Pojedynczy moduł podrzędny

W gałęziach algebry abstrakcyjnej, znanych jako teoria pierścieni i teoria modułów , każdy prawy (odpowiednio lewy) R - moduł M ma osobliwy submoduł składający się z elementów, których anihilatorami są zasadnicze prawe (odpowiednio lewe) ideały w R . W notacji zbiorczej jest to zwykle oznaczane jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (M) = \ {m \ w M \ mid \ operatorname {ann} (m) \ subseteq _ {e} R \} \,}$ . W przypadku pierścieni ogólnych jest dobrym uogólnieniem submodułu skrętnego tors ( M $),$ jest najczęściej . W przypadku, gdy R jest dziedziną przemienną, ${\ Displaystyle \ operatorname {tors} (M) = {\ mathcal {Z}} (M)}$ .

Jeśli R jest dowolnym pierścieniem, $) {\$ , biorąc pod uwagę $Displaystyle { \mathcal {Z}}(R_{R})}$ prawy moduł, iw tym przypadku jest dwustronnym ideałem R zwanym prawym ideałem osobliwym R . Leworęczny analog ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (_ {R} R)}$ definiuje się podobnie. ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (R_ {R}) \ neq {\ mathcal {Z}} (_ {R} R)$ ≠ .

Definicje

Oto kilka definicji używanych podczas badania pojedynczych podmodułów i pojedynczych ideałów. Poniżej M jest modułem R :

• M nazywa się pojedynczym modułem , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (M) = M \,}$ .
• M nazywa się modułem niepojedynczym , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (M) = \ {0 \} \,}$ .
• R nazywa się prawym niepojedynczym , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (R_ {R}) = \ {0 \} \,}$ . Lewy nieosobliwy pierścień jest definiowany podobnie, przy użyciu lewego ideału liczby pojedynczej, i jest całkowicie możliwe, że pierścień jest prawy, ale nie lewy, nieosobliwy.

W pierścieniach z jednością zawsze jest tak, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (R_ {R}) \ subsetneq R \,}$ , a więc „prawy pierścień liczby pojedynczej” zwykle nie jest zdefiniowane w taki sam sposób, jak pojedyncze moduły. Niektórzy autorzy używali „pierścienia liczby pojedynczej” w znaczeniu „ma niezerowy ideał liczby pojedynczej”, jednak użycie to nie jest zgodne z użyciem przymiotników określających moduły.

Nieruchomości

Niektóre ogólne właściwości pojedynczego podmodułu obejmują:

• ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (M) \ cdot \ operatorname {soc} (M) = \ {0 \} \,}$ gdzie $(M) \,}$ soc } oznacza cokół M.
• Jeśli f jest homomorfizmem modułów R od M do N , to ${\ Displaystyle f ({\ mathcal {Z}} (M)} \ subseteq {\ mathcal {Z }}(N)\,}$ .
• Jeśli N jest modułem podrzędnym M , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (N) = N \ cap {\ mathcal {Z}} (M) \,}$ .
• Właściwości „pojedyncze” i „niepojedyncze” są niezmiennymi właściwościami Mority .
• Pojedyncze ideały pierścienia zawierają centralne nilpotentne elementy pierścienia. W konsekwencji ideał osobliwy pierścienia przemiennego zawiera nilrodnik pierścienia.
• Ogólną właściwością submodułu skrętnego jest to, że ${\ Displaystyle t (M / t (M)) = \ {0 \} \,} ,$ ale niekoniecznie dotyczy to pojedynczy submoduł. Jednakże, jeśli R jest prawym niepojedynczym pierścieniem, to ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (M / {\ mathcal {Z}} (M)) = \ { 0\}\,}$ .
• Jeśli N jest podstawowym modułem podrzędnym M (oba prawe moduły), to M / N jest liczbą pojedynczą. Jeśli M jest wolnym modułem lub jeśli R jest prawy nieosobliwy, to odwrotność jest prawdziwa.
• Moduł półprosty jest nieosobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy jest modułem rzutowym .
• Jeśli R jest prawym pierścieniem samowstrzykującym , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (R_ {R}) = J (R) \,}$ , gdzie J ( R ) jest rodnikiem Jacobsona R .

Przykłady

Prawe nieosobliwe pierścienie to bardzo szeroka klasa, obejmująca pierścienie zredukowane , prawe (pół)dziedziczne pierścienie , regularne pierścienie von Neumanna , domeny , półproste pierścienie , pierścienie Baera i prawe pierścienie Rickarta .

W przypadku pierścieni przemiennych brak liczby pojedynczej jest równoznaczny z byciem pierścieniem zredukowanym.

Ważne twierdzenia

Twierdzenie Johnsona (za RE Johnsonem ( Lam 1999 , s. 376)) zawiera kilka ważnych odpowiedników. Dla dowolnego pierścienia R następujące są równoważne:

1. R nie jest liczbą pojedynczą.
2. Kadłub iniekcyjny E( R _R ) jest nieosobliwym prawym modułem R.
3. $_$ endomorfizmu _ _ _ ${\ Displaystyle J (S) = \ {0 \} \,}$ ).
4. Maksymalny prawy $_$ _

Prawa nieosobliwość ma również silną interakcję z prawymi samoiniekcyjnymi pierścieniami.

Twierdzenie: Jeśli R jest prawym samoiniekcyjnym pierścieniem, to następujące warunki na R są równoważne: prawy niepojedynczy, regularny von Neumanna, prawy półdziedziczny, prawy Rickart, Baer, ​​półprymitywny. ( Lam 1999 , s. 262)

Artykuł ( Zelmanowitz 1983 ) użył modułów nieosobliwych do scharakteryzowania klasy pierścieni, których maksymalny prawy pierścień ilorazów ma określoną strukturę.

$jest$ : Jeśli R pierścieniem, to prawym pierścieniem liniowym wtedy i tylko wtedy, nieosobliwy wierny jednolity moduł . Co $R$ , bezpośrednim iloczynem pełnych pierścieni liniowych wtedy ma nieosobliwy, wierny moduł o skończonym jednolitym wymiarze .

Podręczniki

•   Goodearl, KR (1976), Teoria pierścieni: Niepojedyncze pierścienie i moduły , Pure and Applied Mathematics, nr 33, Nowy Jork: Marcel Dekker Inc., s. VIII + 206, MR 0429962
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0 -387-98428-5 , MR 1653294

Podstawowe źródła

•    Zelmanowitz, JM (1983), „Struktura pierścieni z wiernymi modułami niepojedynczymi”, przeł. Amer. Matematyka soc. , 278 (1): 347–359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN 0002-9947 , MR 0697079