Stan rudy

Aby zapoznać się z warunkiem Ore'a w teorii grafów, zobacz Twierdzenie Ore'a .

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry zwanej teorią pierścieni , warunek rudy jest warunkiem wprowadzonym przez Øysteina Ore'a w związku z zagadnieniem wychodzenia poza pierścienie przemienne konstrukcji ciała ułamków , lub bardziej ogólnie lokalizacji pierścienia . Właściwym warunkiem rudy dla multiplikatywnego podzbioru S pierścienia R jest warunek dla a ∈ R i s ∈ S , przecięcie aS ∩ sR ≠ ∅ . Dziedzina (nieprzemienna) , dla której zbiór niezerowych elementów spełnia prawy warunek rudy, nazywana jest prawą dziedziną rudy . Lewy przypadek jest zdefiniowany podobnie.

Główny pomysł

Celem jest skonstruowanie prawego pierścienia ułamków R [ S −1 ] względem multiplikatywnego podzbioru S . Innymi słowy, chcemy pracować z elementami formy jako −1 i mieć strukturę pierścieniową na zbiorze R [ S −1 ]. Problem polega na tym, że nie ma oczywistej interpretacji iloczynu ( as −1 )( bt −1 ); rzeczywiście, potrzebujemy metody, aby „przesunąć” s −1 poza b . Oznacza to, że musimy być w stanie przepisać s −1 b jako iloczyn b 1 s 1 −1 . Załóżmy, że s −1 b = b 1 s 1 −1 to mnożąc po lewej stronie przez s i po prawej przez s 1 , otrzymujemy bs 1 = sb 1 . Stąd widzimy konieczność, dla danego a i s , istnienia 1 i s 1 gdzie s 1 ≠ 0 i takie, że jak 1 = sa 1 .

Aplikacja

Ponieważ dobrze wiadomo, że każda dziedzina całkowa jest podpierścieniem ciała ułamków (poprzez osadzenie) w taki sposób, że każdy element ma postać rs −1 z s niezerowym, naturalne jest pytanie, czy ta sama konstrukcja może weź dziedzinę nieprzemienną i powiąż pierścień podziału (pole nieprzemienne) z tą samą właściwością. Okazuje się, że czasami odpowiedź brzmi „nie”, to znaczy istnieją domeny, które nie mają analogicznego „prawego pierścienia podziału ułamków”.

Dla każdej właściwej dziedziny Rudy R istnieje unikalny (z dokładnością do naturalnego izomorfizmu R ) pierścień podziału D zawierający R jako podpierścień taki, że każdy element D ma postać rs −1 dla r w R i s niezerowe w R . Taki pierścień podziału D nazywamy pierścieniem właściwych ułamków R , a R nazywamy właściwym rzędem w D . Pojęcie pierścienia lewych ułamków i lewego rzędu definiuje się analogicznie, przy czym elementy D mają postać s −1 r .

Należy pamiętać, że definicja R będącego właściwym porządkiem w D zawiera warunek, że D musi składać się w całości z elementów postaci rs −1 . Każda dziedzina spełniająca jeden z warunków Rudy może być uznana za podpierścień pierścienia podziału, jednak nie oznacza to automatycznie, że R jest lewym porządkiem w D , ponieważ możliwe jest, że D ma element, który nie ma postaci s −1 r . Jest więc możliwe, że R być prawą, a nie lewą domeną Rudy. Intuicyjnie warunek, że wszystkie elementy D mają postać rs −1 mówi, że R jest „dużym” podmodułem R z D . W rzeczywistości warunek zapewnia, że ​​R R jest podstawowym modułem podrzędnym D R . Wreszcie, istnieje nawet przykład domeny w pierścieniu podziału, która nie spełnia żadnego z warunków rudy (patrz przykłady poniżej).

Innym naturalnym pytaniem jest: „Kiedy podpierścień pierścienia podziału jest prawidłowy Ore?” Jedną z charakterystyk jest to, że podpierścień R pierścienia podziału D jest prawą domeną rudy wtedy i tylko wtedy, gdy D jest płaskim lewym modułem R ( Lam 2007 , przykład 10.20).

Inna, silniejsza wersja warunków rudy jest zwykle podawana dla przypadku, gdy R nie jest dziedziną, a mianowicie, że powinna istnieć wspólna wielokrotność

c = au = bv

gdzie u , v nie są dzielnikami zera . W tym przypadku twierdzenie Ore'a gwarantuje istnienie pierścienia zwanego (prawym lub lewym) klasycznym pierścieniem ilorazów .

Przykłady

rudy , ponieważ dla niezerowych a i b ab jest niezerowe w aR ∩ bR . Prawe noetherowskie , takie jak prawe główne domeny idealne , są również znane jako właściwe domeny rudy. Jeszcze bardziej ogólnie, Alfred Goldie udowodnił, że dziedzina R jest właściwa Ore wtedy i tylko wtedy, gdy R R ma skończony jednolity wymiar . Prawdą jest również, że właściwe domeny Bézout to właściwe Ore.

Subdomena pierścienia podziału, który nie jest prawy ani lewy Ruda: Jeśli F jest dowolnym polem i jest wolnym monoidem na dwóch symbolach sol x i y , to pierścień monoidalny nie spełnia żadnego warunku Rudy, ale jest idealnym a zatem rzeczywiście podpierścieniem pierścienia podziału, przez 1995 , Kor 4.5.9).

Zestawy multiplikatywne

Warunek rudy można uogólnić na inne podzbiory multiplikatywne i jest on przedstawiony w formie podręcznikowej w ( Lam 1999 , §10) i ( Lam 2007 , §10). Podzbiór S pierścienia R nazywamy zbiorem prawostronnym , jeśli spełnia trzy warunki dla każdego a , b w R oraz s , t w S :

  1. o. w S ; (Zbiór S jest multiplikatywnie domknięty ).
  2. aS ∩ sR nie jest pusty; (Zbiór S jest prawostronnie permutowalny ).
  3. Jeśli sa = 0 , to w S jest trochę u z au = 0 ; (Zbiór S jest prawostronny ).

Jeśli S jest zbiorem prawych mianowników, to można skonstruować pierścień ułamków prostych RS −1 podobnie jak w przypadku przemienności. Jeśli S jest zbiorem regularnych elementów (te elementy a w R takie, że jeśli b w R jest niezerowe, to ab i ba są niezerowe), to właściwy warunek Ore jest po prostu wymaganiem, aby S był właściwym zbiorem mianowników .

W tym bardziej ogólnym ustawieniu zachodzi wiele właściwości lokalizacji przemiennej. Jeśli S jest prawym mianownikiem ustawionym dla pierścienia R , to lewy R -moduł RS -1 jest płaski . Ponadto, jeśli M jest prawym modułem R , to skręcanie S , tor S ( M ) = { m w M : ms = 0 dla pewnego s w S }, jest R -submoduł izomorficzny z Tor 1 ( M , RS −1 ) , a moduł M ⊗ R RS −1 jest naturalnie izomorficzny z modułem MS −1 składającym się z „ułamków” jak w przypadku przemiennym.

Notatki

  1. ^ Cohn PM (1991). „Rozdział 9.1”. Algebra . Tom. 3 (wyd. 2). P. 351.
  2. ^ Artin, Michael (1999). „Pierścienie nieprzemienne” (PDF) . P. 13 . Źródło 9 maja 2012 r .

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ore_condition&oldid=1068351796 ”