Reprezentacja na pierścieniach współrzędnych

W matematyce reprezentacja na pierścieniach współrzędnych jest reprezentacją grupy na pierścieniach współrzędnych odmian afinicznych.

Niech X będzie afiniczną rozmaitością algebraiczną nad ciałem algebraicznie domkniętym k charakterystycznego zera z działaniem redukcyjnej grupy algebraicznej G . G $pierścieniu$ współrzędnych jako regularna : g - ${\ Displaystyle (g \ cdot f) (x) = f (g ^ {- 1} x)}$ . To jest reprezentacja G na pierścieniu współrzędnych X .

Najbardziej podstawowym przypadkiem jest sytuacja, w której X jest przestrzenią afiniczną (to znaczy X jest skończenie wymiarową reprezentacją G ), a pierścień współrzędnych jest pierścieniem wielomianowym. Najważniejszym przypadkiem jest sytuacja, gdy X jest rozmaitością symetryczną ; tj. iloraz G przez podgrupę punktu stałego inwolucji.

Rozkład izotypowy

Niech ${\ Displaystyle k [X] _ {(\ lambda)}}$ będzie sumą wszystkich podmodułów G z ${\ Displaystyle k [X]}$ , które są izomorficzne z prostym moduł ${\ Displaystyle V ^ {\ lambda}}$ ; $\ Displaystyle k [X]$ się to $}$ izotypową k [ . Następnie następuje rozkład sumy bezpośredniej:

${\ Displaystyle k [X] = \ bigoplus _ {\ lambda} k [X] _ {(\ lambda)}}$

gdzie suma przebiega przez wszystkie proste moduły G ${\ Displaystyle V ^ {\ lambda}}$ . Istnienie rozkładu wynika na przykład z faktu, że algebra grupowa G jest półprosta, ponieważ G jest redukcyjna.

X nazywa się wolnym od krotności (lub rozmaitością sferyczną ), jeśli każda nieredukowalna reprezentacja G pojawia się co najwyżej raz w pierścieniu współrzędnych; tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} k [X] _ {(\ lambda)} \ równoważnik \ operatorname {dim} V ^ {\ lambda}}$ . Na przykład wolny od krotności $jako$${\ displaystyle G \ razy G}$ -moduł. Dokładniej, biorąc pod uwagę zamkniętą podgrupę H z G , zdefiniuj

${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda}: V ^ {{\ lambda} *} \ otimes (V ^ {\ lambda })^{H}\to k[G/H]_{(\lambda)}}$

$v \ rangle}$${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda} (\ alfa \ otimes v) (gH) = \ langle \ alfa, g \$ cdot , a następnie rozszerzając o liniowość. ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda}}$ Funkcje na obrazie są zwykle nazywane współczynnikami macierzy ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda}}$ . Następnie następuje bezpośredni rozkład sumy -modułów ( N normalizator H ) ${\ displaystyle G \ razy N$ }

${\ Displaystyle k [G / H] = \ bigoplus _ {\ lambda} \ phi _ {\ lambda} (V ^ { {\lambda}*}\otimes (V^{\lambda})^{H})}$ ,

który jest algebraiczną wersją twierdzenia Petera-Weyla (i faktycznie wersja analityczna jest bezpośrednią konsekwencją). Dowód: niech W będzie prostym -submodułami ${\ Displaystyle k [G / H] _ {(\ lambda)}}$${\ Displaystyle G \ razy N}$ . Możemy założyć, że ${\ Displaystyle V ^ {\ lambda} = W}$ . Niech ${\ Displaystyle \ delta _ {1}}$ być liniowym funkcjonałem W takim, że ${\ Displaystyle \ delta _ {1} (w) = w (1)}$ . wtedy ${\ Displaystyle w (gH) = \ phi _ {\ lambda} (\ delta _ {1} \ czasami w) (gH)}$ . Oznacza to, że obraz ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda}}$ zawiera $)}}$$\ lambda$ i przeciwne włączenie zachodzi, ponieważ jest równoważne

Przykłady

• Niech będzie wektorem własnym B $.$ _ $_ }$ . Jest to odmiana pokrewna, zwana przez Vinberga-Popova odmianą wektora o najwyższej masie. Jest wolny od wielości.

Zobacz też

• Reprezentacja algebry

Notatki

•    Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009). Symetria, reprezentacje i niezmienniki (w języku niemieckim). doi : 10.1007/978-0-387-79852-3 . ISBN 978-0-387-79852-3 . OCLC 699068818 .