Moduł zrównoważony

W poddziedzinie algebry abstrakcyjnej znanej jako teoria modułów , prawy moduł R M nazywany jest zrównoważonym modułem (lub mówi się, że ma właściwość podwójnego centralizatora ), jeśli każdy endomorfizm grupy abelowej M , który dojeżdża ze wszystkimi R -endomorfizmami M , jest dany przez pomnożenie przez element pierścienia. Jawnie, dla dowolnego endomorfizmu addytywnego f , jeśli fg = gf dla każdego endomorfizmu R g , to istnieje r w R takie, że f ( x ) = xr dla wszystkich x w M . W przypadku modułów niezrównoważonych będzie takie f , które nie jest wyrażalne w ten sposób.

W języku centralizatorów moduł zrównoważony to taki, który spełnia wniosek twierdzenia o podwójnym centralizatorze , to znaczy jedynymi endomorfizmami grupy M dojeżdżającymi do pracy ze wszystkimi endomorfizmami R z M są te, które są indukowane przez prawe mnożenie przez elementy pierścienia.

Pierścień nazywamy zrównoważonym , jeśli każdy prawy moduł R jest zrównoważony. Okazuje się, że wyważenie jest warunkiem symetryczności lewa-prawa na pierścieniach, więc nie ma potrzeby poprzedzania go przedrostkiem „lewo” lub „prawo”.

Badanie zrównoważonych modułów i pierścieni jest następstwem badań pierścieni QF-1 przeprowadzonych przez CJ Nesbitta i RM Thralla . Badanie to było kontynuowane w rozprawie VP Camillo, a później zostało w pełni rozwinięte. Artykuł ( Dlab & Ringel 1972 ) przedstawia szczególnie szeroki pogląd z wieloma przykładami. Oprócz tych odniesień K. Morita i H. Tachikawa dostarczyli również opublikowane i niepublikowane wyniki. Częściową listę autorów wnoszących wkład w teorię zrównoważonych modułów i pierścieni można znaleźć w piśmiennictwie.

Przykłady i właściwości

Przykłady

• Pierścienie półproste są zrównoważone.
• Każdy niezerowy prawy ideał na prostym pierścieniu jest zrównoważony.
• Każdy wierny moduł na quasi-pierścieniu Frobeniusa jest zrównoważony.
• Twierdzenie o podwójnym centralizatorze dla prawych pierścieni Artina stwierdza, że ​​​​każdy prosty prawy moduł R jest zrównoważony.
• Artykuł ( Dlab & Ringel 1972 ) zawiera liczne konstrukcje modułów niezbalansowanych.
• Nesbitt i Thrall 1946 ) ustalono , że pierścienie jednoszeregowe są zrównoważone. I odwrotnie, zrównoważony pierścień, który jest generowany w sposób skończony jako moduł nad jego środkiem , jest uniszeregowy.
• Wśród przemiennych pierścieni Artina, zrównoważone pierścienie są dokładnie quasi-pierścieniami Frobeniusa .

Nieruchomości

• Bycie „zrównoważonym” jest kategoryczną właściwością modułów, to znaczy jest zachowane przez równoważność Mority . Wyraźnie, jeśli F (–) jest równoważnością Mority z kategorii modułów R do kategorii modułów S i jeśli M jest zrównoważony, to F ( M ) jest zrównoważony.
• Struktura zrównoważonych pierścieni jest również całkowicie określona w ( Dlab i Ringel 1972 ), a nakreślona w ( Faith 1999 , s. 222–224).
• Biorąc pod uwagę ostatni punkt, właściwość bycia zrównoważonym pierścieniem jest niezmienną właściwością Mority.
• na pytanie, które pierścienie mają wszystkie skończenie wygenerowane prawe moduły R , została już udzielona. Warunek ten okazuje się być równoważny z równowagą pierścienia R.

Notatki

•    Camillo, Victor P. (1970), „Zrównoważone pierścienie i problem niewolnika”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 149 : 143–153, doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0260794-0 , ISSN 0002-9947 , MR 0260794

•   Bourbaki, Nicolas (1973), Algébre, Ch. 8: Modules et Anneaux Semi-Simples , s. 50, ISBN 978-2-7056-1261-0

•    Camillo, wiceprezes; Fuller, KR (1972), „Algebry zrównoważone i QF-1”, Proc. Amer. Matematyka soc. , 34 (2): 373–378, doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0306256-0 , ISSN 0002-9939 , MR 0306256

•    Cunningham, RS; Rutter, EA, Jr. (1972), „Właściwość podwójnego centralizatora jest kategoryczna”, Rocky Mountain J. Math. , 2 (4): 627–629, doi : 10.1216/rmj-1972-2-4-627 , ISSN 0035-7596 , MR 0310017

•    Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972), „Pierścienie z właściwością podwójnego centralizatora” , J. Algebra , 22 (3): 480–501, doi : 10.1016/0021-8693 (72) 90163-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0306258

•    Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of XX-wiecznej algebry asocjacyjnej , Mathematical Surveys and Monographs, tom. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, s. xxxiv + 422, ISBN 0-8218-0993-8 , MR 1657671
•    Lam, TY (2001), Pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 131 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0 , MR 1838439
•     Nesbitt, CJ; Thrall, RM (1946), „Niektóre twierdzenia o pierścieniach z zastosowaniami do reprezentacji modułowych”, Ann. z matematyki. , 2, 47 (3): 551–567, doi : 10.2307/1969092 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969092 , MR 0016760