Miara Plancherela

W matematyce miara Plancherela jest miarą zdefiniowaną na zbiorze nieredukowalnych reprezentacji jednostkowych grupy lokalnie zwartej $,$ w jaki sposób reprezentacja regularna rozpada się na nieredukowalne reprezentacje jednostkowe. W niektórych $konkretnie$ termin miara Plancherela jest stosowany w kontekście grupy będącej skończoną grupą symetryczną ${\ displaystyle S_ {n}}$ – patrz poniżej. Został nazwany na cześć szwajcarskiego matematyka Michela Plancherela za jego pracę nad teorią reprezentacji .

Definicja grup skończonych

Niech $grupa$ skończona oznacza zbiór jej $\ displaystyle G ^ {\ klin}}$ reprezentacji przez ∧ . Odpowiednia miara Plancherela na zbiorze jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle G ^ {\ klin}}$

$\ Displaystyle \ mu (\ pi) = {\ Frac {(\ operatorname {dim} \, \ pi) ^ {2}} {| G |}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ pi \ w G ^ {\ klin}}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} \ pi}$ oznacza wymiar nieredukowalnej reprezentacji ${\ Displaystyle \ pi}$ .

Definicja na grupie symetrycznej

$jest$ przypadek skończonej $jest$ symetrycznej gdzie dodatnią liczbą całkowitą. Dla tej grupy zbiór $bijekcji$ ze zbiorem całkowitych podziałów n $displaystyle n}$ . Dla nieredukowalnej reprezentacji związanej z partycją całkowitą ${\ displaystyle \ lambda}$ , wiadomo, że jego wymiar jest równy , $o$ standardowych obrazów Younga kształcie , więc w tym przypadku Plancherela jest często uważana za miarę ${\ Displaystyle \ lambda}$ miara na zbiorze całkowitych podziałów danego rzędu n , dana przez

${\ Displaystyle \ mu (\ lambda) = {\ Frac {(f ^ {\ lambda}) ^ {2}} {n!}}.}$

Fakt, że prawdopodobieństwa te sumują się do 1, wynika z tożsamości kombinatorycznej

$\ Displaystyle \ suma _ {\ lambda \ vdash n} (f ^ {\ lambda}) ^ {2} = n !,}$

co odpowiada bijektywnemu charakterowi korespondencji Robinsona – Schensteda .

Aplikacja

Miara Plancherela $się$ naturalnie w problemach kombinatorycznych i probabilistycznych, zwłaszcza w badaniu najdłuższego rosnącego podciągu losowej permutacji . Ze względu na jego znaczenie w tej dziedzinie, w wielu aktualnych pracach naukowych termin miara $odnosi$ się prawie wyłącznie do przypadku grupy .

Połączenie z najdłuższym rosnącym podciągiem

Niech $\ Displaystyle L (\ sigma)} oznacza$$L ( σ ) {\ Displaystyle L (\ sigma)$ najdłuższego rosnącego podsekwencji losowej permutacji $}$ wybranej zgodnie z rozkładem jednolitym . Niech oznaczają kształt odpowiednich obrazów Younga związanych z korespondencją Robinsona – ${\ displaystyle \ lambda$$}$ . Wtedy zachodzi następująca tożsamość:

${\ Displaystyle L (\ sigma) = \ lambda _ {1},}$

gdzie oznacza długość pierwszego rzędu ${1}}$${\ Displaystyle \ lambda$ . Co więcej, z faktu, że korespondencja Robinsona – Schensteda jest bijektywna $,$ wynika, że ​​rozkład ${\ displaystyle S_ {n}}$ dokładnie miarą Plancherela na . Aby więc zrozumieć zachowanie ${\ Displaystyle L (\ sigma)}$ , naturalne jest spojrzenie na ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$$z$ wybranym $zgodnie$ miarą Plancherela w te dwie zmienne losowe mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa.

Zatruta miara Plancherela

Miara Plancherela jest zdefiniowana dla każdej liczby całkowitej . ${n}}$$displaystyle$ . W różnych badaniach asymptotycznego zachowania ${\ Displaystyle L (\ sigma)}$ as ${\ Displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ okazało się przydatne rozszerzenie miary do miary zwanej Poissonized Miara Plancherela na planie ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {*}}$ wszystkich partycji całkowitych. Dla każdego $Poissonized$ Plancherela z parametrem ${\$ zbiorze jest zdefiniowana przez $Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {\ teta} (\ lambda) = e ^ {- \ teta} {\ Frac {\ teta ^ {| \ lambda |} (f ^{\lambda})^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle \ lambda \ in {\ mathcal {P}} ^ {*}}$ .

Proces wzrostu plancherela

Proces wzrostu Plancherela to losowa sekwencja diagramów Younga $~ \ ldots,}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {(1)} = (1), ~ \ lambda ^$$takie$ , że każdy losowym diagramem Younga rzędu ${\ Displaystyle n}$ którego rozkład prawdopodobieństwa jest $1)}}$ - tą miarą n - $\$$lambda ^ {$ przez dodanie pojedynczego kwadratu, zgodnie z prawdopodobieństwem przejścia

${\ Displaystyle p (\ nu, \ lambda) = \ mathbb {P} ( \lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}}, }$

dla dowolnych diagramów Younga $i$ o $n$ - 1 i n .

Tak więc proces wzrostu Plancherela można postrzegać jako naturalne sprzężenie różnych miar Plancherela wszystkich grup symetrycznych lub alternatywnie jako błądzenie losowe po siatce Younga . $.$ trudno wykazać, że $rozkład$ prawdopodobieństwa w tym spacerze pokrywa Plancherela

Kompaktowe grupy

Miara Plancherela dla grup zwartych jest podobna do miary dla grup skończonych, z tym wyjątkiem, że miara nie musi być skończona. Unitarny dual jest dyskretnym zbiorem reprezentacji o skończonych wymiarach, a miara Plancherela nieredukowalnej reprezentacji o skończonych wymiarach jest proporcjonalna do jej wymiaru.

grupy abelowe

Unitarna liczba podwójna lokalnie zwartej grupy abelowej jest kolejną lokalnie zwartą grupą abelową, a miara Plancherela jest proporcjonalna do miary Haara grupy podwójnej.

Półproste grupy kłamstw

Miarę Plancherela dla półprostych grup Liego odkrył Harish-Chandra . Nośnik jest zbiorem odpuszczonych reprezentacji , aw szczególności nie wszystkie jednolite reprezentacje muszą występować w nośniku.