Ortogonalna symetryczna algebra Liego

W matematyce ortogonalna symetryczna $i$$_$ to para składająca z ${\ Displaystyle s}$ rzędu sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ rzędu $\ Displaystyle 2}$ { , że przestrzeń własna u $\ Displaystyle {\ mathfrak {u}}}$ s odpowiadające 1 (tj. zbiór $jest$ stałych ) zwartą podalgebrą . Jeśli pominie się „zwartość”, nazywa się to symetryczną algebrą Liego . $że$ się $,$ ortogonalna symetryczna algebra Liego jest skuteczna jeśli trywialnie przecina środek . W praktyce często zakłada się skuteczność; robimy to również w tym artykule.

$przykładem jest$ Liego przestrzeni symetrycznej , będąca różniczką symetrii.

Niech ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, s)}$ będzie efektywną ortogonalną symetryczną algebrą Lie i niech $}$ -1 przestrzeń własną $\displaystyle s}$$}$ . Mówimy, że ${$ typu zwartego $\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, s)}$ jeśli jest zwarty i półprosty ( . Jeśli $to$ i jeśli rozkładem Cartana, ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, s)}$ jest typu niekompaktowego . Jeśli abelowym ideałem ${\$$Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , to ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, s)}$ jest typu euklidesowego .

Każda efektywna, ortogonalna symetryczna algebra Liego rozkłada się na bezpośrednią sumę ideałów , $_ {-}}$$\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ i $Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {+}}$$\$$displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ każdy niezmiennik pod i ortogonalny w stosunku do formy zabijania sol { i takie że $,$ - ${\ Displaystyle s_ {-}}$ i ${\ Displaystyle s_ {+}}$ oznaczają ograniczenie ${\ Displaystyle s}$ do ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ , ${ \ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {-}}$ i odpowiednio sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {+}}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g }}_{0},s_{0})}$ , ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}} _ {-}, s_ {-})}$ i ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}} _ {+}, s_ {+ })}$ są efektywnymi ortogonalnymi symetrycznymi algebrami Liego typu euklidesowego, zwartego i niezwartego.

•   Helgason, Sigurdur (2001). Geometria różniczkowa, grupy Lie i przestrzenie symetryczne . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-2848-9 .