Prymitywny pierścień

W gałęzi algebry abstrakcyjnej zwanej teorią pierścieni lewy prymitywny pierścień to pierścień , który ma wierny prosty lewy moduł . Dobrze znane przykłady obejmują pierścienie endomorfizmu przestrzeni wektorowych i algebry Weyla nad polami charakterystycznego zera .

Definicja

O pierścieniu R mówi się, że jest lewostronnym pierścieniem pierwotnym , jeśli ma wierny prosty lewy moduł R. Prawy prymitywny pierścień jest definiowany podobnie z prawymi modułami R. Istnieją pierścienie, które z jednej strony są prymitywne, a z drugiej nie. Pierwszy przykład został skonstruowany przez George'a M. Bergmana w ( Bergman 1964 ). Inny przykład znaleziony przez Jategaonkara pokazujący to rozróżnienie można znaleźć w Rowen (1988 , s. 159).

Wewnętrzna charakterystyka lewych pierścieni pierwotnych jest następująca: pierścień jest pozostawiony pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje maksymalny lewy ideał zawierający niezerowe ideały dwustronne . Obowiązuje również analogiczna definicja prawych pierścieni pierwotnych.

Struktura lewych pierścieni pierwotnych jest całkowicie określona przez twierdzenie Jacobsona o gęstości : Pierścień jest pozostawiony pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzny z gęstym podpierścieniem pierścienia endomorfizmów lewej przestrzeni wektorowej nad pierścieniem podziału .

Inna równoważna definicja mówi, że pierścień jest lewostronny wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierścieniem pierwszym z wiernym lewym modułem o skończonej długości ( Lam 2001 , Ex. 11.19, s. 191 ).

Nieruchomości

Pierścienie prymitywne jednostronne są zarówno pierścieniami półprymitywnymi , jak i pierścieniami pierwszymi . Ponieważ iloczyn pierścienia dwóch lub więcej niezerowych pierścieni nie jest liczbą pierwszą, jasne jest, że iloczyn pierwotnych pierścieni nigdy nie jest prymitywny.

Wiadomo, że dla lewego pierścienia Artina warunki „lewy prymityw”, „prawy prymityw”, „liczba pierwsza” i „ prosty ” są równoważne iw tym przypadku jest to półprosty pierścień izomorficzny z pierścieniem macierzy kwadratowej nad pierścień podziału. Mówiąc bardziej ogólnie, w każdym pierścieniu z minimalnym jednostronnym ideałem „lewy prymityw” = „prawy prymityw” = „pierwszy”.

Pierścień przemienny jest pozostawiony pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy jest polem .

Pozostawanie prymitywne jest niezmienną właściwością Mority .

Przykłady

Każdy prosty pierścień R z jednością jest zarówno lewy, jak i prawy prymitywny. (Jednak prosty niejednostkowy pierścień może nie być prymitywny.) Wynika to z faktu, że R ma maksymalny lewostronny ideał M , oraz z faktu, że moduł ilorazowy R / M jest prostym lewostronnym modułem R i że jego annihilator jest właściwym dwustronnym ideałem w R . Ponieważ R jest prostym pierścieniem, tym anihilatorem jest {0}, a zatem R / M jest wierną lewicą moduł R.

Algebry Weyla na ciałach charakterystycznych zero są prymitywne, a ponieważ są dziedzinami , są przykładami bez minimalnych ideałów jednostronnych.

Pełne pierścienie liniowe

Szczególnym przypadkiem pierścieni prymitywnych są pełne pierścienie liniowe . Lewy pełny pierścień liniowy to pierścień wszystkich przekształceń liniowych nieskończenie wymiarowej lewej przestrzeni wektorowej nad pierścieniem podziału. ( $V$ pełny pierścień liniowy różni że zamiast tego używa prawej przestrzeni wektorowej ) gdzie przestrzeń wektorowa nad pierścieniem podziału D . Wiadomo, że R jest lewym pełnym liniowym pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy R jest regularny von Neumanna , lewy samowstrzykujący z cokołem soc( _R R ) ≠ {0}. Za pomocą $jest$ liniowej można wykazać pierścieniem macierzy ${\ Displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D) \,}$ , gdzie I jest zbiorem indeksów, którego rozmiar jest wymiarem V nad D . Podobnie prawe pełne pierścienie liniowe mogą być zrealizowane jako skończone macierze kolumnowe nad D .

Korzystając z tego, możemy zobaczyć, że istnieją pierścienie prymitywne nieproste lewostronne. Zgodnie z charakterystyką gęstości Jacobsona lewy pełny pierścień liniowy R jest zawsze lewy prymitywnie. Kiedy słabe _D V jest skończone , R jest kwadratowym pierścieniem macierzowym nad D , ale kiedy słabe _D V jest nieskończone, zbiór przekształceń liniowych skończonego rzędu jest właściwym dwustronnym ideałem R , a zatem R nie jest proste.

Zobacz też

prymitywny ideał

Bergman, GM (1964), „pierścień prymitywny po prawej, ale nie po lewej”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society , 15 (3): 473–475, doi : 10.1090 / S0002-9939-1964 -0167497-4 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2034527 , MR 0167497 str. 1000 błędów
Goodearl, KR (1991), regularne pierścienie von Neumanna (wyd. 2), Malabar, Floryda: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., s. xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X , MR 1150975
Lam, Tsi-Yuen (2001), pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , teksty absolwentów matematyki, tom. 131 (wyd. 2), Springer, ISBN 9781441986160 , MR 1838439
Rowen, Louis H. (1988), Teoria pierścieni. Tom. I , Czysta i stosowana matematyka, tom. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., s. XXIV + 538, ISBN 0-12-599841-4 , MR 0940245