Pierścień quasi-Frobeniusa

W matematyce, zwłaszcza w teorii pierścieni , klasa pierścieni Frobeniusa i ich uogólnienia są rozszerzeniem prac wykonanych nad algebrami Frobeniusa . Być może najważniejszym uogólnieniem są pierścienie quasi-Frobeniusa (pierścienie QF), które z kolei są uogólniane przez prawe pierścienie pseudo-Frobeniusa (pierścienie PF) i prawe skończenie pseudo-pierścienie Frobeniusa (pierścienie FPF). Inne różnorodne uogólnienia pierścieni quasi-Frobeniusa obejmują pierścienie QF-1 , QF-2 i QF-3 .

Te typy pierścieni można postrzegać jako potomków algebr badanych przez Georga Frobeniusa . Częściowa lista pionierów w quasi-pierścieniach Frobeniusa obejmuje R. Brauera , K. Moritę , T. Nakayamę , CJ Nesbitta i RM Thralla .

Definicje

Pierścień R jest quasi-Frobeniusem wtedy i tylko wtedy, gdy R spełnia którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

1. R jest noetherowskie z jednej strony i samowstrzykujące się z jednej strony.
2. R jest z jednej strony artinianem , az drugiej samowstrzykiwaniem.
3. Wszystkie prawe (lub wszystkie lewe) moduły R , które są rzutowe , są również iniekcyjne .
4. Wszystkie prawe (lub wszystkie lewe) moduły R , które są iniekcyjne, są również rzutowe.

Pierścień Frobeniusa R to taki, który spełnia którykolwiek z poniższych równoważnych warunków. Niech J =J( R ) będzie rodnikiem Jacobsona R .

1. R jest quasi-Frobeniusem, a cokół ${\ Displaystyle \ operatorname {soc} (R_ {R}) \ cong R / J}$ jako prawe moduły R.
2. R jest quasi-Frobeniusem i ${\ Displaystyle \ operatorname {soc} (_ ​​{R} R} \ cong R / J}$ jak lewe moduły R.
3. Jak prawe moduły R ${\ Displaystyle \ operatorname {soc} (R_ {R}) \ cong R/J}$ i jak lewe moduły R ${\ Displaystyle \ operatorname {soc} (_ ​​{R} R) \ cong R / J}$ .

Dla pierścienia przemiennego R następujące są równoważne:

1. R to Frobenius
2. R jest quasi-Frobeniusem
3. R jest skończoną bezpośrednią sumą lokalnych pierścieni artyńskich, które mają unikalne ideały minimalne . (Takie pierścienie są przykładami „zerowych lokalnych pierścieni Gorensteina ”.)

Pierścień R jest prawym pseudo-Frobeniusem, jeśli spełniony jest którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

1. Każdy wierny właściwy moduł R jest generatorem kategorii właściwych modułów R.
2. R jest prawostronnym samowtryskiem i jest kogeneratorem Mod- R .
3. R jest właściwym samowtryskiem i jest skończenie kogenerowany jako prawy moduł R.
4. R jest prawym samowtryskiem i prawym pierścieniem Kascha .
5. R jest prawym samoiniekcyjnym, semilokalnym , a cokół soc( R _R ) jest podstawowym modułem podrzędnym R .
6. R jest kogeneratorem Mod- R i jest lewym pierścieniem Kascha.

Pierścień R jest skończenie poprawny pseudo-Frobenius wtedy i tylko wtedy, gdy każdy skończenie wygenerowany wierny prawy moduł R jest generatorem Mod- R .

Uogólnienia QF-1,2,3 Thralla

W przełomowym artykule ( Thrall 1948 ) RM Thrall skupił się na trzech specyficznych właściwościach (skończenie wymiarowych) algebr QF i zbadał je w izolacji. Przy dodatkowych założeniach definicje te można również wykorzystać do uogólnienia pierścieni QF. Kilku innych matematyków, którzy byli pionierami tych uogólnień, to K. Morita i H. Tachikawa.

Idąc dalej ( Anderson & Fuller 1992 ), niech R będzie lewym lub prawym pierścieniem Artina:

• R to QF-1, jeśli wszystkie wierne lewe moduły i wierne prawe moduły są modułami zrównoważonymi .
• R jest QF-2, jeśli każdy nierozkładalny prawy moduł rzutowy i każdy nierozkładalny lewy moduł rzutowy ma unikalny minimalny podmoduł. (Tj. mają proste cokoły.)
• R to QF-3, jeśli kadłuby iniekcyjne E( RR ) i E( _{RR ) są} modułami rzutowymi.

Schemat numeracji niekoniecznie określa hierarchię. W bardziej luźnych warunkach te trzy klasy pierścieni mogą się nie zawierać. przy założeniu, że R jest lewym lub prawym Artinianem, pierścienie QF-2 to QF-3. Istnieje nawet przykład pierścienia QF-1 i QF-3, który nie jest QF-2.

Przykłady

• Każda k algebra Frobeniusa jest pierścieniem Frobeniusa.
• Każdy półprosty pierścień jest quasi-Frobeniusem, ponieważ wszystkie moduły są rzutowe i iniekcyjne. Prawdą jest jednak jeszcze więcej: wszystkie półproste pierścienie to Frobenius. Można to łatwo zweryfikować na podstawie definicji, ponieważ dla półprostych pierścieni ${\ Displaystyle \ operatorname {soc} (R_ {R}) = \ operatorname {soc} ( _{R}R)=R}$ i J = rad( R ) = 0.
• Pierścień ilorazowy $n$ QF dla dowolnej dodatniej 1 .
• przemienne szeregowe pierścienie artinowskie są Frobeniusem iw rzeczywistości mają dodatkową właściwość, że każdy pierścień ilorazowy R / I jest również Frobeniusem. Okazuje się, że wśród przemiennych pierścieni Artina pierścienie szeregowe to dokładnie te pierścienie, których (niezerowe) ilorazy są wszystkie Frobeniusem.
• Wiele egzotycznych pierścieni PF i FPF można znaleźć jako przykłady w Faith & Page (1984)

Zobacz też

• Quasi-Frobenius algebra Liego

Notatki

Definicje QF, PF i FPF są łatwo postrzegane jako właściwości kategoryczne, więc są one zachowywane przez równoważność Mority , jednak bycie pierścieniem Frobeniusa nie jest zachowane.

W przypadku jednostronnych pierścieni noetherowskich warunki lewego lub prawego PF pokrywają się z QF, ale pierścienie FPF są nadal różne.

Skończenie-wymiarowa algebra R na ciele k jest k -algebrą Frobeniusa wtedy i tylko wtedy, gdy R jest pierścieniem Frobeniusa.

Pierścienie QF mają tę właściwość, że wszystkie ich moduły mogą być osadzone w wolnym module R. Można to zobaczyć w następujący sposób. Moduł M osadza się w swoim iniekcyjnym kadłubie E ( M ), który jest teraz również rzutowy. Jako moduł rzutowy E ( M ) jest sumą wolnego modułu F , więc E ( M ) osadza się w F z mapą inkluzji. Komponując te dwie mapy, M jest osadzone w F .

Podręczniki

•   Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
•    Wiara, Karol; Page, Stanley (1984), FPF Ring Theory: Faithful module and generators of Mod-$ R$ , London Mathematical Society Lecture Note Series nr 88, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511721250 , ISBN 0-521-27738-8 , MR 0754181
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0 -387-98428-5 , MR 1653294
•   Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), pierścienie Quasi-Frobeniusa , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81593-2

Dla pierścieni QF-1, QF-2, QF-3:

•   Morita, Kiiti (1958), „O algebrach, dla których każda wierna reprezentacja jest swoim własnym drugim komutatorem”, Math. Z. , 69 : 429–434, doi : 10.1007/bf01187420 , ISSN 0025-5874
•   Ringel, Mikołaj Michael; Tachikawa, Hiroyuki (1974), "${\rm QF}-3$ pierścienie", J. Reine Angew. Matematyka , 272 : 49–72, ISSN 0075-4102
•   Thrall, RM (1948), „Pewne uogólnienie algebr quasi-Frobeniusa”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 64 : 173–183, doi : 10.1090/s0002-9947-1948-0026048-0 , ISSN 0002-9947