} W + {\ overline {A}}) ^ {-1}.}}$

Ponownie podgrupa stabilizatora 0 składa się z g z A unitarnym i B = 0. Metaplektyczne stany spójne f _W można zdefiniować jak poprzednio, a ich iloczyn wewnętrzny jest określony tym samym wzorem, przy użyciu wyznacznika Fredholma :

${\ Displaystyle {(f_ {W_ {1}}, f_ {W_ {2}}) = \ det (IW_ {2} ^ {*} W_ {1}) ^ {- {\ Frac {1} 2}}}.}}$

Zdefiniuj wektory jednostkowe według

${\ Displaystyle {e_ {W} = \ det (IW ^ {*} W) ^ {1/4} f_ {W}}}$

i nastaw

${\ Displaystyle {\ pi (g) e_ {W} = \ mu (\ det (I + {\overline {A}}^{-1}{\overline {B}}W)^{-{\frac {1}{2}}})e_{gW},}}$

gdzie μ(ζ) = ζ/|ζ|. Tak jak poprzednio definiuje to reprezentację rzutową i jeśli g ₃ = g ₁ g ₂ , kocykl jest określony wzorem

${\ Displaystyle {\ omega (g_ {1}, g_ {2}) = \ mu [\ det (A_ {3} (A_ {1} A_ {2}) ^ {-1}) ^ {- {\ frac {1}{2}}}].}}$

Ta reprezentacja rozciąga się na analityczną kontynuację w celu zdefiniowania operatorów skrócenia dla złożonej półgrupy za pomocą tego samego analitycznego argumentu kontynuacji, jak w przypadku skończonych wymiarów. Można również wykazać, że są to skurcze ścisłe.

Przykład Niech H _R będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta składającą się z funkcji o wartościach rzeczywistych na okręgu o średniej 0

${\ Displaystyle f (\ teta) = \ suma _ {n \ neq 0} a_ {n} e ^ {w \ teta}}$

i za co

${\ Displaystyle {\ suma _ {n \ neq 0} | n|| a_ {n} | ^ {2}<\ infty.}}$

Iloczyn wewnętrzny jest podany przez

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma a_ {n} e ^ {w \ teta}, \ suma b_ {m} e ^ {im \ teta} \ po prawej) = \ suma _ {n \ neq 0} | n | a_ {n}{\overline {b_{n}}}.}$

Podstawa ortogonalna jest dana funkcją sin( n θ) i cos ( n θ) dla n > 0. Transformata Hilberta na okręgu określonym przez

${\ Displaystyle J \ sin (n \ teta) = \ sałata (n \ teta), \qquad J\cos(n\theta )=-\sin(n\theta )}$

definiuje złożoną strukturę _na HR . J można również napisać

${\ Displaystyle J \ suma _ {n \ neq 0} a_ {n} e ^ {w \$

gdzie znak n = ±1 oznacza znak n . Odpowiednia forma symplektyczna jest proporcjonalna do

${\ Displaystyle B (f, g) = \ int _ {S ^ {1}} fdg.}$

W szczególności, jeśli φ jest zachowującym orientację dyfeomorfizmem koła i

${\ Displaystyle {T_ {\ varphi} f (\ teta) = f(\varphi ^{-1}(\theta ))-{1 \ponad 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi ^{-1}(\theta ))\ ,d\theta ,}}$

wtedy T _φ jest wykonalne.

Operatory W ( f ) z f wygładzone odpowiadają podgrupie grupy pętli LT niezmiennej pod grupą dyfeomorfizmu koła. Nieskończenie małe operatory odpowiadające polom wektorowym

${\ Displaystyle {L_ {n} = - \ pi \ lewo (tj ^ {w \ teta}}}$

można obliczyć jawnie. Spełniają one relacje Virasoro

${\ Displaystyle {[L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {m ^ {3} -m \ ponad 12} \ delta _ {m + n, 0}.} }$

W szczególności nie można ich dostosować przez dodanie operatorów skalarnych w celu usunięcia drugiego wyrazu po prawej stronie. To pokazuje, że kocykl na ograniczonej grupie symplektycznej nie jest równoważny z kocyklem przyjmującym tylko wartości ± 1.

Zobacz też

• Grupa metaplektyczna
• Niezmienny stożek wypukły

Notatki

•    Baez, JC; Segal, Irlandia; Zhou, Z.-F.; Kon, Mark A. (1992), „Wprowadzenie do algebraicznej i konstruktywnej kwantowej teorii pola” , Physics Today , Princeton University Press, 46 (12): 43, Bibcode : 1993PhT....46l..43B , doi : 10.1063/ 1.2809125 , ISBN 0-691-08546-3 , S2CID 120693408
• Bargmann, V. (1970), Reprezentacje grupowe w przestrzeniach Hilberta funkcji analitycznych , Metody analityczne w fizyce matematycznej , Gordon and Breach, s. 27–63
•   Berg, MC (2000), The Fourier-analityczny dowód kwadratowej wzajemności , Pure and Applied Mathematics, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-35830-4
• Brunet, M.; Kramer, P. (1980), „Złożone rozszerzenie reprezentacji grupy symplektycznej związanej z kanonicznymi relacjami komutacji”, Reports on Mathematical Physics , 17 (2): 205–215, Bibcode : 1980RpMP… 17..205B , doi : 10.1016/0034-4877(80)90063-4
• Đokovic, DZ; Hofmann, K.-H. (1997), „Kwestia surjekcji dla funkcji wykładniczej rzeczywistych grup Liego: raport o stanie”, Journal of Lie Theory , 7 : 171–199
• Coburn , LA ( 1973 ) _ _
•   Connes, A. (1990), Géométrie nieprzemienna , InterEditions, ISBN 2-7296-0284-4
• Ferrara S.; Mattiolia, G.; Rossic, G.; Toller, M. (1973), „Półgrupowe podejście do dynamiki wieloperyferyjnej” , Fizyka jądrowa B , 53 (2): 366–394, Bibcode : 1973NuPhB..53..366F , doi : 10.1016/0550-3213 (73 )90451-3
•   Folland, GB (1989), Analiza harmoniczna w przestrzeni fazowej , Annals of Mathematics Studies, tom. 122, Princeton University Press, ISBN 9780691085289
•   Godard, Piotr ; Olive, David (1988), Kac-Moody i Virasoro Algebras: A Reprint Volume for Physicists , Zaawansowana seria z fizyki matematycznej, tom. 3, World Scientific , ISBN 9789971504205
• Goodman, R. (1969), „Analityczne i całe wektory reprezentacji grup Liego”, Transactions of the American Mathematical Society , 143 : 55–76, doi : 10.1090 / s0002-9947-1969-0248285-6
• Goodman, R.; Wallach, NR (1984), „Struktura i jednostkowe reprezentacje kocykliczne grup pętli i grupa dyfeomorfizmów koła”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 347 : 69–133
• Hall, BC (2013), Teoria kwantowa dla matematyków , Springer
• On, H. (2007), „Funkcje na przestrzeniach symetrycznych i reprezentacja oscylatora”, Journal of Functional Analysis , 244 (2): 536–564, doi : 10.1016/j.jfa.2006.11.008
• Helton, JW; Howe, RE (1975), „Ślady komutatorów operatorów całkowych”, Acta Mathematica , 135 : 271–305, doi : 10.1007/bf02392022
•   Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
•   Hilgert, J.; Neeb, K.-H. (1993), Lie półgrupy i ich zastosowania , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1552, Springer-Verlag, ISBN 0387569545
• Hille, E. (1940), „Wkład do teorii szeregów hermitowskich. II. Problem reprezentacji”, Transactions of the American Mathematical Society , 47 : 80–94, doi : 10.1090 / s0002-9947-1940-0000871-3
•   Hörmander, Lars (1983), Analiza operatorów różniczkowych cząstkowych I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8
•   Hörmander, Lars (1985), Analiza operatorów różniczkowych cząstkowych III , Springer-Verlag, ISBN 3-540-13828-5
• Howe, R. (1980), „Mechanika kwantowa i równania różniczkowe cząstkowe”, Journal of Functional Analysis , 38 (2): 188–254, doi : 10.1016/0022-1236 (80) 90064-6
•   Howe, R. (1988), „The Oscillator Semigroup” , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , American Mathematical Society, 48 : 61–132 , doi : 10.1090/pspum/048/974332 , ISBN 9780821814826
•   Howe, R.; Tan, Eng-Chye (1992), Non-abelowa analiza harmoniczna: zastosowania SL (2, R) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 0387977686
• Igusa, J. (1972), Funkcje Theta , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 194, Springer-Verlag
•   Itzykson, C. (1967), „Uwagi na temat zasad komutacji bozonu” , Communications in Mathematical Physics , 4 (2): 92–122, Bibcode : 1967CMaPh...4...92I , doi : 10.1007/bf01645755 , S2CID 121928828
•   Kashiwara, M.; Vergne, M. (1978), "O reprezentacjach Segala-Shale-Weila i wielomianach harmonicznych", Inventiones Mathematicae , 44 : 1–47, Bibcode : 1978InMat..44....1K , doi : 10.1007/bf01389900 , S2CID 121545402
•   Kac, VG; Raina, AK (1987), Bombaj wykłady na temat reprezentacji o najwyższej wadze , World Scientific, ISBN 9971503956
•   Kac, VG (1990), Nieskończenie wymiarowe algebry Liego (wyd. 3), Cambridge University Press, ISBN 0521466938
• Kramer, P.; Moshinsky, M.; Seligman, TH (1975), Złożone rozszerzenia transformacji kanonicznych i mechaniki kwantowej , Teoria grup i jej zastosowania, tom. 3, Prasa akademicka
•   Lang, S. (1985), SL ₂ (R) , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 105, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96198-4
•   Lawson, JD (1998), „Półgrupy w geometrii Möbiusa i Lorentza”, Geometriae Dedicata , 70 (2): 139–180, doi : 10,1023 / a: 1004906126006 , S2CID 116687780
•   Lawson, JD (2011), „Półgrupy typu Olszańskiego”, w: Hofmann, KH; Lawson, JD; Vinberg, EB (red.), Półgrupy w algebrze, geometrii i analizie , Walter de Gruyter, s. 121–158, ISBN 9783110885583
•   Lew, G.; Vergne, M. (1980), Reprezentacja Weila, indeks Masłowa i serie theta , Progress in Mathematics, tom. 6, Birkäuser, ISBN 3-7643-3007-4
•   Mackey, GW (1989), Unitarne reprezentacje grupowe w fizyce, prawdopodobieństwie i teorii liczb (wyd. 2), Addison-Wesley, ISBN 0-201-51009-X
•   Mumford, D .; Nori, M.; Norman, P. (2006), Tata Lectures on Theta III , Postęp w matematyce , Springer, ISBN 0817645705
•   Neretin, YA (1996), Kategorie symetrii i nieskończenie wymiarowych grup , London Mathematical Society Monografie, tom. 16, Oxford University Press, ISBN 0-19-851186-8
•   von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn MH Kamień", Annals of Mathematics , 33 (3): 567–573, doi : 10,2307/1968535 , JSTOR 1968535
•   Olshanskii, GI (1981), „Niezmienne stożki w algebrach Liego, półgrupy Liego i holomorficzne serie dyskretne”, Analiza funkcjonalna i jej zastosowania , 15 (4): 275–285, doi : 10,1007 / bf01106156 , S2CID 121254166
•   Pressley, A.; Segal, GB (1986), grupy pętli , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X
•   Segal, GB (1981), „Jednostkowe reprezentacje niektórych grup nieskończenie wymiarowych” , Communications in Mathematical Physics , 80 (3): 301–342, Bibcode : 1981CMaPh..80..301S , doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID 121367853
•   Sohrab, HH (1981), „C∗-algebra n-wymiarowego oscylatora harmonicznego”, Manuscripta Mathematica , 34 : 45–70, doi : 10,1007/bf01168709 , S2CID 119837229
•   Thangavelu, S. (1993), Wykłady na temat ekspansji Hermite'a i Laguerre'a , Uwagi matematyczne, tom. 42, Princeton University Press, ISBN 0-691-00048-4
• Weil, A. (1964), "Sur sures groupes d'opérateurs unitaires", Acta Mathematica , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
•   Wiener, N. (1933), Całka Fouriera i niektóre jej zastosowania (przedruk wydania z 1933 r. z 1988 r.) , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35884-1
• Yoshida, H. (1992), „Uwagi na temat metaplektycznych reprezentacji SL (2)”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 44 (3): 351–373, doi : 10,2969/jmsj/04430351