Moduł Spechtu

W matematyce moduł Spechta jest jedną z reprezentacji grup symetrycznych badanych przez Wilhelma Spechta ( 1935 ). Są one indeksowane przez partycje, aw charakterystyce 0 moduły Spechta partycji n tworzą pełny zbiór nieredukowalnych reprezentacji grupy symetrycznej w n punktach.

Definicja

Ustal podział λ n i pierścień przemienny k . Podział określa diagram Younga z n ramkami. Tablica Younga o kształcie λ to sposób oznaczania pól tego diagramu Younga różnymi liczbami . ${\ Displaystyle 1, \ kropki, n}$ .

Tabloid to klasa równoważności obrazów Younga, w której dwa oznaczenia są równoważne, jeśli jedno jest uzyskiwane z drugiego przez permutację wpisów w każdym wierszu . Dla każdego Younga tableau T $niech będzie$ kształcie λ . Grupa symetryczna na n punktach działa na zbiorze tablic Younga o kształcie λ. W konsekwencji oddziałuje na tabloidy i na wolny k -moduł V , którego podstawą są tabloidy.

Biorąc pod uwagę tablicę Younga T o kształcie λ, niech

${\ Displaystyle E_ {T} = \ suma _ {\ sigma \ w Q_ {T}} \ epsilon (\ sigma) \ {\ sigma (T)\}\w V}$

gdzie Q _T $jest$ wszystkie kolumny T i znakiem permutacji σ. Moduł Specht partycji λ jest modułem generowanym przez elementy ET _, gdy T przechodzi przez wszystkie obrazy kształtu λ.

Moduł Specht opiera się na elementach ET dla _T standardowego obrazu Younga .

Delikatne wprowadzenie do budowy modułu Specht można znaleźć w rozdziale 1 „Specht Polytopes and Specht Matroids”.

Struktura

Wymiar modułu $Spechta$ to standardowych obrazów Younga $.$ Wyraża się to wzorem na długość haka .

Nad polami o charakterystyce 0 moduły Spechta są nieredukowalne i tworzą pełny zbiór nieredukowalnych reprezentacji grupy symetrycznej.

Podział nazywamy p -regularnym (dla liczby pierwszej p ), jeśli nie ma p części tego samego (dodatniego) rozmiaru. Nad polami o charakterystyce p >0 moduły Spechta mogą być redukowalne. Dla p -regularnych podziałów mają one unikalny nieredukowalny iloraz, a te nieredukowalne ilorazy tworzą pełny zbiór nieredukowalnych reprezentacji.

Zobacz też

• Relacje Garnira , bardziej szczegółowy opis struktury modułów Specht.

• Andersen, Henning Haahr (2001) [1994], „Moduł Specht” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    James, GD (1978), „Rozdział 4: Moduły Specht”, Teoria reprezentacji grup symetrycznych , Lecture Notes in Mathematics, tom. 682, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 13, doi : 10.1007/BFb0067712 , ISBN 978-3-540-08948-3 , MR 0513828
•    Jakub, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), Teoria reprezentacji grupy symetrycznej , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, ISBN 978-0-201-13515-2 , MR 0644144
•   Specht, W. (1935), "Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe", Mathematische Zeitschrift , 39 (1): 696–711, doi : 10.1007/BF01201387 , ISSN 0025-5874