Cokół (matematyka)

W matematyce termin cokół ma kilka powiązanych ze sobą znaczeń.

Cokół grupy

W kontekście teorii grup , cokół grupy G , oznaczony jako soc( G ), jest podgrupą utworzoną przez minimalne podgrupy normalne G. Może się zdarzyć, że grupa nie ma minimalnej nietrywialnej normalnej podgrupy (to znaczy każda nietrywialna normalna podgrupa właściwie zawiera inną taką podgrupę) iw takim przypadku cokół jest zdefiniowany jako podgrupa wygenerowana przez tożsamość. Cokół jest bezpośrednim produktem minimalnych normalnych podgrup.

Jako przykład rozważmy grupę cykliczną Z ₁₂ z generatorem u , która ma dwie minimalne podgrupy normalne, jedną wygenerowaną przez u ⁴ (co daje normalną podgrupę z 3 elementami) i drugą przez u ⁶ (co daje normalną podgrupę z 2 elementy). Tak więc cokół Z ₁₂ jest grupą generowaną przez u ⁴ i u ⁶ , która jest właśnie grupą generowaną przez u ² .

Cokół jest charakterystyczną podgrupą , a zatem normalną podgrupą. Niekoniecznie jest to przechodnie normalne .

Jeśli grupa G jest skończoną grupą rozwiązywalną , to cokół można wyrazić jako iloczyn elementarnych abelowych grup p . Zatem w tym przypadku jest to po prostu iloczyn kopii Z / p Z dla różnych p , gdzie to samo p może występować wielokrotnie w iloczynie.

Cokół modułu

W kontekście teorii modułów i teorii pierścieni podstawa modułu M . nad pierścieniem R jest zdefiniowana jako suma minimalnych niezerowych podmodułów M Można to uważać za pojęcie dualne względem pojęcia radykalnego modułu . W notacji zestawu,

{\ Displaystyle \ operatorname {soc} (M) = \ suma _ {N {\ tekst {jest prostym modułem podrzędnym}} M} N.}

równoważnie,

{\ Displaystyle \ operatorname {soc} (M) = \ bigcap _ {E {\ tekst {jest podstawowym modułem podrzędnym}} M} E.}

Cokół pierścienia R może odnosić się do jednego z dwóch zestawów w pierścieniu. Biorąc pod uwagę R jako prawy moduł R , soc( RR ) jest zdefiniowany, a biorąc pod uwagę _R jako lewy moduł R , jest zdefiniowany soc( _RR ) . Oba te cokoły są ideałami pierścieni i wiadomo, że niekoniecznie są sobie równe.

Jeśli M jest modułem artinowskim , soc( M ) samo w sobie jest istotnym podmodułem M.
Moduł jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy soc( M ) = M . Pierścienie, dla których soc( M ) = M dla wszystkich M są właśnie pierścieniami półprostymi .
soc(soc( M )) = soc( M ).
M jest skończenie kogenerowanym modułem wtedy i tylko wtedy, gdy soc( M ) jest skończenie generowany i soc ( M ) jest istotnym podmodułem M .
Ponieważ suma półprostych modułów jest półprosta, cokół modułu można również zdefiniować jako unikalny maksymalny półprosty podmoduł.
Z definicji rad( R ) łatwo zauważyć, że rad( R ) unicestwia soc( R ). Jeśli R jest skończenie wymiarową algebrą jednostkową , a M skończenie generowanym R -modułem, to cokół składa się właśnie z elementów unicestwionych przez rodnik Jacobsona z R .

Cokół algebry Liego

W kontekście algebr Liego cokół symetrycznej algebry Liego jest przestrzenią własną jej automorfizmu strukturalnego , która odpowiada wartości własnej -1. (Symetryczna algebra Liego rozkłada się na bezpośrednią sumę jej cokołu i cokołu ).

Zobacz też

Alperin, JL ; Dzwon, Rowen B. (1995). Grupy i reprezentacje . Springer-Verlag . P. 136 . ISBN 0-387-94526-1 .
Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Pierścienie i kategorie modułów . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1 .
Robinson, Derek JS (1996), Kurs teorii grup , Graduate Texts in Mathematics , tom. 80 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag , s. xviii+499, doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 , ISBN 0-387-94461-3 , MR 1357169