Twierdzenie Plancherela

W matematyce twierdzenie Plancherela (czasami nazywane tożsamością Parsevala -Plancherela) jest wynikiem analizy harmonicznej , udowodnionym przez Michela Plancherela w 1910 r. Stwierdza ono, że całka kwadratu modułu funkcji jest równa całce kwadratu modułu jej widmo częstotliwości . To $rzeczywistej$ jeśli i ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi)}$ to zatem jego widmo częstotliwości

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$

Bardziej precyzyjne sformułowanie jest takie, że jeśli funkcja jest w obu przestrzeniach Lp i ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ i $)}$${\ Displaystyle L ^ {2} ( \$$}$ , to jego transformata Fouriera jest w względem L ² norma. Oznacza to, że mapa transformacji Fouriera jest ograniczona do ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R}) \ cap L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ma unikalne rozszerzenie liniowej mapy izometrycznej ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ mapsto L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ , czasami nazywany transformatą Plancherela. Ta izometria jest właściwie unitarną . W efekcie pozwala to mówić o transformatach Fouriera funkcje całkowalne kwadratowo .

Twierdzenie Plancherela pozostaje ważne, jak stwierdzono w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Twierdzenie to obowiązuje również bardziej ogólnie w lokalnie zwartych grupach abelowych . Istnieje również wersja twierdzenia Plancherela, która ma sens dla nieprzemiennych grup lokalnie zwartych, spełniających określone założenia techniczne. Jest to przedmiotem nieprzemiennej analizy harmonicznej .

Unitarność transformaty Fouriera jest często nazywana twierdzeniem Parsevala w dziedzinie nauki i inżynierii, w oparciu o wcześniejszy (ale mniej ogólny) wynik, który został wykorzystany do udowodnienia unitarności szeregu Fouriera .

$Plancherela$ na tożsamość polaryzacji można również zastosować twierdzenie dwóch funkcji To znaczy, jeśli i ${\ Displaystyle$$}$ to dwa ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} )}$ funkcje i ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ oznacza zatem transformatę Plancherela

$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\infty}f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty}^{\infty}({\mathcal {P}}f)(\xi){ \overline {({\mathcal {P}}g)(\xi)}}\,d\xi,}$$

fa ${\ Displaystyle f (x)}$ i ${\ Displaystyle g (x)}$ są ponadto $})}$ wtedy funkcje

$${\ Displaystyle ({\ mathcal {P}} f) (\ xi) = {\widehat {f}}(\xi)=\int _{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

I

$${\ Displaystyle ({\ mathcal {P}} g) (\ xi) = {\widehat {g}}(\xi)=\int _{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

Więc

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ widehat {f}}(\xi){\overline {{\widehat {g}}(\xi)}}\,d\xi.}$

Zobacz też

• Twierdzenie Plancherela dla funkcji sferycznych

• Plancherel, Michel (1910), „Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi : 10.1007 / BF03014877 .
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Gauthier Villars .
• Yosida, K. (1968), Analiza funkcjonalna , Springer Verlag .

Linki zewnętrzne

• „Twierdzenie Plancherela” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Twierdzenie Plancherela o Mathworld