Reprezentacja szeregów dyskretnych

W matematyce dyskretna reprezentacja szeregowa jest nieredukowalną jednostkową reprezentacją lokalnie zwartej grupy topologicznej G , która jest podreprezentacją lewej regularnej reprezentacji G na L²( G ). W mierze Plancherela takie reprezentacje mają miarę dodatnią. Nazwa pochodzi od faktu, że są to dokładnie te reprezentacje, które występują dyskretnie w dekompozycji reprezentacji regularnej.

Nieruchomości

Jeśli G jest jednomodułowy , nieredukowalna jednostkowa reprezentacja ρ G jest w szeregu dyskretnym wtedy i tylko wtedy, gdy jeden (a więc wszystkie) współczynniki macierzy

${\ Displaystyle \ langle \ rho (g) \ cdot v, w \ rangle \,}$

gdzie wektory v , w niezerowe są całkowalne do kwadratu na G , względem miary Haara .

Gdy G jest jednomodułowe, reprezentacja szeregów dyskretnych ma wymiar formalny d , z właściwością to

${\ Displaystyle d \ int \ langle \ rho (g) \cdot v, w \ rangle {\ overline {\ langle \ rho (g) \ cdot x, y \ rangle}} dg = \ langle v, x \ rangle {\ overline {\ langle w, y \ rangle}}}$

dla v , w , x , y w reprezentacji. Kiedy G jest zwarty, pokrywa się to z wymiarem, gdy miara Haara na G jest znormalizowana, tak że G ma miarę 1.

Grupy półproste

- Chandra ( 1965 , 1966 ) sklasyfikował reprezentacje szeregów dyskretnych połączonych grup półprostych G. W szczególności taka grupa ma reprezentacje szeregów dyskretnych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam rząd co maksymalna zwarta podgrupa K . Innymi słowy, maksymalny torus T w K musi być podgrupą Cartana w G . (Ten wynik wymagał, aby środek G był skończony, wykluczając grupy takie jak prosto spójna pokrywa SL(2, R ) . ) Dotyczy to w szczególności specjalnych grup liniowych ; z nich tylko SL(2, R ) ma szereg dyskretny (zobacz teorię reprezentacji SL(2, R ) ).

Klasyfikacja Harisha-Chandry dyskretnych reprezentacji serii półprostej połączonej grupy Liego jest podana w następujący sposób. Jeśli L jest siatką wag maksymalnego torusa T , jego podkratą , gdzie t jest algebrą Liego T , to istnieje reprezentacja szeregów dyskretnych dla każdego wektora v z

L + ρ,

gdzie ρ jest wektorem Weyla G , który nie jest prostopadły do ​​żadnego pierwiastka G . Każda reprezentacja szeregów dyskretnych występuje w ten sposób. Dwa takie wektory v odpowiadają tej samej reprezentacji szeregu dyskretnego wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzężone pod grupą Weyla W _K maksymalnej zwartej podgrupy K . Jeśli ustalimy podstawową komorę dla grupy Weyla K , to reprezentacja szeregu dyskretnego odpowiada 1: 1 wektorom L + ρ w tej komorze Weyla, które nie są prostopadłe do żadnego pierwiastka G . Nieskończenie mały charakter reprezentacji o najwyższej wadze jest określony przez v (mod grupy Weyla W _G z G ) pod korespondencją Harish-Chandra identyfikującą nieskończenie małe znaki G z punktami

t ⊗ C / W _G .

Tak więc dla każdej reprezentacji szeregu dyskretnego istnieje dokładnie

| W _G |/| WK | _{_}

reprezentacje szeregów dyskretnych o tym samym nieskończenie małym charakterze.

Harish-Chandra udowodnił analogię do tych reprezentacji formuły postaci Weyla . W przypadku, gdy G nie jest zwarty, reprezentacje mają nieskończony wymiar, a zatem pojęcie charakteru jest bardziej subtelne do zdefiniowania, ponieważ jest to rozkład Schwartza (reprezentowany przez lokalnie całkowalną funkcję) z osobliwościami.

Znak jest podany na maksymalnym torusie T przez

${\ Displaystyle (-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v) } \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha}{2}}-e^{-{\frac {\alpha}{2}}}\ Prawidłowy)}}$

Kiedy G jest zwarty, sprowadza się to do wzoru na charakter Weyla, gdzie v = λ + ρ dla λ jest najwyższą wagą nieredukowalnej reprezentacji (gdzie iloczyn jest nad pierwiastkami α mającymi dodatni iloczyn wewnętrzny z wektorem v ).

Twierdzenie Harisha-Chandry o regularności implikuje, że charakter dyskretnej reprezentacji szeregowej jest lokalnie całkowalną funkcją grupy.

Granica reprezentacji szeregów dyskretnych

Punkty v w coset L + ρ ortogonalne do pierwiastków G nie odpowiadają reprezentacjom szeregów dyskretnych, ale te, które nie są ortogonalne do pierwiastków K są powiązane z pewnymi nieredukowalnymi reprezentacjami zwanymi granicami reprezentacji szeregów dyskretnych . Istnieje taka reprezentacja dla każdej pary ( v , C ) , gdzie v jest wektorem L + ρ prostopadłym do jakiegoś pierwiastka z G , ale nie ortogonalnym do dowolnego pierwiastka z K odpowiadającego ścianie C , a C jest komorą Weyla G zawierający v . (W przypadku reprezentacji szeregów dyskretnych istnieje tylko jedna komora Weyla zawierająca v , więc nie jest konieczne jej jawne uwzględnianie.) Dwie pary ( v , C ) dają tę samą granicę reprezentacji szeregów dyskretnych wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzężone pod grupa Weyla K. Podobnie jak w przypadku reprezentacji szeregów dyskretnych v daje nieskończenie mały charakter. Jest co najwyżej | W _G |/| WK | _{_} granica dyskretnych reprezentacji szeregów o dowolnym zadanym nieskończenie małym znaku.

Granicą reprezentacji szeregów dyskretnych są reprezentacje temperowane , co z grubsza oznacza, że ​​po prostu nie są one reprezentacjami szeregów dyskretnych.

Konstrukcje szeregu dyskretnego

Oryginalna konstrukcja szeregu dyskretnego Harisha-Chandry nie była zbyt wyraźna. Kilku autorów znalazło później bardziej wyraźne realizacje szeregu dyskretnego.

• Narasimhan i Okamoto (1970) skonstruowali większość reprezentacji szeregów dyskretnych w przypadku, gdy przestrzeń symetryczna G jest hermitowska.
• Parthasarathy (1972) skonstruował wiele reprezentacji szeregów dyskretnych dla dowolnego G .
• Langlands (1966) przypuszczał, a Schmid (1976) udowodnił, geometryczny odpowiednik twierdzenia Borela – Botta – Weila dla szeregu dyskretnego, używając kohomologii L ² zamiast kohomologii spójnego snopka stosowanej w przypadku zwartym.
• Stosując twierdzenie o indeksie , Atiyah i Schmid (1977) skonstruowali wszystkie reprezentacje szeregów dyskretnych w przestrzeniach spinorów harmonicznych . W przeciwieństwie do większości poprzednich konstrukcji reprezentacji, praca Atiyah i Schmid nie wykorzystywała wyników istnienia Harish-Chandry w swoich dowodach.
• Dyskretne reprezentacje szeregów można również konstruować za pomocą kohomologicznej indukcji parabolicznej przy użyciu funktorów Zuckermana .

Zobacz też

• przypuszczenie Blattnera
• Holomorficzna reprezentacja szeregów dyskretnych
• Reprezentacja szeregów dyskretnych kwaternionów

•     Atiyah, Michael ; Schmid, Wilfried (1977), „Konstrukcja geometryczna szeregu dyskretnego dla półprostych grup Liego”, Inventiones Mathematicae , 42 : 1–62, doi : 10.1007 / BF01389783 , ISSN 0020-9910 , MR 0463358 , S2CID 55559836
•     Bargmann, V (1947), „Nieredukowalne reprezentacje jednostkowe grupy Lorentza”, Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969129 , MR 0021942
•   Harish-Chandra (1965), „Dyskretne serie dla półprostych grup Liego. I. Budowa niezmiennych rozkładów własnych”, Acta Mathematica , 113 : 241–318, doi : 10.1007 / BF02391779 , ISSN 0001-5962 , 0219665
•     Harish-Chandra (1966), „Dyskretne serie dla półprostych grup Liego. II. Jawne określanie znaków” , Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007 / BF02392813 , ISSN 0001-5962 , MR 0219666 , S2CID 125806386
•   Langlands, RP (1966), „Wymiar przestrzeni form automorficznych” , Grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 253– 257, MR 0212135
•     Narasimhan, MS; Okamoto, Kiyosato (1970), „Ananalog twierdzenia Borela-Weila-Botta dla hermitowskich par symetrycznych typu niezwartego”, Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 486–511, doi : 10.2307 / 1970635 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970635 , MR 0274657
•     Parthasarathy, R. (1972), „Operator Diraca i szeregi dyskretne”, Annals of Mathematics , druga seria, 96 (1): 1–30, doi : 10.2307/1970892 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970892 , MR 0318398
•     Schmid, Wilfried (1976), „L²-kohomologia i szeregi dyskretne”, Annals of Mathematics , druga seria, 103 (2): 375–394, doi : 10.2307/1970944 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970944 , MR 0396856
•    Schmid, Wilfried (1997), „Seria dyskretna”, w: Bailey, TN; Knapp, Anthony W. (red.), Teoria reprezentacji i formy automorficzne (Edinburgh, 1996) , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, tom. 61, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 83–113, doi : 10.1090/pspum/061/1476494 , ISBN 978-0-8218-0609-8 , MR 1476494
• AI Shtern (2001) [1994], „Dyskretne serie reprezentacji” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

Linki zewnętrzne

• Garrett, Paul (2004), Kilka faktów o szeregach dyskretnych (holomorficzny, czwartorzędowy) (PDF)