Twierdzenie Kaplansky'ego o modułach rzutowych

W algebrze abstrakcyjnej twierdzenie Kaplansky'ego o modułach rzutowych , po raz pierwszy udowodnione przez Irvinga Kaplansky'ego , stwierdza, że ​​moduł rzutowy na pierścieniu lokalnym jest wolny ; gdzie niekoniecznie przemienny pierścień nazywany jest lokalnym , jeśli dla każdego elementu x , x lub 1 - x jest elementem jednostkowym. Twierdzenie można również sformułować tak, aby scharakteryzować pierścień lokalny ( #Charakterystyka pierścienia lokalnego ).

Dla skończonego modułu rzutowego na przemienny pierścień lokalny twierdzenie to jest łatwą konsekwencją lematu Nakayamy . W przypadku ogólnym dowód (zarówno pierwotny, jak i późniejszy) składa się z dwóch następujących kroków:

• Zauważ, że moduł rzutowy na dowolnym pierścieniu jest bezpośrednią sumą policzalnie generowanych modułów rzutowych.
• Pokaż, że policzalnie generowany moduł rzutowy na lokalnym pierścieniu jest wolny (poprzez „[reminiscencję] dowodu lematu Nakayamy”).

Idea dowodu twierdzenia została później wykorzystana przez Hymana Bassa do wykazania, że ​​duże moduły rzutowe (w pewnych łagodnych warunkach) są wolne. Według ( Anderson & Fuller 1992 ), twierdzenie Kaplansky'ego „jest bardzo prawdopodobne, że jest inspiracją dla większej części wyników” w teorii półdoskonałych pierścieni .

Dowód

Dowód twierdzenia opiera się na dwóch lematach, z których oba dotyczą rozkładów modułów i mają niezależny interes ogólny.

$}$ 1 - Niech oznacza rodzinę modułów, które są bezpośrednimi sumami niektórych policzalnie generowanych podmodułów (tutaj moduły mogą być modułami nad pierścieniem, grupą lub nawet zbiorem endomorfizmów) fa {\ displaystyle {\ mathfrak {F}} . Jeśli jest $sum$$,$ to $w$$.$ bezpośrednich również

Dowód : Niech N będzie sumą bezpośrednią; tj. ${\ Displaystyle M = N \ oplus L}$ . Korzystając z założenia, piszemy gdzie każdy ${\ Displaystyle$$M_$ generowanym . Dla każdego podzbioru piszemy $\ displaystyle A \ podzbiór I}$${\ Displaystyle M_ {A} = \ bigoplus _ {i \ w A} M_ {i}, N_ {A} =}$ obraz ${\ Displaystyle M_ {A}}$ pod rzutem ${\ Displaystyle M \ do N \ hookrightarrow M}$ i ${\ Displaystyle L_ {A}}$ w ten sam sposób. Rozważmy teraz zbiór wszystkich trójek ( ${\ displaystyle J}$ , ${\ displaystyle B}$ , ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle B,$ z podzbioru i podzbiorów $\ podzbiór {\ mathfrak {F}}}$${\ Displaystyle M_ {J} = N_ {J} \ oplus L_ {J}}$ taki, że i ${\ Displaystyle N_ {J}, L_ {J}}$ są bezpośrednimi sumami modułów w ${\ Displaystyle B, C}$ . Dajemy temu zestawowi częściowe uporządkowanie takie, że ${\ Displaystyle (J, B, C) \ równoważnik (J', B', C')}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle J \ podzbiór J '}$ , ${\ Displaystyle B \ podzbiór B ', C \ podzbiór C'}$ . Zgodnie z lematem Zorna zbiór zawiera element maksymalny ${\ Displaystyle (J, B, C)}$ . Pokażemy, że ${\ displaystyle J = I}$ ; tj. ${\ Displaystyle N = N_ {J} = \ bigoplus _ {N '\ w B} N' \ w {\ mathfrak {F}}}$ . Załóżmy inaczej. $} displaystyle I_ {1} \ not \ subset J}$ możemy indukcyjnie skonstruować sekwencję co najwyżej policzalnych podzbiorów , że $\ Displaystyle I_ {1} \ podzbiór I_ {2} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór$ i dla każdej liczby całkowitej ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ,

${\ Displaystyle M_ {I_ {n}} \ podzbiór N_ {I_ {n}} + L_ {I_ {n}} \ podzbiór M_ {I_ { n+1}}}$ .

Niech ${\ Displaystyle I' = \ bigcup _ {0} ^ {\ infty} I_ {n}}$ i ${\ Displaystyle J'= J \ kubek I'}$ . Twierdzimy:

${\ Displaystyle M_ {J'} = N_ {J'} \ oplus L_ {J'}.}$

Inkluzja $trywialna$ . I odwrotnie, jest obrazem $ja$$'} \ podzbiór N_ {J} + M_ {I'}}$${\ Displaystyle N_ {J} + L_ {J}$ i tak ${\ Displaystyle N_ {J'} \ podzbiór M_ {J'}}$ . To samo dotyczy również ${\ displaystyle L_ {J'}}$ . Roszczenie jest zatem zasadne.

Teraz $}$$która$ sumą $($ ponieważ jest to suma , jest sumą $displaystyle$ ); tj. ${\ Displaystyle N_ {J} \ oplus M '= M}$ dla pewnego ${\ Displaystyle M'}$ . Wtedy, zgodnie z prawem modułowym, ${\ Displaystyle N_ {J'} = N_ {J} \ oplus (M '\ czapka N_ {J'})}$ . Ustaw ${\ Displaystyle {\ widetilde {N_ {J}}} = M '\ cap N_ {J'}}$ . Zdefiniuj $.$ ten Następnie, korzystając z wcześniejszego twierdzenia, mamy:

${\ Displaystyle M_ {J'} = M_ {J} \ oplus {\ widetilde {N_ {J}}} \ oplus {\ widetilde {L_ {J} }},}$

co implikuje, że

${\ Displaystyle {\ widetilde {N_ {J}}} \ oplus {\ widetilde {L_ {J}}} \ simeq M_ {J '}/M_{J}\simeq M_{J'-J}}$

jest generowany policzalnie jako ${\ Displaystyle J'-J \ podzbiór I'}$ . Jest to sprzeczne z maksymalizmem ${\ Displaystyle (J, B, C)}$ . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Lemat 2 - Jeśli są policzalnie generowanymi modułami z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu i jeśli $}$ policzalnie generowanym modułem, który jest bezpośrednią sumą $displaystyle M_ {i}, i \$${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja} M_ {i}}$ , wtedy ${\ Displaystyle N}$ jest izomorficzne z ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja'} M_ {i}}$ dla jakiegoś co najwyżej policzalnego podzbioru ${\ displaystyle I'\ podzbiór I}$ .

Dowód : Niech $są$ izomorficzne z modułami postaci ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w F} M_ {i} }$ dla jakiegoś skończonego podzbioru ${\ displaystyle F \ podzbiór I}$ . Twierdzenie jest następnie implikowane przez następujące twierdzenie:

• Biorąc pod $zawiera$ element , istnieje element $i$ x sumą N

Rzeczywiście, załóżmy, że roszczenie jest ważne. $_$ sekwencję w generującym . Następnie używając twierdzenia, napisz $\in {\mathcal {G}}}$ 1 $\$$x_$ . Następnie piszemy ${\ Displaystyle x_ {2} = y + z}$ gdzie ${\ Displaystyle y \ w H_ {1}, z \ w N_ {1}}$ . N ${\ Displaystyle N_ {1} = H_ {2} \ oplus N_ {2}}$ z $\ Displaystyle z \ w H_ {2} \ w { \mathcal {G}}}$ . Uwaga ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2} \} \ podzbiór H_ {1} \ oplus H_ {2}}$ . Powtarzając ten argument, ostatecznie mamy: ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}\subset \bigoplus _{ 0}^{\infty}H_{n}}$ ; tj. ${\ textstyle N = \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} H_ {n}}$ . W związku z tym dowód sprowadza się do udowodnienia twierdzenia, a twierdzenie jest prostą konsekwencją twierdzenia Azumayi (argumentacja znajduje się w połączonym artykule). ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Dowód twierdzenia : $.$ będzie modułem rzutowym na lokalnym pierścieniu $Wtedy$ , z definicji, jest to bezpośrednie podsumowanie jakiegoś wolnego . To jest w rodzinie $\$$displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ w Lemacie 1; fa {\ displaystyle F zatem jest bezpośrednią sumą policzalnie generowanych podmodułów, $z których każdy$ bezpośrednią sumą F , a zatem rzutową. Stąd, bez utraty ogólności, możemy założyć, że ${\ displaystyle N}$ jest generowany w sposób przeliczalny. Następnie Lemat 2 podaje twierdzenie. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Charakterystyka pierścienia lokalnego

Twierdzenie Kaplansky'ego można sformułować w taki sposób, aby uzyskać charakterystykę pierścienia lokalnego. Mówimy, że suma bezpośrednia jest maksymalna , jeśli ma nierozkładalne dopełnienie.

Twierdzenie — Niech R będzie pierścieniem. Następnie następujące są równoważne.

1. R jest pierścieniem lokalnym.
2. Każdy moduł rzutowy na R jest wolny i ma nierozkładalny rozkład taki, że dla każdej maksymalnej sumy bezpośredniej L z M , ${\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}$${\ Displaystyle M = {\ duży (} \ bigoplus _ {j \ w J} M_ {j} {\ duży)} \ bigoplus$ L } podzbiór ${\ Displaystyle J \ podzbiór I}$ .

Implikacja jest dokładnie ( $zwykłą$ ) twierdzeniem Kaplansky'ego i Odwrotność ${\ Displaystyle 2. \ Rightarrow 1.}$ wynika z następującego ogólnego faktu, który sam jest zainteresowany:

• Pierścień R jest lokalny $M$ każdego niezerowego właściwego bezpośredniego sumowania z R $\ Displaystyle R ^ {2} = R \ razy R}$ albo ${\ Displaystyle R ^ {2} = (0 \ razy R) \ oplus M}$ lub ${\ Displaystyle R ^ {2} = (R \ razy 0) \ oplus M}$ .

${\ Displaystyle (\ Strzałka w prawo)}$ wynika z twierdzenia Azumayi, jak w dowodzie ${\ Displaystyle 1. \ Strzałka w prawo 2.}$ . I odwrotnie, załóżmy, że $ma$ dany element x w R. Rozważmy mapę liniową ${\ Displaystyle \ sigma: R ^ {2} \ do R, \, \ sigma (a, b) = a}$ . Ustaw ${\ Displaystyle y = x-1}$ . ${\ Displaystyle \ sigma (x, y) = 1}$ , to znaczy $\ eta: R \ do R ^ {2}, a \ mapsto (ax, ay)}$ → dzieli się, a obraz jest bezpośrednim sumą ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R ^ {2}}$ . Łatwo z tego wynika założenie, że albo x albo -y jest elementem jednostkowym. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zobacz też

• Kategoria Krulla-Schmidta

Notatki

•    Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Graduate Texts in Mathematics , tom. 13 (wyd. 2), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
• H. Bass: Duże moduły projekcyjne są bezpłatne, Illinois J. Math. 7(1963), 24-31.
•    Kaplansky, Irving (1958), „Moduły projekcyjne”, Ann. z matematyki. , 2, 68 (2): 372–377, doi : 10.2307/1970252 , hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR 1970252 , MR 0100017
• Y. Lam, praca Bassa w teorii pierścieni i modułach projekcyjnych [MR 1732042]
•   Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6