Operator klasy Schattena

W matematyce , szczególnie w analizie funkcjonalnej , operator p -tej klasy Schattena jest ograniczonym operatorem liniowym w przestrzeni Hilberta ze skończoną p -tą normą Schattena . Przestrzeń p th operatorów klasy Schattena jest przestrzenią Banacha ze względu na normę Schattena.

Za pomocą rozkładu biegunowego można udowodnić, że przestrzeń operatorów klasy Schattena jest ideałem w B(H) . Ponadto norma Schattena spełnia pewien rodzaj nierówności Höldera :

${\ Displaystyle \| ST \ | _ {S_ { 1}}\równik \|S\|_{S_{p}}\|T\|_{S_{q}}\ {\mbox{if}}\ S\in S_{p},\ T\in S_{q}{\mbox{ i }}1/p+1/q=1.}$

Jeśli oznaczymy przez przestrzeń Banacha ${\ displaystyle$ operatorów H względem normy operatora , powyższa nierówność typu Höldera zachodzi nawet dla $∈$ . Z tego wynika, że ${\ Displaystyle \ phi: S_ {p} \ rightarrow S_ {q} '}$ , ${\ Displaystyle T \ mapsto \ operatorname {tr} (T \ cdot)}$ jest dobrze zdefiniowanym skróceniem. (Tutaj liczba pierwsza oznacza (topologiczną) podwójną.)

Zauważmy, że druga klasa Schattena jest w rzeczywistości przestrzenią Hilberta operatorów Hilberta-Schmidta . Ponadto pierwsza klasa Schattena jest przestrzenią operatorów klas śladowych .