Lemat Schanuela
W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry zwanej teorią modułów , lemat Schanuela , nazwany na cześć Stephena Schanuela , pozwala porównać, jak daleko moduły odbiegają od bycia rzutowymi . Jest to przydatne przy definiowaniu operatora Hellera w kategorii stabilnych oraz przy podawaniu elementarnych opisów przesunięć wymiarowych .
Oświadczenie
Lemat Schanuela to następujące stwierdzenie:
Jeśli 0 → K → P → M → 0 i 0 → K′ → P′ → M → 0 są krótkimi dokładnymi ciągami R - modułów, a P i P′ są rzutowe, to K ⊕ P′ jest izomorficzne z K′ ⊕ P .
Dowód
Zdefiniuj następujący podmoduł P ⊕ P′ , gdzie φ : P → M i φ ′ : P′ → M :
Mapa π : X → P , gdzie π jest zdefiniowana jako rzut pierwszej współrzędnej X na P , jest suriekcją . Ponieważ φ′ jest surjekcją, dla dowolnego p w P , można znaleźć q w P′ takie, że φ( p ) = φ′ ( q ). Daje to ( p , q ) X z π ( p , q ) = p . Teraz zbadaj jądro mapy π:
Możemy dojść do wniosku, że istnieje krótki ciąg dokładny
Ponieważ P jest rzutowe, ten ciąg dzieli się , więc X ≅ K′ ⊕ P . Podobnie możemy napisać inną mapę π : X → P′ i ten sam argument co powyżej pokazuje, że istnieje inny krótki ciąg dokładny
więc X ≅ P′ ⊕ K . Połączenie dwóch równoważności dla X daje pożądany wynik.
Długie dokładne sekwencje
Powyższy argument można również uogólnić na długie ciągi dokładne .
Pochodzenie
Stephen Schanuel odkrył ten argument na kursie algebry homologicznej Irvinga Kaplansky'ego na Uniwersytecie w Chicago jesienią 1958 roku. Kaplansky pisze:
- Na początku kursu stworzyłem jednoetapową rzutową rozdzielczość modułu i zauważyłem, że jeśli jądro było rzutowe w jednej rozdzielczości, było rzutowe we wszystkich. Dodałem, że chociaż stwierdzenie było tak proste i oczywiste, upłynie trochę czasu, zanim je udowodnimy. Steve Schanuel zabrał głos i powiedział mi oraz klasie, że było to całkiem łatwe, po czym naszkicował to, co stało się znane jako „lemat Schanuela”.