Gęsty submoduł

W algebrze abstrakcyjnej , szczególnie w teorii modułów , gęsty podmoduł modułu jest udoskonaleniem pojęcia podstawowego podmodułu . Jeśli N jest gęstym podmodułem M , alternatywnie można powiedzieć, że „ N ⊆ M jest wymiernym rozszerzeniem ”. Gęste submoduły są połączone z pierścieniami ilorazów w nieprzemiennej teorii pierścieni. Większość pojawiających się tutaj wyników została po raz pierwszy ustalona w ( Johnson 1951 ), ( Utumi 1956 ) i ( Findlay & Lambek 1958 ).

Należy zauważyć, że ta terminologia różni się od pojęcia gęstego podzbioru w topologii ogólnej . Do zdefiniowania submodułu gęstego nie jest potrzebna żadna topologia, a submoduł gęsty może, ale nie musi, być gęsty topologicznie w module z topologią.

Definicja

Artykuł ten modyfikuje ekspozycję zamieszczoną w ( Storrer 1972 ) i ( Lam 1999 , s. 272). Niech R będzie pierścieniem, a M będzie prawym modułem R z submodułem N . Dla elementu y z M zdefiniuj

{\ Displaystyle y ^ {- 1} N = \ {r \ w R \ połowie roku \ w N \} \,}

Zauważ, że wyrażenie y ⁻¹ jest tylko formalne, ponieważ nie ma sensu mówić, że element modułowy y jest odwracalny , ale notacja pomaga zasugerować, że y ⋅( y ⁻¹ N ) ⊆ N . Zbiór y ⁻¹ N jest zawsze ideałem prawym R .

submoduł N z M jest gęstym submodułem , jeśli dla wszystkich x i y w M z x ≠ 0 istnieje r w R takie , że xr ≠ {0} i yr jest w N . Innymi słowy, używając wprowadzonej notacji, zbiór

{\ Displaystyle x (y ^ {- 1} N) \ neq \ {0 \} \,}

W tym przypadku związek jest oznaczony przez

{\ Displaystyle N \ subseteq _ {d} M \,}

Inna równoważna definicja ma charakter homologiczny : N jest gęsty w M wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M / N, E (M)) = \ {0 \} \,}

gdzie E ( M ) jest iniekcyjnym kadłubem M .

Nieruchomości

Można wykazać, że N jest istotnym submodułem M wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich y ≠ 0 w M , zbiór y ⋅( y ⁻¹ N ) ≠ {0}. Jest więc jasne, że każdy gęsty submoduł jest niezbędnym submodułem.
Jeśli M jest modułem innym niż osobliwy , to N jest gęsty w M wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezbędny w M.
Pierścień jest prawym niepojedynczym pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego podstawowe prawe ideały są gęstymi prawymi ideałami.
Jeśli N i N' są gęstymi podmodułami M , to N ∩ N' również .
Jeśli N jest gęsty i N ⊆ K ⊆ M , to K również jest gęsty.
Jeśli B jest gęstym ideałem prawostronnym w R , to także y ^-1 B dla dowolnego y w R .

Przykłady

Jeśli x jest niezerowym dzielnikiem w środku R , to xR jest gęstym prawostronnym ideałem R .
Jeśli I jest dwustronnym ideałem R , I jest gęsty jak prawy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy lewy anihilator I wynosi zero, to znaczy $\ Displaystyle \ ell \ cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,}$ { . W szczególności w pierścieniach przemiennych gęste ideały są właśnie ideałami, które są wiernymi modułami .

Aplikacje

Racjonalny kadłub modułu

Każdy prawy moduł R M ma maksymalne rozszerzenie esencjalne E ( M ) , które jest jego iniekcyjnym kadłubem . Analogiczna konstrukcja z maksymalnym zagęszczeniem skutkuje racjonalnym kadłubem Ẽ ( M ), który jest podmodułem E ( M ). Gdy moduł nie ma właściwego wymiernego rozszerzenia, tak że Ẽ ( M ) = M , mówi się, że moduł jest racjonalnie zupełny . Jeśli R nie jest liczbą pojedynczą, to oczywiście Ẽ ( M ) = E ( M ).

Racjonalny kadłub jest łatwo identyfikowany w kadłubie iniekcyjnym. Niech S =End _R ( E ( M )) będzie pierścieniem endomorficznym łuski iniekcyjnej. Wtedy element x kadłuba iniekcyjnego jest w kadłubie wymiernym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest wysyłane do zera przez wszystkie odwzorowania w S , które są zerowe na M . w symbolach,

{\ Displaystyle {\ tylda {E}} (M) = \ {x \ in E(M)\mid \forall f\in S,f(M)=0\implikuje f(x)=0\}\,}

Ogólnie rzecz biorąc, mogą istnieć odwzorowania w S , które są zerowe na M , a mimo to są niezerowe dla pewnego x nie w M , a takie x nie byłoby w wymiernym kadłubie.

Maksymalny prawy pierścień ilorazów

Maksymalny prawy pierścień ilorazów można opisać na dwa sposoby w powiązaniu z gęstymi prawicowymi ideałami R .

W jednej metodzie pokazano, że Ẽ ( R ) jest modułem izomorficznym z pewnym pierścieniem endomorficznym, a struktura pierścienia jest brana pod uwagę przez ten izomorfizm, aby nasycić Ẽ ( R ) strukturą pierścieniową, strukturą maksymalnego prawego pierścienia ilorazów. ( Lam 1999 , s. 366)
W drugiej metodzie maksymalny prawy pierścień ilorazów jest utożsamiany ze zbiorem klas równoważności homomorfizmów z gęstych prawych ideałów R do R . Relacja równoważności mówi, że dwie funkcje są równoważne, jeśli zgadzają się co do gęstego prawego ideału R . ( Lam 1999 , s. 370)

Findlay, GD; Lambek, J. (1958), „Uogólniony pierścień ilorazów. I, II”, Canadian Mathematical Bulletin , 1 (2): 77–85, 155–167, doi : 10.4153 / CMB-1958-009-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0094370
Johnson, RE (1951), „Rozszerzony centralizator pierścienia nad modułem”, Proceedings of the American Mathematical Society , 2 (6): 891–895, doi : 10.1090 / s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN 0002-9939 , MR 0045695
Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, tom. 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
Storrer, Hans H. (1972), „O pierwotnym rozkładzie Goldmana”, Wykłady o pierścieniach i modułach (Tulane Univ. Ring and Operator Theory) , Notatki z wykładów z matematyki , Berlin: Springer, I (1970–1971): 617–661 , doi : 10.1007/bfb0059571 , ISBN 978-3-540-05760-4 , MR 0360717
Utumi, Yuzo (1956), „O pierścieniach ilorazowych”, Osaka Mathematical Journal , 8 : 1–18, doi : 10.18910/8001 , MR 0078966