Lagrange'a Grassmanna

W matematyce Grassmannian Lagrange'a jest gładką rozmaitością podprzestrzeni Lagrange'a rzeczywistej symplektycznej przestrzeni wektorowej V . Jego wymiar to 1/2 . wymiar n ( n + 1) (gdzie V wynosi 2n ) Można ją utożsamiać z przestrzenią jednorodną

U( n )/O( n ) ,

gdzie U( n ) jest grupą unitarną , a O( n ) grupą ortogonalną . Idąc za Vladimirem Arnoldem, jest oznaczony przez Λ( n ). Lagrange'owski Grassmannian jest podrozmaitością zwykłego Grassmanniana V .

Zespolony Lagrange'owski Grassmannian jest złożoną jednorodną rozmaitością podprzestrzeni Lagrange'a zespolonej symplektycznej przestrzeni wektorowej V o wymiarze 2 n . Można ją utożsamiać z przestrzenią jednorodną o wymiarze zespolonym 1 / 2 n ( n + 1)

Sp( n )/U( n ) ,

gdzie Sp( n ) jest zwartą grupą symplektyczną .

Jako jednorodna przestrzeń

Aby zobaczyć, że Lagrange'a Grassmanniana Λ ( n ) można utożsamiać z U ( n ) / O ( n ) , zauważ, że jest 2 { \ , z urojoną częścią jego zwykłego iloczynu wewnętrznego, przekształcając go w symplektyczną przestrzeń wektorową. Podprzestrzenie Lagrange'a z są zatem rzeczywistymi podprzestrzeniami rzeczywistego wymiaru n , na którym znika urojona część iloczynu wewnętrznego. Przykładem jest . Grupa unitarna U ( n ) działa przechodnie na zbiorze tych podprzestrzeni, a stabilizatorem jest ortogonalna grupa . Z teorii przestrzeni jednorodnych wynika , że ​​Λ( n ) jest izomorficzna z U( n )/O( n ) jako przestrzeń jednorodna U( n ) .

Topologia

Stabilna topologia Grassmannianu Lagrangianu i zespolonego Grassmannianu Lagrange'a jest w pełni zrozumiała, ponieważ przestrzenie te pojawiają się w twierdzeniu Botta o okresowości : i , do przesunięcie w indeksowaniu (wymiarze).

W szczególności podstawowa grupa cyklicznie _ Jego pierwsza grupa homologii jest zatem również nieskończona cyklicznie, podobnie jak jej pierwsza grupa kohomologii , z wyróżnionym generatorem określonym przez kwadrat wyznacznika macierzy unitarnej , jako odwzorowanie na okrąg jednostkowy . Arnold wykazał, że prowadzi to do opisu indeksu Masłowa , wprowadzonego przez wiceprezesa Masłowa .

dla podrozmaitości Lagrange'a M od V istnieje odwzorowanie

który klasyfikuje jego przestrzeń styczną w każdym punkcie (por. mapa Gaussa ). Indeks Masłowa jest wycofaniem za pośrednictwem tego mapowania, w

wybitnego generatora

.

Indeks Masłowa

Ścieżce symplektomorfizmów symplektycznej przestrzeni wektorowej można przypisać indeks Masłowa , nazwany na cześć VP Masłowa ; będzie to liczba całkowita, jeśli ścieżka jest pętlą, i ogólnie pół-liczba całkowita.

Jeśli ścieżka ta wynika z trywializacji wiązki wektorów symplektycznych na okresowej orbicie pola wektorowego Hamiltona na rozmaitości symplektycznej lub pola wektorowego Reeba na rozmaitości kontaktowej , jest znana jako indeks Conleya-Zehndera. Oblicza przepływ widmowy Cauchy'ego-Riemanna , które powstają w homologii Floera .

Pojawił się pierwotnie w badaniu przybliżenia WKB i często pojawia się w badaniu kwantyzacji , wzorów śladu chaosu kwantowego oraz w geometrii i topologii symplektycznej . Można to opisać jak powyżej za pomocą indeksu Masłowa dla liniowych podrozmaitości Lagrange'a.

  • VI Arnold, Wprowadzanie klas charakterystycznych w warunkach kwantyzacji , Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya, 1967 , 1,1, 1-14, doi : 10.1007/BF01075861 .
  • VP Maslov , Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques . 1972
  • Ranicki, Andrew, Strona główna indeksu Masłowa , zarchiwizowane od oryginału w dniu 01.12.2015 , pobrane 23.10.2009 Różne materiały źródłowe dotyczące indeksu Masłowa.