Słowniczek teorii modułów

Teoria modułów jest gałęzią matematyki, w której badane są moduły . Jest to słowniczek niektórych terminów związanych z tematem.

Zobacz też: Słownik algebry liniowej , Słownik teorii pierścieni , Słownik teorii reprezentacji .

A

algebraicznie zwarty: moduł algebraicznie zwarty (zwany też czystym modułem iniekcyjnym ) to moduł, w którym wszystkie układy równań można rozstrzygnąć za pomocą środków skończonych. Alternatywnie, te moduły, które pozostawiają dokładnie dokładną sekwencję po zastosowaniu Hom.
anihilator: 1. Annihilator lewego modułu - ${ \ Displaystyle$ $}$ to zbiór ${\ Displaystyle {\ textrm {Ann}} (M): = \ {r \ w R | rm = 0 \, \ forall m \ w M \}}$ . Jest to (lewy) ideał R ${\ displaystyle R$ .; ${\ Displaystyle {\ textrm {Ann}} (m): = \ {r \ w R | rm = 0 \}}$ Niszczycielem $m$ zbiór .
Artyński: Moduł Artinian to moduł, w którym każdy malejący łańcuch submodułów staje się stacjonarny po skończonej liczbie kroków.
powiązana liczba pierwsza: 1. Powiązana liczba pierwsza .
automorfizm: Automorfizm to endomorfizm , który jest jednocześnie izomorfizmem.
Azumaya: Twierdzenie Azumayi mówi, że dwie dekompozycje na moduły z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu są równoważne.

B

zrównoważona: zrównoważona
podstawa: modułu Podstawą modułu jest zbiór elementów w taki sposób, że każdy element w module może być wyrażony jako skończona suma elementów w bazie w unikalny sposób M { $}$ $M$ . Twierdzenie
Beauville-Laszlo: Beauville-Laszlo
duży: „duży” zwykle oznacza „niekoniecznie generowany w sposób skończony”.
bimoduł: bimoduł

C

moduł kanoniczny: moduł kanoniczny (termin "kanoniczny" pochodzi od canonical divisor ).
kategoria: Kategoria modułów na pierścieniu to kategoria, w której obiektami są wszystkie (powiedzmy) lewe moduły na danym pierścieniu i homomorfizmy modułów morfizmów.
charakter: moduł postaci
łańcuch złożony: łańcuch złożony (często po prostu złożony)
Cohen–Macaulay: Moduł Cohena–Macaulaya .
spójny: Spójny moduł jest skończenie generowanym modułem, którego skończenie generowane submoduły są skończenie przedstawiane .
kokernel: Kokernel homomorfizmu modułu jest ilorazem domeny kodowej przez obraz .
compact: Kompaktowy moduł.
całkowicie redukowalny: Synonim do „ półprostego modułu ”.
ukończenie: Ukończenie modułu .
kompozycja: Jordan Hölder kompozycja
ciągła: ciągła moduł
generowany policzalnie: A moduł generowany przeliczalnie to moduł, który dopuszcza zespół prądotwórczy, którego liczność jest co najwyżej przeliczalna.
cykliczny: Moduł nazywany jest modułem cyklicznym , jeśli jest generowany przez jeden element.

D

D: Moduł D jest modułem w pierścieniu operatorów różniczkowych.
dekompozycja: Dekompozycja modułu jest sposobem wyrażenia modułu jako bezpośredniej sumy podmodułów.
gęsty gęsty
wyznacznik: submodułu; Wyznacznikiem skończonego modułu swobodnego na pierścieniu przemiennym jest r -ta potęga zewnętrzna modułu, gdy r jest rzędem modułu.
różnicowy: Moduł stopniowany różnicowo lub moduł dg to moduł stopniowany z różnicą.
suma bezpośrednia: A bezpośrednia suma modułów to moduł, który jest bezpośrednią sumą podstawowej grupy abelowej wraz ze składowym mnożeniem skalarnym.
podwójny moduł: Podwójny moduł modułu M nad przemiennym pierścieniem R to moduł ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (M, R)}$ .
dualizujący: moduł dualizujący
Drinfeld: Moduł Drinfelda jest modułem na pierścieniu funkcji na krzywej algebraicznej ze współczynnikami ciała skończonego.

mi

Eilenberg-Mazur: Eilenberg-Mazur swindle
elementarny: elementarny dzielnik
endomorfizm: 1. Endomorfizm to homomorfizm modułu od modułu do samego siebie.; 2. Pierścień endomorfizmu jest zbiorem wszystkich homomorfizmów modułowych z dodawaniem jako dodawaniem funkcji i mnożeniem składania funkcji.
wystarczająca: ilość iniekcji; wystarczająca ilość projekcji
niezbędna: Biorąc pod uwagę moduł M , niezbędny podmoduł N z M jest submodułem, w którym każdy niezerowy podmoduł M przecina się w sposób nietrywialny.
dokładnie: dokładna sekwencja .
Funktor Ext: Funktor Ext .
rozszerzenie: Rozszerzenie skalarów wykorzystuje homomorfizm pierścienia od R do S w celu przekształcenia R -modułów w S -moduły.

F

wierny: Wierny moduł to taki, w którym działanie każdego niezerowego $\ Displaystyle$ M $M$ $}$ jest nietrywialne (tj. $rx \ neq 0 }$ dla niektórych w $displaystyle$ $M}$ ). Równoważnie ${\ Displaystyle {\ textrm {Ann}} (M)}$ jest ideałem zera.
skończone: Termin " moduł skończony " to inna nazwa skończenie generowanego modułu .
skończona długość: Moduł o skończonej długości to moduł, który dopuszcza (skończony) szereg kompozycyjny.
skończona prezentacja: 1. Skończona swobodna prezentacja modułu M jest dokładną sekwencją ${\ Displaystyle F_ {1} \ do F_ {0} \ do M}$ gdzie ${\ displaystyle F_ {i}}$ są skończenie generowanymi darmowymi modułami.; 2. Skończenie przedstawiony moduł to moduł, który dopuszcza skończoną prezentację swobodną .
generowany w sposób skończony: $Moduł$ jest generowany w sposób skończony jeśli istnieje skończenie wiele elementów $x_ {1}, ..., x_ {n}}$ $M}$ taki sposób, że każdy element $Displaystyle$ gdzie jest skończoną liniową kombinacją tych elementów ze współczynnikami z pierścienia skalarnego ${\ displaystyle R}$ .
dopasowanie: 1. dopasowanie idealne; 2. Lemat dopasowania
pięć: Lemat pięć .
mieszkanie: ZA ${\ Displaystyle R}$ -moduł ${\ displaystyle F}$ nazywany jest płaskim modułem , jeśli funktor iloczynu tensorowego jest dokładny ${\ Displaystyle - \ otimes _ {R} F}$
. W szczególności każdy moduł rzutowy jest płaski.
wolny: Moduł wolny to moduł, który ma podstawę lub równoważnie taką, która jest izomorficzna z bezpośrednią sumą kopii $pierścienia$ .
Frobenius wzajemność: Frobenius wzajemność .

G

Galois: Moduł Galois to moduł nad pierścieniem grupowym grupy Galois. zespół
generujący: Podzbiór modułu nazywany jest zespołem generującym modułu, jeśli podmoduł generowany przez zestaw (tj. najmniejszy podzbiór zawierający zbiór) jest całym modułem.
globalny: wymiar globalny .
stopniowany: moduł A ${\ Displaystyle M}$ na stopniowanym pierścieniu ${\ Displaystyle A = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}}$ jest $j$ modułem jeśli można jako ${\ Displaystyle A_ {i} M_ {j} \ subseteq M_ {i + j}}$ $M$ .

H

Iloraz Herbranda: Iloraz Herbranda homomorfizmu modułu to inne określenie indeksu.
Hilbert: 1. Twierdzenie syzygy Hilberta; 2. Szereg modułów stopniowanych Hilberta-Poincarégo .; 3. Twierdzenie Hilberta-Serre'a mówi, kiedy szereg Hilberta-Poincarégo jest funkcją wymierną.
wymiar homologiczny: wymiar homologiczny .
homomorfizm: Dla dwóch $-modułów$ ${\ Displaystyle M_ {1}, M_$ $grupowy$ nazywa homomorfizmem R $R }$ -moduły , jeśli ${\ Displaystyle r \ phi (m) = \ phi (rm) \, \ forall r \ w R, m \ w M_{1}}$ .; Funktor .
Hom Hom

I

idempotent

Idempotent to endomorfizm, którego kwadrat jest sobą .

nierozkładalny

Moduł nierozkładalny to moduł niezerowy, który nie może być zapisany jako bezpośrednia suma dwóch niezerowych podmodułów. Każdy prosty moduł jest nierozkładalny (ale nie odwrotnie).

indeks

Indeks endomorfizmu

{\ Displaystyle f: M \ do M}

to różnica

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {długość} (\ nazwa operatora {coker} (f)) - \ nazwa operatora {długość} (\ nazwa operatora {ker} (f))} ,

gdy kokernel i jądro

{\ displaystyle f}

mają skończoną długość.

iniekcyjny

1. ZA

{\ Displaystyle R}

-moduł

Q}

Displaystyle

nazywany jest modułem iniekcyjnym , jeśli podano -moduł homomorfizm

{\ Displaystyle g: X \ do Q

i iniekcyjny homomorfizm modułu -

f

homomorfizm modułu

: X \ do Y

Displaystyle

{\ Displaystyle h: Y \ do Q}

takie, że

{\ Displaystyle f \ circ h = g}

.

Moduł Q jest iniekcyjny, jeśli diagram komutuje

Następujące warunki są równoważne:

Kontrawariantny $_$ _ _ _
${\ displaystyle I}$ jest modułem iniekcyjnym.
Każda krótka sekwencja dokładna ${\ Displaystyle 0 \ do I \ do L \ do L'\ do 0}$ jest podzielona.

2. Koperta iniekcyjna (zwana także powłoką iniekcyjną) jest maksymalnym niezbędnym rozszerzeniem lub minimalnym osadzeniem w module iniekcyjnym.

3. Kogenerator iniekcyjny jest modułem iniekcyjnym takim, że każdy moduł ma w sobie niezerowy homomorfizm.

niezmienniki niezmienniki

odwracalny

Odwracalny

moduł na pierścieniu przemiennym jest modułem rzutowym skończonym rzędu pierwszego.

moduł nieredukowalny

Inna nazwa modułu prostego .

izomorfizm

Izomorfizm między modułami jest odwracalnym homomorfizmem modułów.

J

Twierdzenie o gęstości
Jacobsona

k

Różnice Kahlera: Różnice Kahlera . Twierdzenie
Kaplansky'ego: Kaplansky'ego o module rzutowym mówi, że moduł rzutowy na lokalnym pierścieniu jest swobodny.
jądro: Jądro homomorfizmu modułu jest obrazem wstępnym elementu zerowego.
Kompleks koszulski: Kompleks koszulski .
Twierdzenie Krulla-Schmidta: Twierdzenie Krulla-Schmidta mówi, że (1) moduł o skończonej długości dopuszcza nierozkładalny rozkład i (2) jego dowolne dwa nierozkładalne rozkłady są równoważne.

Ł

długość: Długość modułu jest wspólną długością dowolnej serii kompozycji modułu; długość jest nieskończona, jeśli nie ma szeregu kompozycji. W polu długość jest powszechnie znana jako wymiar .
liniowy: 1. Mapa liniowa to inny termin określający homomorfizm modułu .; 2. Topologia liniowa .
lokalizacja: Lokalizacja modułu konwertuje moduły R na moduły S , gdzie S jest lokalizacją R .

M

Moduł Matlisa

Moduł Matlisa

Twierdzenie Mitchella o

osadzeniu Twierdzenie Mitchella o osadzeniu Moduł

Mittaga-Lefflera

Warunek Mittaga-Lefflera ML)

(

1.

\ Displaystyle R \times M\to M}

moduł nad

pierścieniem

jest abelową

{\ Displaystyle (M, +)}

z

R M (nazywane mnożeniem przez skalar) spełnia następujący warunek:

{\ Displaystyle \ forall r, s \ w R, m, n \ w M}

,

${\ Displaystyle r (m + n) = rm + rn}$
${\ Displaystyle r (sm) = (rs) m}$
${\ Displaystyle 1_ {R} \, m = m}$

2.

{\ Displaystyle M \times R\to M}

moduł nad pierścieniem

to

grupa abelowa

\ Displaystyle (M, +)}

z

operacją spełnia następujący warunek:

{\ Displaystyle \ forall r, s \ w R, m, n \ w M}

,

${\ Displaystyle (m + n) r = mr + nr}$
${\ Displaystyle (ms) r = r (sm)}$
${\ Displaystyle m1_ {R} = m}$

3. Wszystkie moduły razem ze wszystkimi homomorfizmami modułów między nimi tworzą kategorię modułów .

Widmo modułowe

Widmo modułowe to widmo o działaniu widma pierścieniowego.

N

nilpotent: Endomorfizm nilpotentny to endomorfizm, którego pewna moc wynosi zero.
Noetherian: Moduł noetherowski to taki moduł, w którym każdy podmoduł jest generowany w skończonej ilości. Równoważnie, każdy rosnący łańcuch podmodułów staje się nieruchomy po skończonej liczbie kroków.
normalne: postacie normalne dla macierzy

P

doskonały

1. Doskonały kompleks .

2. Doskonały moduł .

główny

Nierozkładalny moduł główny to cykliczny nierozkładalny moduł rzutowy.

podstawowy

Podstawowy submoduł

rzutowy

Cechą charakterystyczną modułów rzutowych jest podnoszenie .

ZA

{\ Displaystyle R}

nazywany

jest modułem rzutowym , jeśli podano homomorfizm modułu

g: P \ do M}

Displaystyle

i za R {\ displaystyle R surjektywny homomorfizm modułu

f: N \ do M}

Displaystyle

, istnieje za

{\ Displaystyle R}

homomorfizm

{\ Displaystyle h: P \ do N}

takie, że

{\ Displaystyle f \ circ h = g}

.

Następujące warunki są równoważne:

Funktor $_$ _ _ _
${\ displaystyle M}$ jest modułem rzutowym.
Każda krótka sekwencja dokładna ${\ Displaystyle 0 \ do L \ do L '\ do P \ do 0}$ jest podzielona.
$jest$ sumą darmowych modułów.

W szczególności każdy wolny moduł jest projekcyjny.

2. Wymiar rzutowy modułu to minimalna długość (jeśli istnieje) skończonej rozdzielczości rzutowej modułu; wymiar jest nieskończony, jeśli nie ma skończonej rozdzielczości rzutowej.

3. Pokrycie rzutowe jest minimalną suriekcją z modułu rzutowego.

czysty submoduł

Czysty submoduł .

Q

Twierdzenie Quillena-Suslina Twierdzenie: Quillena -Suslina stwierdza, że skończony moduł rzutowy na pierścieniu wielomianu jest swobodny.
iloraz: $}$ $uwagę$ lewy $moduł$ i podmoduł $,$ grupę ilorazową przekształcić w ${$ \ $\displaystyle R}$ - moduł przez ${\ Displaystyle r (m + N) = rm + N}$ dla ${\ Displaystyle r \ w R \, m \ w M}$ . Nazywa się to modułem ilorazowym lub modułem czynnikowym .

R

radykalny: Radykał modułu to przecięcie maksymalnych podmodułów. W przypadku modułów artinowskich najmniejszy podmoduł z półprostym ilorazem.
wymierny: wymierny kanoniczny forma
zwrotny: Moduł zwrotny to moduł, który jest izomorficzny poprzez naturalną mapę do swojego drugiego duala.
rozdzielczość: rozdzielczość
ograniczenie: Ograniczenie skalarów wykorzystuje homomorfizm pierścienia od R do S do konwersji S -modułów na R -moduły.

S

Schanuel: Lemat Schanuela
Schur: Lemat Schura mówi, że pierścień endomorficzny prostego modułu jest pierścieniem dzielenia.
Shapiro: Lemat Shapiro
snop modułów: snop modułów .
snake: Lemat Snake cokół
Cokół: jest największym półprostym modułem podrzędnym .
semisimple: Moduł semisimple to bezpośrednia suma modułów prostych.
prosty: Moduł prosty to moduł niezerowy, którego jedynymi podmodułami są zero i on sam.; Postać normalna .
Smitha Smitha
stabilnie wolny: Twierdzenie modułowej stabilnie swobodnej
o strukturze: Twierdzenie o strukturze skończenie generowanych modułów w dziedzinie głównego ideału mówi, że skończenie generowane moduły w PID są skończonymi bezpośrednimi sumami pierwotnych modułów cyklicznych.
podmoduł: Biorąc pod uwagę $M}$ $,$ $\$ z M $displaystyle$ jest podmodułem, jeśli ${\ Displaystyle RN \ podzbiór N}$ .
wsparcie: Wsparcie modułu na pierścieniu przemiennym to zbiór ideałów pierwszych, w których lokalizacje modułu są niezerowe.

T

tensor: Iloczyn tensorowy modułów
topologicznych: Moduł topologiczny
Tor: Funktor Tor .
bezskrętny: Moduł bezskrętny .
bezskrętny: Moduł bezskrętny .

u

uniform: Jednolity moduł to moduł, w którym każde dwa niezerowe podmoduły mają niezerowe przecięcie.

W

słaby: słaby wymiar

Z

zero: 1. Moduł zerowy to moduł składający się wyłącznie z elementu zerowego.; 2. Homomorfizm modułu zerowego to homomorfizm modułu, który odwzorowuje każdy element na zero.

John A. Beachy (1999). Wykłady wprowadzające na temat pierścieni i modułów (wyd. 1). Addison-Wesley . ISBN 0-521-64407-0 .
Golan, Jonathan S.; Głowa, Tom (1991), Moduły i struktura pierścieni , Monografie i podręczniki matematyki czystej i stosowanej, tom. 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0 , MR 1201818
Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
Serge Lang (1993). Algebra (wyd. 3). Addison-Wesley . ISBN 0-201-55540-9 .
Passman, Donald S. (1991), Kurs teorii pierścieni , The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-13776-2 , MR 1096302