Dekompozycja modułu
W algebrze abstrakcyjnej dekompozycja modułu jest sposobem na zapisanie modułu jako bezpośredniej sumy modułów . Typ dekompozycji jest często używany do definiowania lub charakteryzowania modułów: na przykład moduł półprosty to moduł, który ma rozkład na proste moduły . Biorąc pod uwagę pierścień , typy rozkładu modułów na pierścieniu można również wykorzystać do zdefiniowania lub scharakteryzowania pierścienia: pierścień jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy moduł nad nim jest modułem półprostym.
Moduł nierozkładalny to moduł, który nie jest bezpośrednią sumą dwóch niezerowych podmodułów . Twierdzenie Azumayi stwierdza, że jeśli moduł ma rozkład na moduły z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu , to wszystkie rozkłady na moduły nierozkładalne są sobie równoważne; szczególny przypadek tego, zwłaszcza w teorii grup , jest znany jako twierdzenie Krulla – Schmidta .
Szczególnym przypadkiem rozkładu modułu jest rozkład pierścienia: na przykład pierścień jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezpośrednią sumą (w rzeczywistości iloczynem) pierścieni macierzy nad pierścieniami podziału ( ta obserwacja jest znana jako twierdzenie Artina – Wedderburna ).
Idempotenty i dekompozycje
Podanie bezpośredniego rozkładu sumy modułu na podmoduły jest tym samym, co podanie ortogonalnych idempotentów w pierścieniu endomorfizmu modułu, które sumują się do mapy tożsamości . Rzeczywiście, jeśli , to dla każdego liniowego endomorfizmu dany przez naturalną projekcję, po której następuje naturalne włączenie, jest idempotentem . względem siebie ( dla się
jako endomorfizmy (tutaj sumowanie jest dobrze zdefiniowane, ponieważ jest skończoną sumą na każdym elemencie modułu). odwrotnie , każdy zestaw ortogonalnych idempotentów skończenie wiele mi każdego sumy displaystyle być obrazami mi .
Ten fakt już nakłada pewne ograniczenia na możliwy rozkład pierścienia: biorąc pod uwagę pierścień, załóżmy, że istnieje rozkład
R lewy moduł nad sobą, gdzie są tj. lewicowe ideały . endomorfizm można zidentyfikować za prawego R więc gdzie są idempotentami . Sumowanie idempotentnych endomorfizmów odpowiada rozkładowi jedności R : , co jest koniecznie skończoną sumą; w szczególności .
przykład pierścień n macierzy _ _ _ _ _ Wtedy jest bezpośrednią sumą n kopii kolumn; R R { każda kolumna jest prostym lewym podmodułem R lub innymi słowy minimalnym lewym ideałem .
Niech R będzie pierścieniem. Załóżmy, że istnieje (koniecznie skończony) rozkład tego jako lewego modułu nad sobą
na dwustronne ideały } R . Jak wyżej, niektórych ortogonalnych idempotentów , że . Ponieważ ideałem, i tak dla . Wtedy dla każdego i
Oznacza to, że są w środku ; tzn. są centralnymi idempotentami . Oczywiście argument można odwrócić, a więc istnieje zgodność jeden do jednego między bezpośrednim rozkładem sumy na ideały a ortogonalnymi centralnymi idempotentami sumującymi się do jedności 1. Ponadto każdy R ja {\ displaystyle R_ { sam w sobie jest pierścieniem na swoich prawach, jedność dana przez pierścień R iloczynem pierścienia
Na przykład ponownie weź . Ten pierścień jest prostym pierścieniem; w szczególności nie ma nietrywialnego rozkładu na dwustronne ideały.
Rodzaje rozkładu
Istnieje kilka typów rozkładów sum bezpośrednich, które zostały zbadane:
- Semiprosta dekompozycja : bezpośrednia suma prostych modułów.
- Nierozkładalny rozkład : bezpośrednia suma nierozkładalnych modułów.
- Dekompozycja z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu (por. Twierdzenie #Azumayi ): bezpośrednia suma modułów, których pierścienie endomorfizmu są pierścieniami lokalnymi (pierścień jest lokalny, jeśli dla każdego elementu x , albo x albo 1 - x jest jednostką ).
- Dekompozycja szeregowa : bezpośrednia suma modułów uniszeregowych (moduł jest uniszeregowy, jeśli sieć submodułów jest skończonym łańcuchem).
Ponieważ prosty moduł jest nierozkładalny, półprosty rozkład jest nierozkładalnym rozkładem (ale nie odwrotnie). Jeśli pierścień endomorfizmu modułu jest lokalny, to w szczególności nie może mieć nietrywialnego idempotentu: moduł jest nierozkładalny. Zatem rozkład z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu jest rozkładem nierozkładalnym.
Mówimy, że suma bezpośrednia jest maksymalna , jeśli dopuszcza nierozkładalne dopełnienie. Mówi się , że rozkład uzupełnia maksymalne sumy bezpośrednie, jeśli dla każdej maksymalnej sumy bezpośredniej L z M , istnieje podzbiór taki, że
} mówi się, że są jeśli bijekcja taka , że dla każdego , . Jeśli moduł dopuszcza nierozkładalny rozkład uzupełniający maksymalne sumy bezpośrednie, to dowolne dwa nierozkładalne rozkłady modułu są równoważne.
Twierdzenie Azumayi
najprostszej formie twierdzenie Azumayi rozkład , że endomorfizm pierścienia każdego jest lokalny (więc rozkład jest nierozkładalny), każdy nierozkładalny rozkład M jest równoważny temu danemu rozkładowi. Bardziej precyzyjna wersja twierdzenia stwierdza: nadal biorąc pod uwagę taki rozkład, to jeśli M
- jeśli niezerowe, N zawiera nierozkładalną sumę bezpośrednią,
- jeśli jest
- i tak dla pewnego ,
- dla każdego bezpośrednie sumy K. takie jak ja ∈ \ M .
Pierścień endomorfizmu nierozkładalnego modułu o skończonej długości jest lokalny (np. na mocy lematu Fittinga ), a zatem twierdzenie Azumayi ma zastosowanie do układu twierdzenia Krulla – Schmidta . Rzeczywiście, jeśli M jest modułem o skończonej długości, to przez indukcję długości ma skończony nierozkładalny rozkład , która jest dekompozycją z lokalnymi pierścieniami endomorfizmu. Załóżmy teraz, że mamy dany rozkład nierozkładalny . musi być równoważny z pierwszym: więc dla niektórych permutacja z . Dokładniej, ponieważ , dla niektórych . Następnie, ponieważ , tak dalej; tj. uzupełnienia do każdej sumy niektórych 's.
Innym zastosowaniem jest następujące stwierdzenie (które jest kluczowym krokiem w dowodzie twierdzenia Kaplansky'ego o modułach rzutowych ):
- element , istnieje bezpośrednie sumowanie N podzbiór taki, że i .
Aby to zobaczyć, wybierz skończony zbiór , że . Displaystyle , przez twierdzenie Azumayi, z niektórymi bezpośrednimi sumami z , a następnie, zgodnie z prawem modułowym , z . Następnie, ponieważ jest bezpośrednią sumą , możemy napisać a następnie co implikuje, ponieważ F skończony , że przez
W układzie twierdzenia Azumayi, jeśli dodatkowo każdy generowany w sposób policzalny , to następuje następujące udoskonalenie (pierwotnie spowodowane przez Crawleya-Jónssona, a później Warfielda): jest izomorficzne z pewnym podzbiorem J ⊂ ja {\ Displaystyle J \ podzbiór } (W pewnym sensie jest to rozszerzenie twierdzenia Kaplansky'ego i jest udowodnione przez dwa lematy użyte w dowodzie twierdzenia). Według ( Facchini 1998 ) nie wiadomo, czy założenie „ wygenerowane w sposób policzalny” można usunąć; tj. ta udoskonalona wersja jest ogólnie prawdziwa.
Rozkład pierścienia
W przypadku rozkładu pierścienia najbardziej podstawowa, ale wciąż ważna obserwacja, znana jako twierdzenie Artina – Wedderburna , jest następująca: biorąc pod uwagę pierścień R , następujące są równoważne:
- R jest półprostym pierścieniem ; tj. modułem.
- gdzie oznacza pierścień n -na- n macierzy i dodatnich liczb całkowitych określone przez R (ale s nie są określone przez R .
- Każdy lewy moduł nad R jest półprosty.
Aby zobaczyć równoważność dwóch pierwszych, zauważ: jeśli gdzie są nieizomorficznymi lewymi minimalnymi ideałami, a zatem, mając na uwadze, że endomorfizmy działają z prawej strony, ja ja {\ displaystyle I_ {i
każdy można . ( na tym , że rozkład 2. jest równoważny rozkładowi na minimalne lewe ideały = proste lewe podmoduły . iloraz półprostego modułu jest wyraźnie półprosty.
Zobacz też
Notatki
- Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Graduate Texts in Mathematics , tom. 13 (wyd. 2), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
- Frank W. Anderson, Wykłady o pierścieniach nieprzemiennych , University of Oregon, jesień 2002.
- Facchini, Alberto (16 czerwca 1998). Teoria modułów: pierścienie endomorficzne i rozkłady sum bezpośrednich w niektórych klasach modułów . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9 .
- Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , tom. 2 (wyd. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
- Y. Lam, praca Bassa w teorii pierścieni i modułach projekcyjnych [MR 1732042]
- Procesi, Claudio (2007). Grupy kłamstw: podejście poprzez niezmienniki i reprezentacje . Nowy Jork: Springer. ISBN 9780387260402 .
- R. Warfield: Wymiana pierścieni i rozkłady modułów, Math. Annalen 199(1972), 31-36.