Pierścień Kascha

W teorii pierścieni , poddziedzinie algebry abstrakcyjnej , prawy pierścień Kascha jest pierścieniem R , dla którego każdy prosty prawy moduł R jest izomorficzny z prawym ideałem R. Analogicznie zdefiniowano pojęcie lewego pierścienia Kascha , a dwie właściwości są od siebie niezależne.

Pierścienie Kascha zostały nazwane na cześć matematyka Friedricha Kascha. Kasch pierwotnie nazywany pierścieniami Artinian , których właściwe ideały mają niezerowe anihilatory S-ringi . Poniższe charakterystyki pokazują, że pierścienie Kascha uogólniają pierścienie S.

Definicja

Równoważne definicje zostaną wprowadzone tylko dla wersji po prawej stronie, przy założeniu, że odpowiedniki po lewej stronie są również prawdziwe. Warunki Kascha mają kilka równoważnych stwierdzeń wykorzystujących koncepcję anihilatorów , aw tym artykule zastosowano ten sam zapis, który pojawił się w artykule anihilatora.

Oprócz definicji podanej we wstępie, następujące właściwości są równoważnymi definicjami pierścienia R , który ma być prawidłowy Kasch. Pojawiają się one w Lam (1999 , s. 281):

1. Dla każdego prostego prawego modułu R M istnieje niezerowy homomorfizm modułu od M do R .
2. Maksymalne prawe ideały R są prawymi anihilatorami elementów pierścienia, to znaczy każdy ma postać ${\ Displaystyle \ operatorname {r.ann} (x) \,}$ gdzie x jest w R .
3. Dla każdego maksymalnego prawego ideału T z R , ${\ Displaystyle \ operatorname {\ ell .ann} (T) \ neq \ {0 \}}$ .
4. Dla każdego właściwego idealnego T z R , ${\ Displaystyle \ operatorname {\ ell .ann} (T) \ neq \ {0 \}}$ .
5. Dla dowolnego maksymalnego prawego ideału T z R , ${\ Displaystyle \ operatorname {r.ann} (\ operatorname {\ ell .ann} (T)) = T}$ .
6. R nie ma gęstych prawych ideałów z wyjątkiem samego R.

Przykłady

Poniższe treści można znaleźć w źródłach, takich jak Faith (1999 , s. 109), Lam (1999 , §§8C,19B), Nicholson & Yousif (2003 , s.51).

• Niech R będzie półpierwszorzędowym pierścieniem z rodnikiem Jacobsona J . Jeśli R jest przemienne lub jeśli R / J jest prostym pierścieniem , to R jest prawym (i lewym) Kaschem. W szczególności przemienne pierścienie Artina to prawy i lewy Kasch.
• W przypadku pierścienia podziału k rozważ pewien podpierścień R pierścienia macierzy cztery na cztery z wpisami z k . Podpierścień R składa się z macierzy o postaci:

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end {bmatrix}}} To jest prawy i lewy pierścień Artyna, który jest prawy Kasch,$

ale nie opuścił Kasz.

• Niech S będzie pierścieniem szeregu potęgowego na dwóch niekomutujących zmiennych X i Y o współczynnikach z ciała F . Niech ideał A będzie ideałem generowanym przez dwa elementy YX i Y ² . Pierścień ilorazowy S / A jest lokalnym pierścieniem , który jest prawy Kasch, ale nie lewy Kasch.
• Załóżmy, że R jest iloczynem bezpośrednim pierścienia nieskończenie wielu niezerowych pierścieni oznaczonych _jako Ak . Bezpośrednia suma Ak tworzy _właściwy ideał R . Łatwo sprawdzić, że lewy i prawy anihilator tego ideału są równe zeru, a więc R nie jest ani prawym, ani lewym Kaschem.
• Górny (lub dolny) trójkątny pierścień matrycy dwa na dwa nie jest prawym ani lewym Kaschem.
• Pierścień z prawą $podstawą$ ( ) , ponieważ pierścień nie minimalne prawe ideały . Na przykład domeny , które nie są pierścieniami podziału, nie są prawymi ani lewymi Kaschami.

•    Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of XX-wiecznej algebry asocjacyjnej , Mathematical Surveys and Monographs, tom. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, s. xxxiv+422, ISBN 978-0-8218-0993-8 , MR 1657671
•    Kasch, Friedrich (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen" , Math. Ann. (w języku niemieckim), 127 : 453–474, doi : 10.1007/bf01361137 , ISSN 0025-5831 , MR 0062724
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
•    Morita, Kiiti (1966), „O pierścieniach S w sensie F. Kascha”, Nagoya Math. J. , 27 (2): 687–695, doi : 10.1017/S0027763000026477 , ISSN 0027-7630 , MR 0199230
•    Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), pierścienie Quasi-Frobeniusa , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 158, Cambridge: Cambridge University Press, s. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 978-0-521-81593-2 , MR 2003785