Pierścień półlokalny

Aby zapoznać się ze starszym znaczeniem pierścienia noetherowskiego z topologią zdefiniowaną przez ideał w rodniku Jacobsona, patrz pierścień Zariski .

W matematyce pierścień półlokalny to pierścień , dla którego R /J( R ) jest pierścieniem półprostym , gdzie J( R ) jest rodnikiem Jacobsona R. ( Lam 2001 , s. §20) ( Mikhalev & Pilz 2002 , s. C.7)

Powyższa definicja jest spełniona, jeśli R ma skończoną liczbę maksymalnych prawych ideałów (i skończoną liczbę maksymalnych lewych ideałów). Kiedy R jest pierścieniem przemiennym , odwrotna implikacja jest również prawdziwa, dlatego często przyjmuje się, że definicja półlokalnego dla pierścieni przemiennych to „mający skończenie wiele ideałów maksymalnych ”.

Część literatury odnosi się ogólnie do przemiennego pierścienia półlokalnego jako pierścienia quasi-semi-lokalnego , używając pierścienia półlokalnego w odniesieniu do pierścienia noetherowskiego ze skończoną liczbą ideałów maksymalnych.

Pierścień półlokalny jest zatem bardziej ogólny niż pierścień lokalny , który ma tylko jeden ideał maksymalny (prawo/lewo/dwustronny).

Przykłady

• Każdy prawy lub lewy pierścień artyński , każdy pierścień seryjny i każdy półdoskonały pierścień jest półlokalny.
• Iloraz $_$ _ $jest$ szczególności, jeśli $,$ to pierścieniem lokalnym
• $_$ pól _
• W przypadku pierścieni przemiennych z jednością przykład ten jest prototypowy w następującym sensie: chińskie twierdzenie o resztach pokazuje, że dla półlokalnego pierścienia przemiennego R z ideałami jednostkowymi i maksymalnymi m ₁ , ..., m _n

${\ Displaystyle R / \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ cong \ bigoplus _ {i = 1} ^{n}R/m_{i}\,}$ .

(Mapa jest naturalnym odwzorowaniem). Prawa strona to bezpośrednia suma pól. Tutaj zauważamy, że ∩ _i m _i = J( R ) i widzimy, że R /J( R ) rzeczywiście jest pierścieniem półprostym.

• Klasyczny pierścień ilorazów dla dowolnego przemiennego pierścienia noetherowskiego jest pierścieniem semilokalnym.
• Pierścień endomorfizmu modułu artinowskiego jest pierścieniem semilokalnym.
• Półlokalne pierścienie występują na przykład w geometrii algebraicznej , gdy (przemienny) pierścień R jest zlokalizowany względem multiplikatywnie domkniętego podzbioru S = ∩ (R \ p _i ) , gdzie pi _to skończenie wiele ideałów pierwszych .

Podręczniki

•    Lam, TY (2001), „7”, Pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 131 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. xx + 385, ISBN 0-387-95183-0 , MR 1838439
•    Michałow, Aleksander V.; Pilz, Günter F., wyd. (2002), Zwięzły podręcznik algebry , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4 , MR 1966155