Młody symetryzator

W matematyce symetryzator Younga jest elementem algebry grupowej grupy symetrycznej , skonstruowanej w taki sposób, że dla homomorfizmu z algebry grupowej do endomorfizmów przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n}}$ uzyskane z działania ${\ Displaystyle S_ {n}}$ na ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n}}$ przez permutację wskaźników obraz endomorfizmu określony przez ten element odpowiada nieredukowalnej reprezentacji grupy symetrycznej na liczbach zespolonych . Podobna konstrukcja działa na dowolnym polu, a powstałe w ten sposób reprezentacje nazywane są modułami Specht . Symmetryzator Younga został nazwany na cześć brytyjskiego matematyka Alfreda Younga .

Definicja

$pod$$\ lambda}$ skończoną grupę symetryczną S _n i określony układ Younga λ odpowiadający ponumerowanej partycji n , rozważ działanie podane przez permutację pól . Zdefiniuj dwie podgrupy permutacji i $_ {\ lambda}$ _n w następujący sposób: P $Displaystyle P$

${\ Displaystyle P _ {\ lambda} = \ {g \ w S_ {n}: g {\ tekst {zachowuje każdy wiersz}} \ lambda \} }$

I

${\ Displaystyle Q_ {\ lambda} = \ {g \ w S_ {n}: g {\ tekst {zachowuje każdą kolumnę}} \ lambda \}.}$

Odpowiadając tym dwóm podgrupom, zdefiniuj dwa wektory w algebrze grupy jako do $n}}$

${\ Displaystyle a _ {\ lambda} = \ suma _ {g \ w P _ {\ lambda}} e_ {g}}$

I

${\ Displaystyle b _ {\ lambda} = \ suma _ {g \ in Q _ {\ lambda}} \ operatorname {sgn} (g) e_ {g}}$

gdzie $\ Displaystyle e_ {g}}$ jest wektorem jednostkowym odpowiadającym g , a ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (g)}$ jest znakiem permutacji. Produkt

${\ Displaystyle c_ {\ lambda}: = a_ {\ lambda} b_ {\ lambda} = \$

jest symetryzatorem Younga odpowiadającym tablicy Younga λ. Każdy symetryzator Younga odpowiada nieredukowalnej reprezentacji grupy symetrycznej, a każdą nieredukowalną reprezentację można uzyskać z odpowiedniego symetryzatora Younga. (Jeśli zastąpimy liczby zespolone bardziej ogólnymi ciałami , odpowiadające im reprezentacje nie będą ogólnie nieredukowalne).

Budowa

Niech V będzie dowolną przestrzenią wektorową nad liczbami zespolonymi . Rozważmy więc przestrzeń wektorową iloczynu tensorowego ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n} = V \ otimes V \ otimes \ cdots \ otimes V}$ ( n razy). Niech S _n działa na tę przestrzeń iloczynu tensorowego przez permutację indeksów. Mamy wtedy naturalną reprezentację grup ${\ Displaystyle \ mathbb {C} S_ {n} \ do \ nazwa operatora {Koniec} (V ^ {\ otimes n})} na$ V $\ Displaystyle V ^ {\ otimes n }}$ .

Biorąc pod uwagę podział λ n , tak że ${\ Displaystyle n = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ cdots + \ lambda _ {j}}$ , to obraz jest za ${\ displaystyle a _ {\ lambda}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {im} (a _ {\ lambda}): = a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes n} \ cong \ nazwa operatora {Sym} ^ {\ lambda _ {1}} V \ otimes \ nazwa operatora {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.}$

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle n = 4}$ i ${\ Displaystyle \ lambda = (2,2)}$ z kanonicznym obrazem Younga ${\ Displaystyle \ {\ {1,2 \}, \ {3,4 \} \}}$ . Wtedy odpowiednie jest podane przez $displaystyle a_ {\ lambda}}$

${\ Displaystyle a_ {\ lambda} = e _ {\ text {id}} + e_ {(1,2)} + e_ {(3,4)} + e_ {(1,2) (3,4)}. }$

Dla dowolnego wektora produktu ${\ Displaystyle v_ {1,2,3,4}: = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes v_ {3} \ otimes v_ {4}}$ z ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes 4}}$ mamy wtedy

${\ Displaystyle a_ {\ lambda} v_ {1,2,3,4} = v_ {1,2,3,4} + v_ {2,1,3,4} + v_ {1,2,4,3 }+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+ v_{4}\czasami v_{3}).}$

$}$ rozpiętość wszystkich Sym $\ operatorname {$${\ Displaystyle V ^ {\ czasami 4}}$ i od rozpiętości ${\ Displaystyle v_ {1,2,3,4}}$ ⊗ za ${\ Displaystyle a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes 4} = \ operatorname {Sym} ^ {2} V \ otimes \ operatorname {Sym$ , gdzie pisaliśmy nieformalnie ${\ Displaystyle a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes 4} \ równoważnik \ operatorname {Im} (a_ {\ lambda} })}$ .

Zauważ również, jak tę konstrukcję można zredukować do konstrukcji dla ${\ displaystyle n = 2}$ . Niech ${\ Displaystyle \ mathbb {1} \ in \ operatorname {Koniec} (V ^ {\ otimes 2})}$ będzie operatorem tożsamości i ${ \displaystyle S\in \operatorname {Koniec} (V^{\otimes 2})}$ operator zamiany zdefiniowany przez $v \ otimes w) = w \ otimes v}$${\ Displaystyle \ mathbb {1} = e _ {\ text {id}}}$ mi i ${\ Displaystyle S = e_ {(1,2)}}$ . Mamy to

${\ Displaystyle e _ {\ tekst {id}} + e_ {(1,2)} = \ mathbb {1} + S}$

dokładniej odwzorowuje na ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (\ mathbb {1} + S)}$

jest projektorem na ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$ . Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {4}} a _ {\ lambda} = {\ Frac {1} {4}} ( e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1}{4 }}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{2}} (\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

który jest projektorem na ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$ .

Obraz ${\ displaystyle b _ {\ lambda}}$ jest

${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (b_ {\ lambda}) \ cong \ bigwedge ^ {\ mu _ {1} }V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V}$

gdzie μ jest sprzężonym podziałem na λ. Tutaj ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {i} V}$ i ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {j} V}$ są symetrycznymi i naprzemiennymi przestrzeniami iloczynu tensorowego .

obraz do $Displaystyle \ mathbb {C} S_ {n} c_ {\ lambda}}$$}}$ z do ${\ Displaystyle c_ {\ lambda} = a_ {\ lambda} \ cdot$$n$ S _{_ {\} w jest nieredukowalną reprezentacją , zwaną Spechta . Piszemy

${\ Displaystyle \ OperatorName {Im} (c _ {\ lambda}) = V_ {\ lambda}}$

za nieredukowalną reprezentację.

Pewna wielokrotność skalarna $c_$ idempotentna, czyli do $\lambda }}$$\ Displaystyle c_ {\ lambda} ^ {2} = \ alfa _ {\ lambda}$ dla pewnej liczby wymiernej ${\ Displaystyle \ alfa _ {\ lambda} \ in \ mathbb {Q}.}$ W szczególności można znaleźć ${\ Displaystyle \ alfa _ {\ lambda} = n! / \ dim V_ {\ lambda}}$ . W szczególności oznacza to, że reprezentacje grupy symetrycznej można zdefiniować na liczbach wymiernych; to znaczy nad wymierną algebrą grup ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} S_ {n}}$ .

Rozważmy na przykład S ₃ i partycję (2,1). Wtedy jeden ma

${\ displaystyle c_ {(2,1)} = e_ {123} + e_ {213} -e_ {321} -e_ {312}.}$

Jeśli V jest złożoną przestrzenią wektorową, to obrazy na przestrzeniach $Displaystyle V ^ {\ otimes d}} zapewniają$${\$ wszystkie skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje (V).

Zobacz też

• Teoria reprezentacji grupy symetrycznej

Notatki

• Williama Fultona. Young Tableaux, z zastosowaniami do teorii reprezentacji i geometrii . Cambridge University Press, 1997.
• Wykład 4     Fultona, Williama ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
• Bruce'a E. Sagana . Grupa symetryczna . Springera, 2001.