Pierwszy pierścień

R W algebrze abstrakcyjnej niezerowy pierścień R jest pierścieniem pierwszym , jeśli dla dowolnych dwóch elementów a i b R , arb = = 0 for all r in R implies that either a = 0 or b = 0. This definition can be regarded as a simultaneous generalization of both integral domains and simple rings.

Chociaż w tym artykule omówiono powyższą definicję, pierścień pierwszy może również odnosić się do minimalnego niezerowego podpierścienia pola , które jest generowane przez jego element tożsamości 1 i określone przez jego charakterystykę . Dla charakterystycznego pola 0 pierścieniem pierwszym są liczby całkowite , a dla charakterystycznego pola p (przy czym p jest liczbą pierwszą ) pierścieniem pierwszym jest ciało skończone rzędu p (por. Pole pierwsze ).

Równoważne definicje

Pierścień R jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy {0} jest ideałem pierwszym w sensie nieprzemiennie .

W takim przypadku równoważne warunki dla ideałów pierwszych dają następujące równoważne warunki, aby R było pierścieniem pierwszym:

• Dla dowolnych dwóch ideałów A i B z R , AB = {0} implikuje A = {0} lub B = {0}.
• Dla dowolnych dwóch właściwych ideałów A i B z R , AB = {0} implikuje A = {0} lub B = {0}.
• Dla dowolnych dwóch lewych ideałów A i B z R , AB = {0} implikuje A = {0} lub B = {0}.

Stosując te warunki można sprawdzić, czy poniższe warunki są równoważne R będącemu pierścieniem pierwszym:

• Wszystkie niezerowe ideały prawe są wierne jako prawe moduły R.
• Wszystkie niezerowe lewe ideały są wierne jako lewe moduły R.

Przykłady

• Każda domena jest głównym pierścieniem.
• Każdy prosty pierścień jest pierścieniem pierwszym i bardziej ogólnie: każdy lewy lub prawy pierścień pierwotny jest pierścieniem pierwszym.
• Dowolny pierścień matrycy w domenie całkowej jest pierścieniem pierwszym. W szczególności pierścień macierzy całkowitych 2 × 2 jest pierścieniem pierwszym.

Nieruchomości

• Pierścień przemienny jest pierścieniem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy jest dziedziną całkową .
• Pierścień jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jego ideał zerowy jest ideałem pierwszym .
• Niezerowy pierścień jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy monoid jego ideałów nie ma dzielników zera .
• Pierścień macierzy nad pierścieniem pierwszym jest ponownie pierścieniem pierwszym.

Notatki

•    Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncomutative Rings (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0 , MR 1838439