Norma Schattena

W matematyce , szczególnie w analizie funkcjonalnej , norma Schattena (lub norma Schattena-von-Neumanna ) powstaje jako uogólnienie całkowalności p podobne do normy klasy śladowej i normy Hilberta-Schmidta .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle H_ {1}}$ , $H_ {2}}$$Displaystyle$ będą przestrzeniami Hilberta i (liniowym) ograniczonym od ${\ Displaystyle H_ {1}}$ do ${\ Displaystyle H_ {2}}$ . Dla ${\ Displaystyle p \ w [1, \ infty)}$ zdefiniuj p-normę Schattena jako ${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle \| T \ | _ {p} = [\ operatorname {Tr} (| T | ^ {p})] ^ {\ Frac {1} {p}}.}$

Jeśli $displaystyle$ i go rozdzielić, to $T}$

${\ Displaystyle \ | T \ | _ {p}: = {\ bigg (} \ suma _ {n \ geq 1} s_ {n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

dla $cdots \ geq 0}$${\ Displaystyle s_ {1} (T) \ geq s_ {2} (T) \ geq \ cdots s_ {n} ( T) \$$|$ wartości osobliwe , tj. wartości własne operatora hermitowskiego ${\ Displaystyle | T |: = {\ sqrt {(T ^ {*} T)}}}$ .

Nieruchomości

Poniżej formalnie rozszerzamy zakres $Displaystyle$ [ $[1, \ infty ]}$ z konwencją, że ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ { \infty }}$ jest normą operatora. Podwójny indeks do $\ displaystyle p =$ wtedy $}$ infty

• Normy Schattena są jednostkowo niezmienne: dla operatorów unitarnych i ${\ Displaystyle V}$$i$ p $\ Displaystyle p \ w [1, \ infty]$ ,

${\ Displaystyle \|UTV \|_ {p} = \|T \|_ {p}.}$

${\ Displaystyle \|ST \|_ {1} \ równoważnik \|S \|_ {p} \|T \|_ {q}.}$

• Spełniają nierówność Höldera : dla wszystkich ${\ Displaystyle p \ w [1, \ infty]}$ i ${\ Displaystyle q}$ takie, że ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1 } {q}} = 1}$ i operatorzy ${\ Displaystyle S \ w {\ mathcal {L}} (H_ {2} ,H_{3}),T\w {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$${1}$ 3 $}$ między odpowiednio przestrzeniami Hilberta H

p ${\ Displaystyle p, q, r \ w [1, \ infty]}$ zaspokoić $\ Displaystyle {\ tfrac {1} {p} }+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ , to mamy

${\ Displaystyle \|ST \|_ {r} \ równoważnik \|S \|_ {p} \|T\|_ {q}}$ .

Ta ostatnia wersja nierówności Höldera jest udowodniona w większej ogólności (dla przestrzeni nieprzemiennych $w$ klas Schatten-p) w (dla macierzy ten ostatni wynik znajduje się

• Submultiplikatywność $_ \ Displaystyle S \ in {\ mathcal {L}} (H_ {2}, H_ {3}), T \ in {\ mathcal {L}} (H_ {1}, H_ {2})} zdefiniowane między przestrzeniami$$,$ i Hilberta $. {\ Displaystyle$$H_ {1}, H_$ odpowiednio ,

${\ Displaystyle \|ST \|_ {p} \ równoważnik \|S \|_ {p} \|T \|_ {p}.} Monotoniczność: dla 1 ≤ p$

• ≤ $\ leq p\leq p'\leq \infty }$ ,

${\ Displaystyle \|T \|_ {1} \ geq \|T \|_ {p} \ geq \|T \|_ {p'} \ geq \|T \|_ {\ infty}.$

• } : Niech będą $skończenie$ wymiarowymi przestrzeniami Hilberta, $[1, \$${ \displaystyle q}$ i takie, że ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1} {q}} = 1}$ wtedy

${\ Displaystyle \|S \|_ {p} = \ sup \ lbrace |\ langle S, T \ rangle |\ mid \| T \|_ {q} = 1 \ rbrace ,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ langle S, T \ rangle = \ operatorname {tr} (S ^ {*} T)}$ oznacza iloczyn wewnętrzny Hilberta-Schmidta .

• Niech ${\ Displaystyle (e_ {k}) _ {k}, (f_ {k'}) _ {k'}} będzie$ dwoma ortonormalnymi bazami przestrzeni Hilberta ${\ Displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ , potem dla ${\ Displaystyle p = 1}$

${\ Displaystyle \| T \ | _ {1} \ równoważnik \ suma _ {k, k'} \ lewo | T_ {k, k'} \ prawo |}$ .

Uwagi

Zauważ, że $jest$ normą Hilberta-Schmidta (patrz -Schmidta $}}$${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {$ 1 $to$ norma klasy śladu (patrz klasa śladu ), a norma operatora (patrz norma

$w (0,1$ ∈ $Displaystyle$ \ funkcja jest quasinormy

Operator, który ma skończoną normę Schattena, nazywany jest operatorem klasy Schattena , a przestrzeń takich operatorów jest oznaczona przez ${\ Displaystyle S_ {p} (H_ {1}, H_ {2}) }$ . Z tą $Banacha$ p 2

Zauważ, że ${\ Displaystyle S_ {p} (H_ {1}, H_ {2}) \ subseteq {\ mathcal {K}} (H_ { 1},H_{2})}$ , algebra operatorów zwartych . Wynika to z faktu, że jeśli suma jest skończona, widmo będzie skończone lub policzalne z początkiem jako punktem granicznym, a zatem operatorem zwartym (patrz operator zwarty w przestrzeni Hilberta ).

Przypadek p = 1 jest często określany jako norma jądrowa (znana również jako norma śladowa lub norma „n” Ky Fana )

Zobacz też

Normy macierzowe

• Rajendra Bhatia, Analiza macierzy, tom. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous , Theory of Quantum Information, 2.3 Normy operatorów , notatki z wykładów, University of Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Operatorzy liniowi w przestrzeniach Hilberta, tom. 20. Springer, Nowy Jork, 1980.