Twierdzenie Parsevala

W matematyce twierdzenie Parsevala zwykle odnosi się do wyniku, że transformata Fouriera jest jednolita ; luźno, że suma (lub całka) kwadratu funkcji jest równa sumie (lub całce) kwadratu jej transformacji. Wywodzi się z twierdzenia Marca-Antoine'a Parsevala z 1799 r. o szeregach , które później zastosowano do szeregu Fouriera . Jest również znany jako twierdzenie Rayleigha o energii lub tożsamość Rayleigha Johna Williama Strutta , Lorda Rayleigha.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany do opisania unitarności dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce , najbardziej ogólna postać tej właściwości jest bardziej właściwie nazywana twierdzeniem Plancherela .

Stwierdzenie twierdzenia Parsevala

$Displaystyle$ , że i są dwiema funkcjami o wartościach na $displaystyle 2\pi }$ $.$ $mathbb$ $}$ , które są całkowalne do kwadratu (w odniesieniu do miary Lebesgue'a ) w przedziałach długości okresu, z szeregiem Fouriera

{\ Displaystyle A (x) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx}}

I

{\ Displaystyle B (x) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {inx}}

odpowiednio. Następnie

{\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}A(x){\overline {B(x) )}}\,\mathrm {d} x,}

()

gdzie $kreski$ jednostką urojoną , a poziome wskazują złożoną koniugację . Zastępując i ${\ Displaystyle A (x)}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {B (x)}}}$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} & = {\ frac {1} {2 \ pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty}{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right) \left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\ [6pt]&={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1} }}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{ 1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\ [6pt]&={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{ 1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2 }}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{wyrównane}}}

Podobnie jak w przypadku terminów środkowych w tym przykładzie, wiele terminów zostanie zintegrowanych z ${\ displaystyle 0}$ przez cały okres długości (patrz harmoniczne ): ${\ displaystyle 2 \ pi}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} & = {\ frac {1} {2 \ pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline { b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]& ={\frac {1}{2\pi}}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_ {2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{wyrównane}}}

Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę abelową lokalnie zwartą grupę G z Pontriaginem dual G^ , twierdzenie Parsevala mówi, że transformata Pontriagina-Fouriera jest operatorem unitarnym między przestrzeniami Hilberta L ² ( G ) i L ² ( G^ ) (z całkowaniem przeciw odpowiednio skalowane miary Haara na dwóch grupach.) Kiedy G jest jednostką koła T , G^ jest liczbami całkowitymi i jest to przypadek omówiony powyżej. Gdy G jest linią rzeczywistą $,$ G $linią rzeczywistą,$ jest również transformata jednostkowa jest transformatą Fouriera na linii rzeczywistej. Kiedy G jest grupą cykliczną Z _n , znowu jest samodualna, a transformata Pontryagina-Fouriera jest tak zwaną dyskretną transformatą Fouriera w stosowanych kontekstach.

Twierdzenie Parsevala można również wyrazić w następujący sposób: Załóżmy, że $}$ do kwadratu nad $)$ f ( x ${\ Displaystyle f (x)}$ i ${\ Displaystyle f ^ {2} (x)}$ są całkowalne w tym przedziale), z szeregiem Fouriera

{\ Displaystyle f (x) \ simeq {\ Frac {a_ {0}} {2}} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} \ cos (nx) + b_ {n }\sin(nx)).}

Następnie

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f ^ {2} (x) \ \ operatorname {d} x = {\ frac {a_ { 0}^{2}}{2}}+\suma _{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}

Notacja stosowana w inżynierii

W elektrotechnice twierdzenie Parsevala jest często zapisywane jako:

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \ \ operatorname {d} t = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}

gdzie ${\ Displaystyle X (\ omega) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} \ {x (t) \}}$ reprezentuje ciągłą transformatę Fouriera ( $w$ $jest$ postaci i w

Interpretacja tej postaci twierdzenia polega na tym, że całkowitą energię sygnału można obliczyć, sumując moc na próbkę w czasie lub moc widmową w funkcji częstotliwości.

Dla dyskretnych sygnałów czasowych twierdzenie wygląda następująco:

{\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | x [n] | ^ {2} = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi})|^{2}\mathrm {d} \phi }

gdzie jest transformatą Fouriera w czasie dyskretnym (DTFT) $i$ reprezentuje częstotliwość kątową (w radianach próbkę) $2$ $\ pi} }$ ${\ displaystyle x}$ .

Alternatywnie, dla dyskretnej transformaty Fouriera (DFT), relacja wygląda następująco:

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} | x [n] | ^ {2} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = 0} ^ {N -1}|X[k]|^{2}}

gdzie jest DFT z $,$ ${\ Displaystyle x [n]}$ oba o długości $N$ .

Poniżej pokazujemy przypadek DFT. W pozostałych przypadkach dowód jest podobny. Korzystając z definicji odwrotnej DFT z , możemy wyprowadzić ${\ Displaystyle X [k]}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = 0} ^ {N-1} | X [k] | ^ {2} & = {\ frac {1 }{N}}\suma _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\suma _{k= 0}^{N-1}\left[\suma _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi}}} k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1 }x[n]\left[\suma _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi}}{N} }k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[ n])\\[5mu]&=\suma _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},\end{wyrównane}}}

gdzie reprezentuje $koniugat$ .

Zobacz też

Twierdzenie Parsevala jest ściśle związane z innymi wynikami matematycznymi obejmującymi przekształcenia jednostkowe:

Notatki

Parseval , archiwum historii matematyki MacTutor .
George B. Arfken i Hans J. Weber, Metody matematyczne dla fizyków (Harcourt: San Diego, 2001).
Hubert Kennedy, Osiem biografii matematycznych (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
Alan V. Oppenheim i Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) s. 60.
Williama McCa. Siebert, Obwody, sygnały i systemy (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), s. 410–411.
David W. Kammler, Pierwszy kurs analizy Fouriera (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) s. 74.

Linki zewnętrzne

Twierdzenie Parsevala o Mathworld