Wyznacznik Fredholma

W matematyce wyznacznik Fredholma jest funkcją o wartościach zespolonych , która uogólnia wyznacznik skończonego wymiarowego operatora liniowego . Jest zdefiniowany dla operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta , które różnią się od operatora tożsamości operatorem klasy śledzenia . Nazwa funkcji pochodzi od nazwiska matematyka Erika Ivara Fredholma .

Wyznaczniki Fredholma miały wiele zastosowań w fizyce matematycznej , a najbardziej znanym przykładem jest wzór graniczny Gábora Szegő , udowodniony w odpowiedzi na pytanie postawione przez Larsa Onsagera i CN Yanga na temat spontanicznego namagnesowania modelu Isinga .

Definicja

Niech H będzie przestrzenią Hilberta , a G zbiorem ograniczonych operatorów odwracalnych na H postaci I + T , gdzie T jest operatorem klasy śladowej . G jest grupą , ponieważ

$${\ Displaystyle (I + T) ^ {- 1} -I = - T (I + T) ^ {- 1},}$$

więc ( I + T ) ⁻¹ − I jest klasą śledzenia, jeśli T jest. Ma naturalną metrykę określoną przez d ( X , Y ) = || X − Y || ₁ , gdzie || · || ₁ to norma klasy śladowej.

Jeśli H jest przestrzenią Hilberta z $-$ wewnętrznym , tak samo jest z potęgą Λ k $Displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$ z produkt wewnętrzny

$${\ Displaystyle (v_ {1} \ klin v_ {2} \ klin \ cdots \ klin v_ {k}, w_ {1} \ klin w_ {2} \ klin \ cdots \ klin w_ {k}) = \ det ( v_{i},w_{j}).}$$

W szczególności

$${\ Displaystyle e_ {i_ {1}} \ klin e_ {i_ {2}} \ klin \ cdots \ klin e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$$

daje podstawę ortonormalną ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} H},$ jeśli ( mi _ja ) jest podstawą ortonormalną H . Jeśli A jest operatorem ograniczonym na H , to A funkcjonalnie definiuje operator ograniczony na ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} (A)}$ na ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$ przez

$${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} (A) v_ {1} \ klin v_ {2} \ klin \ cdots \ klin v_ {k} = Av_ {1} \ klin Av_ {2} \ klin \ cdots \ klin Av_ {k}.}$$

Jeśli A jest klasą śledzenia, to jest również klasą śledzenia z ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} (A)}$

$${\ Displaystyle \|\ Lambda ^ {k} (A) \|_ {1} \ równoważnik \|A \|_ {1} ^ {k} / k!.}$$

To pokazuje, że definicja wyznacznika Fredholma podana przez

$${\ Displaystyle \ det (I + A) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Tr} \ Lambda ^ {k}(A)}$$

ma sens.

Nieruchomości

• Jeśli A jest operatorem klasy śledzenia.
  $${\ Displaystyle \ det (I + zA) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} z ^ {k} \operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$
  definiuje całą funkcję taką, że
  $${\ Displaystyle \ lewo | \ det (I + zA) \ prawo | \ równoważnik \ exp (| z | \ cdot \| A \|_ {1}).}$$
• Funkcja det( I + A ) jest ciągła na operatorach klasy śledzenia, z
  $${\ Displaystyle \ lewo | \ det (I + A) - \ det (I + B) \ prawo | \ równoważnik \| AB \ | _ {1} \ exp (\ | A \ | _ {1} + \ | B\|_{1}+1).}$$
  Można nieco poprawić tę nierówność do następującej, jak zauważono w rozdziale 5 Szymona:
  $${\ Displaystyle \ lewo | \ det (I + A) - \ det (I + B) \ prawo | \ równoważnik \| AB \ | _ {1} \ exp (\ max (\| A \ | _ {1} ,\|B\|_{1})+1).}$$
• Jeśli A i B są klasą śladową, to wtedy
  $${\ Displaystyle \ det (I + A) \ cdot \ det (I + B) = \ det (I + A) (I + B).}$$
• Funkcja det definiuje homomorfizm G w multiplikatywną grupę C * niezerowych liczb zespolonych (ponieważ elementy G są odwracalne ).
• Jeśli T jest w G , a X jest odwracalny,
  $${\ Displaystyle \ det XTX ^ {-1} = \ det T.}$$
• Jeśli A jest klasą śladową, to
  $${\ Displaystyle \ det e ^ {A} = \ exp \, \ operatorname {Tr} (A).}$$
  $${\ Displaystyle \ log \ det ( I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}{\frac {\ nazwa operatora {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}}$$

Wyznaczniki Fredholma komutatorów

funkcja F ( t ) z ( a , b ) do G jest różniczkowalna , jeśli F ( t ) − I jest różniczkowalna jako odwzorowanie na operatory klasy śladowej, tj. jeśli granica

$${\ Displaystyle {\ kropka {F}} (t) = \ lim _ {h \ do 0} {F (t + h )-F(t) \ponad h}}$$

istnieje w normie klasy śladowej.

Jeśli g ( t ) jest funkcją różniczkowalną z wartościami w operatorach klasy śladowej, to również exp g ( t ) i

$${\ Displaystyle F ^ {- 1} {\ kropka {F}} = {\ operatorname { id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} (X) \ cdot Y = XY-YX.}$$

Israel Gohberg i Mark Kerin udowodnili, że jeśli F jest funkcją różniczkowalną do G , to f = det F jest różniczkowalną mapą do C * z

$${\ Displaystyle f ^ {-1} {\ kropka {f}} = \ operatorname {Tr} F ^ {-1} {\ kropka {F}}.}$$

Wynik ten został wykorzystany przez Joela Pincusa, Williama Heltona i Rogera Howe'a do udowodnienia, że ​​jeśli A i B są operatorami ograniczonymi z komutatorem klasy śladowej AB − BA , to

$${\ Displaystyle \ det e ^ {A} e ^ {B} e ^ {-A} e ^ {- B} = \ exp \ nazwa operatora {Tr} (AB-BA).}$$

Formuła graniczna Szegő

Zobacz też: twierdzenia graniczne Szegő

Niech H = L ² ( S ¹ ) i niech P będzie rzutem ortogonalnym na przestrzeń Hardy'ego H ² ( S ¹ ).

Jeśli f jest gładką funkcją na okręgu, niech m ( f ) oznacza odpowiedni operator mnożenia na H .

Komutator

P. m ( fa ) - m ( fa ) P

jest klasą śladową.

Niech T ( f ) będzie operatorem Toeplitza na H ² ( S ¹ ) zdefiniowanym przez

$${\ Displaystyle T (f) = Pm (f) P.}$$

następnie komutator addytywny

$${\ Displaystyle T (f) T (g) -T (g) T (f)}$$

jest klasą śladową, jeśli f i g są gładkie.

Berger i Shaw to udowodnili

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (T (f) T (g) -T (g) T (f)) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \,dg.}$$

Jeśli f i g są gładkie, to

$${\ Displaystyle T (e ^ {f + g}) T (e ^ {- f}) T (e ^ {- g}) }$$

jest w G.

Harold Widom wykorzystał wynik testu Pincus-Helton-Howe, aby to udowodnić

$${\ Displaystyle \ det T (e ^ {f}) T (e ^ {- f}) = \ exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$

Gdzie

$${\ displaystyle f (z) = \ suma a_ {n} z ^ {n}.}$$

Użył tego, aby podać nowy dowód słynnej formuły granicznej Gábora Szegő :

$${\ Displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} \ det P_ {N} m (e ^ {f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$

₀ gdzie P _N jest rzutem na podprzestrzeń H rozpiętą przez 1, z , …, z ^N i a = 0.

Formuła graniczna Szegő została udowodniona w 1951 roku w odpowiedzi na pytanie postawione przez Larsa Onsagera i CN Yanga dotyczące obliczenia spontanicznego namagnesowania dla modelu Isinga . Formuła Widoma, która dość szybko prowadzi do formuły granicznej Szegőa, jest również równoważna dualności między bozonami i fermionami w konforemnej teorii pola . Pojedyncza wersja wzoru granicznego Szegő dla funkcji obsługiwanych na łuku koła została udowodniona przez Widoma; zastosowano go do ustalenia probabilistycznych wyników rozkładu wartości własnych losowych macierzy unitarnych .

Nieformalna prezentacja dla przypadku operatorów całkowych

Poniższa sekcja zawiera nieformalną definicję wyznacznika Fredholma IT , gdy operator klasy śladowej T jest operatorem całkowym określonym przez jądro K ( x , x ). Właściwa definicja wymaga prezentacji pokazującej, że każda z manipulacji jest dobrze zdefiniowana, zbieżna itd. dla danej sytuacji, dla której rozważany jest wyznacznik Fredholma. Ponieważ jądro K można zdefiniować dla wielu różnych przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha , jest to nietrywialne ćwiczenie.

Wyznacznik Fredholma można zdefiniować jako

$${\ Displaystyle \ det ( I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left( -\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$$

gdzie T jest operatorem całkowym . Ślad operatora T i jego mocy naprzemiennych jest podany w jądrze K przez

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} T = \ int K (x, x) \, dx}$$

I

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} \ Lambda ^ {2} (T) = {\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy}$$

i na ogół

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} \ Lambda ^ {n} (T) = {\ Frac {1} {n!}} \ int \ cdots \ int \ det K (x_ {i}, x_ {j}) | _{1\równoważnik i,j\równoważnik n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

Ślad jest dobrze zdefiniowany dla tych jąder, ponieważ są to operatory klasy śladowej lub jądrowe .

Aplikacje

Wyznacznik Fredholma został użyty przez fizyka Johna A. Wheelera (1937, Phys. Rev. 52:1107), aby pomóc w matematycznym opisie funkcji falowej złożonego jądra złożonego z antysymetrycznej kombinacji częściowych funkcji falowych metodą struktury grup rezonansowych. Ta metoda odpowiada różnym możliwym sposobom dystrybucji energii neutronów i protonów na podstawowe grupy klastrów nukleonów bozonowych i fermionowych lub bloki budulcowe, takie jak cząstka alfa, hel-3, deuter, tryton, di-neutron itp. Po zastosowaniu do metody Resonating Group Structure dla izotopów stabilnych beta i alfa, zastosowanie wyznacznika Fredholma: (1) wyznacza wartości energii układu kompozytowego oraz (2) wyznacza przekroje poprzeczne rozpraszania i dezintegracji. Metoda Resonating Group Structure of Wheeler dostarcza teoretycznych podstaw dla wszystkich kolejnych Nucleon Cluster Models i związanej z nimi dynamiki energii klastrów dla wszystkich lekkich i ciężkich izotopów masowych (patrz przegląd Cluster Models in Physic w ND Cook, 2006).

•   Simon, Barry (2005), Śladowe ideały i ich zastosowania , Ankiety matematyczne i monografie, tom. 120, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-3581-5
•   Wheeler, John A. (1937-12-01). „O matematycznym opisie jąder światła metodą rezonansowej struktury grupowej”. Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 52 (11): 1107–1122. doi : 10.1103/physrev.52.1107 . ISSN 0031-899X .
• Bornemann, Folkmar (2010), „O numerycznej ocenie wyznaczników Fredholma”, Math. Komp. , Springer, 79 : 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi : 10.1090/s0025-5718-09-02280-7