Twierdzenie Hadamarda o trzech liniach

W analizie zespolonej , gałęzi matematyki, twierdzenie Hadamarda o trzech liniach jest wynikiem zachowania się funkcji holomorficznych zdefiniowanych w obszarach ograniczonych liniami równoległymi na płaszczyźnie zespolonej . Twierdzenie zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka Jacquesa Hadamarda .

Oświadczenie

$Displaystyle z$ Hadamarda o trzech liniach - Niech będzie ograniczoną funkcją zdefiniowaną na pasku $x + iy$

${\ Displaystyle \ {x + iy: a \ równoważnik x \ równoważnik b \},}$

holomorficzny we wnętrzu paska i ciągły na całym pasku. Jeśli

${\ Displaystyle M (x) = \ sup _ {y} | f (x + iy) |}$

wtedy ${\ Displaystyle \ log M (x)}$ jest funkcją wypukłą na ${\ Displaystyle [a, b]}$

Innymi słowy, jeśli ${\ Displaystyle x = ta + (1-t) b}$ z ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik t \ równoważnik 1,}$ wtedy

${\ Displaystyle M (x) \ równoważnik M (a) ^ {t} M (b) ^ {1-t}.}$

Dowód

Zdefiniuj przez ${\ Displaystyle F (z)}$ ${\ Displaystyle F (z) = f (z) M (a) ^ {zb \ ponad ba}M(b)^{za \ponad ab}}$ gdzie ${\ Displaystyle | F (z) | \ równoważnik 1}$ na krawędziach paska. Wynik pojawia się, gdy zostanie wykazane, że nierówność zachodzi również we wnętrzu paska. Po przekształceniu afinicznym $funkcja$ współrzędnej można założyć, że $\ displaystyle a = 0}$ i b $\ displaystyle b = 1.}$ ${\ Displaystyle F_ {n} (z) = F (z) e ^ {z ^ {2}/n} e ^ {- 1/n}}$ ma tendencję do ${\ displaystyle 0}$ jako ${\ Displaystyle | z |}$ dąży do nieskończoności i spełnia ${\ Displaystyle | F_ {n} | \ równoważnik 1}$ na granicy paska. Zasadę $paska$ modułu można zastosować do . Więc ${\ Displaystyle | F_ {n} (z) | \ równoważnik 1.}$ Ponieważ ${\ Displaystyle F_ {n} (z)}$ dąży do nieskończoności, ${\ Displaystyle F (z)}$ jak ${\ displaystyle n}$ dąży do nieskończoności, wynika z tego ${\ Displaystyle | F (z) | \ równoważnik 1.}$ ∎

Aplikacje

Twierdzenie o trzech liniach może być użyte do udowodnienia $pierścieniu$ trzech kołach ograniczonej funkcji ciągłej na ${\ Displaystyle \ {z: r \ równoważnik | z | \ równoważnik R \}}$ holomorficzny we wnętrzu. Rzeczywiście stosując twierdzenie do

${\ Displaystyle f (z) = g (e ^ {z}),}$

pokazuje, że jeśli

$\ Displaystyle m (s) = \ sup _ {| z | = e ^ {s}} | g (z) |,}$

wtedy ${\ Displaystyle \ log \, m (s)$ jest wypukłą funkcją ${\ displaystyle s.}$

Twierdzenie o trzech liniach obowiązuje również dla funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha i odgrywa ważną rolę w teorii interpolacji zespolonej . Można go użyć do udowodnienia nierówności Höldera dla mierzalnych funkcji

${\ Displaystyle \ int | gh | \ równoważnik \ lewo (\ int | g | ^ {p} \ prawej) ^ {1 \ nad p}\cdot \left(\int |h|^{q}\right)^{1 \over q},}$

gdzie ${\ Displaystyle {1 \ ponad p} + {1 \ ponad q} = 1,}$ biorąc pod uwagę funkcję

${\ Displaystyle f (z) = \ int | g | ^ {pz} | h | ^ {q (1-z)}.}$

Zobacz też

• Twierdzenie Riesza-Thorina

• Hadamard, Jacques (1896), „Sur les funkctions entières” (PDF) , Bull. soc. Matematyka ks. , 24 : 186–187 (pierwotna zapowiedź twierdzenia)
•   Reed, Michał ; Simon, Barry (1975), Metody współczesnej fizyki matematycznej , tom 2: analiza Fouriera, samosprzężenie , Elsevier, s. 33–34, ISBN 0-12-585002-6
•   Ullrich, David C. (2008), Uproszczony kompleks , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 97, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 386–387, ISBN 978-0-8218-4479-3