Minimalny ideał

W gałęzi algebry abstrakcyjnej , znanej jako teoria pierścieni , minimalny prawy ideał pierścienia R jest niezerowym prawym ideałem , który nie zawiera żadnego innego niezerowego prawego ideału. Podobnie, minimalny lewy ideał to niezerowy lewy ideał R nie zawierający żadnych innych niezerowych lewych ideałów R , a minimalny ideał R to niezerowy ideał nie zawierający żadnego innego niezerowego dwustronnego ideału R ( Izaak 2009 , P. 190).

Innymi słowy, minimalne prawe ideały to minimalne elementy częściowo uporządkowanego zbioru ( poset ) niezerowych prawych ideałów R uporządkowanych przez inkluzję . Ostrzega się czytelnika, że ​​poza tym kontekstem niektóre pozy ideałów mogą dopuszczać ideał zerowy, a więc ideał zerowy może potencjalnie być minimalnym elementem w tym zestawie. Tak jest w przypadku zestawu ideałów pierwszych pierścienia, który może zawierać ideał zerowy jako minimalny ideał pierwszy .

Definicja

Definicja minimalnego prawego ideału N pierścienia R jest równoważna następującym warunkom:

  • N jest niezerowe i jeśli K jest prawym ideałem R z {0} ⊆ K N , to albo K = {0} albo K = N .
  • N jest prostym prawym modułem R. _ _

Minimalne ideały są podwójnym pojęciem maksymalnych ideałów .

Nieruchomości

Wiele standardowych faktów na temat minimalnych ideałów można znaleźć w standardowych tekstach, takich jak ( Anderson i Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) i ( Lam 1999 ).

  • W pierścieniu z jednością zawsze istnieją maksymalne prawe ideały. W przeciwieństwie do tego, minimalne prawe, lewe lub dwustronne ideały w pierścieniu z jednością nie muszą istnieć.
  • Prawy cokół pierścienia strukturą zdefiniowaną .
  • Pierścienie, dla których każdy prawy ideał zawiera minimalny prawy ideał, to dokładnie te pierścienie z zasadniczą prawą podstawą.
  • Każdy prawy pierścień Artinian lub prawy pierścień Kascha ma minimalny prawy ideał.
  • Domeny , które nie są pierścieniami podziału, nie mają minimalnych prawych ideałów.
  • W pierścieniach o jedności minimalne prawe ideały są z konieczności głównymi prawymi ideałami , ponieważ dla każdego niezerowego x w minimalnym prawym idealnym N , zbiór xR jest niezerowym prawym ideałem R wewnątrz N , a więc xR = N .
  • Lemat Brauera: Dowolny prawy minimalny ideał N w pierścieniu R spełnia N 2 = {0} lub N = eR dla pewnego idempotentnego elementu e z R ( Lam 2001 , s. 162).
  • Jeśli N 1 i N 2 są nieizomorficznymi ideałami prawego minimum R , to iloczyn N 1 N 2 jest równy {0}.
  • Jeśli N 1 i N 2 są różnymi minimalnymi ideałami pierścienia R , to N 1 N 2 = {0}.
  • Prosty pierścień z minimalnym prawym ideałem jest półprostym pierścieniem .
  • W pierścieniu półpierwszym istnieje ideał minimalny prawy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ideał minimalny lewostronny ( Lam 2001 , s. 174).

Uogólnienie

Niezerowy podmoduł N prawego modułu M nazywamy minimalnym podmodułem , jeśli nie zawiera żadnych innych niezerowych podmodułów M . Równoważnie, N jest niezerowym podmodułem M , który jest prostym modułem . Można to również rozszerzyć na bimoduły , nazywając niezerowy sub-bimoduł N minimalnym sub-bimodułem M , jeśli N nie zawiera innych niezerowych sub-bimodułów.

   Jeśli przyjmiemy, że moduł M jest właściwym R -modułem R R , to minimalne submoduły są dokładnie minimalnymi ideałami prawymi R . Podobnie minimalne lewe ideały R są dokładnie minimalnymi podmodułami lewego modułu R R . W przypadku ideałów dwustronnych widzimy, że minimalne ideały R są dokładnie minimalnymi sub-bimodułami bimodułu R R R .

Podobnie jak w przypadku pierścieni, nie ma gwarancji, że w module istnieje minimalna liczba podmodułów. Minimalne moduły podrzędne mogą być użyte do zdefiniowania cokołu modułu .

  •    Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Graduate Texts in Mathematics , tom. 13 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. x + 376, ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
  •    Isaacs, I. Martin (2009) [1994], Algebra: kurs podyplomowy , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 100, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2 , MR 2472787
  •    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
  •    Lam, TY (2001), Pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 131 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. xx + 385, ISBN 0-387-95183-0 , MR 1838439

Linki zewnętrzne