Zasada maksymalnego modułu

Wykres modułu cos ( z ) (na czerwono) dla z na dysku jednostkowym wyśrodkowanym na początku (pokazanym na niebiesko). Jak przewiduje twierdzenie, maksimum modułu nie może znajdować się wewnątrz dysku (więc najwyższa wartość na czerwonej powierzchni znajduje się gdzieś wzdłuż jego krawędzi).

W matematyce zasada maksymalnego modułu w analizie zespolonej mówi, że jeśli f jest funkcją holomorficzną , to moduł | fa | nie może wykazywać ścisłego lokalnego maksimum , które właściwie mieści się w domenie f .

₀₀ Innymi słowy, albo f jest lokalnie stałą funkcją , albo dla dowolnego punktu z wewnątrz dziedziny f istnieją inne punkty dowolnie bliskie z , w których | fa | przyjmuje większe wartości.

Oświadczenie formalne

₀ Niech f będzie funkcją holomorficzną na pewnym połączonym otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej ℂ i przyjmującą wartości zespolone. Jeśli z jest punktem w D takim, że

${\ Displaystyle | f (z_ {0}) | \ geq | f (z) |}$

₀ dla wszystkich z w pewnym sąsiedztwie z , to f jest stałe na D .

Stwierdzenie to można postrzegać jako szczególny przypadek twierdzenia o otwartym odwzorowaniu , które stwierdza, że ​​niestała funkcja holomorficzna odwzorowuje zbiory otwarte na zbiory otwarte: Jeśli | fa | osiąga lokalne maksimum w punkcie z , to obraz wystarczająco małego otwartego otoczenia z nie może być otwarty, więc f jest stałe.

Powiązane oświadczenie

Załóżmy, że jest $,$ otwartym podzbiorem z ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Niech będzie zamknięciem $}}}$$displaystyle {\ overline {$ . $na$ że jest funkcją ciągłą, która jest holomorficzna $}$ . wtedy ${\ displaystyle | f (z) |}$ osiąga maksimum w pewnym punkcie granicy ${\ displaystyle D}$ .

Wynika to z pierwszej wersji w następujący sposób. Ponieważ $niepusty$ i $\ Displaystyle | f (z) |}$ funkcja ciągła | ${\ overline {D}}}$ osiąga maksimum w pewnym momencie $displaystyle$ . Jeśli $że$ jest na granicy, to zasada maksymalnego modułu implikuje, ${\ displaystyle f}$ jest stała, więc ${\ Displaystyle | f (z) |}$ również osiąga to samo maksimum w dowolnym punkcie granicy.

Zasada minimalnego modułu

Dla funkcji holomorficznej f na połączonym zbiorze otwartym re , jeśli z jest punktem w D takim ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ do ₀

${\ Displaystyle 0 <| f (z_ {0}) | \ równoważnik | f (z) |}$

₀ dla wszystkich z w pewnym sąsiedztwie z , to f jest stałe na D .

Dowód: Zastosuj zasadę maksymalnego modułu do ${\ displaystyle 1/f}$ .

Szkice dowodów

Stosowanie zasady maksimum dla funkcji harmonicznych

Można skorzystać z równości

${\ Displaystyle \ log f (z) = \ ln | f (z) | + i \ arg f (z)}$

₀ dla złożonych logarytmów naturalnych , aby wywnioskować, że ${\ Displaystyle \ ln | f (z) |}$ jest funkcją harmoniczną . Ponieważ z jest maksimum lokalnym również dla tej funkcji, z zasady maksimum wynika, że ${\ displaystyle | f (z) |}$ jest stała. Następnie za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna pokazujemy, że $}$$stałe$ = 0, a zatem to również jest Podobne rozumowanie pokazuje, że ${\ Displaystyle | f (z) |}$ może mieć tylko lokalne minimum (które z konieczności ma wartość 0) przy izolowanym zerze ${\ Displaystyle f (z)}$ .

Wykorzystanie twierdzenia Gaussa o wartości średniej

Inny dowód polega na wykorzystaniu twierdzenia Gaussa o wartości średniej , aby „zmusić” wszystkie punkty w nakładających się otwartych dyskach do przyjęcia tej samej wartości co maksimum. Dyski są ułożone w taki sposób, że $ich$ środki tworzą wielokątną ścieżkę od wartości, w której do dowolnego innego punktu w domenie, będąc jednocześnie całkowicie zawartymi w $Zatem$ istnienie wartości maksymalnej oznacza, że ​​wszystkie wartości w dziedzinie są takie same, stała

Interpretacja fizyczna

Fizyczna interpretacja tej zasady pochodzi z równania ciepła . To znaczy, ponieważ ${\ Displaystyle \ log | f (z) |}$ jest harmoniczna, jest to więc stan ustalony przepływu ciepła w regionie D . Załóżmy, że we wnętrzu D osiągnięto ścisłe maksimum , ciepło przy tym maksimum rozpraszałoby się do punktów wokół niego, co byłoby sprzeczne z założeniem, że reprezentuje to stan ustalony układu.

Aplikacje

Zasada maksymalnego modułu ma wiele zastosowań w analizie złożonej i może być wykorzystana do udowodnienia następujących rzeczy:

• Podstawowe twierdzenie algebry .
• Lemat Schwarza , wynik, który z kolei ma wiele uogólnień i zastosowań w analizie złożonej.
• Phragména – Lindelöfa , rozszerzenie na domeny nieograniczone.
• Borela – Carathéodory'ego , które ogranicza funkcję analityczną pod względem jej części rzeczywistej.
• Hadamarda o trzech prostych , wynik dotyczący zachowania się ograniczonych funkcji holomorficznych na prostej między dwiema innymi prostymi równoległymi na płaszczyźnie zespolonej.

• Titchmarsh, EC (1939). Teoria funkcji (wyd. 2). Oxford University Press. (Patrz rozdział 5.)
• ED Solomentsev (2001) [1994], „Zasada maksymalnego modułu” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Zasada maksymalnego modułu” . MathWorld .