Quasi-Frobenius algebra Liego

W matematyce quasi -algebra Liego Frobeniusa

{\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, [\, \, \,, \, \, \,], \ beta)}

nad polem jest algebrą Liego. ${\ displaystyle k}$

{\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, [\, \, \, \, \, \,])}

wyposażony w niezdegenerowaną dwuliniową postać skośno-symetryczną

{\ Displaystyle \ beta: {\ mathfrak {g}} \ razy {\ mathfrak {g}} \ do k}

, co jest 2-kocyklem algebry Liego

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

z wartościami w

{\ displaystyle k}

. Innymi słowy,

{\ Displaystyle \ beta \ lewo (\ lewo [X, Y \ prawo], Z \ prawo) + \ beta \ lewo (\ lewo [Z, X \ prawo], Y \ prawo) +\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0}

dla wszystkich ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle Y}$ , ${\ Displaystyle Z}$ w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Jeśli ${\ mathfrak {g}} \ to k}$ $sol$ → k

{\ Displaystyle \ beta (X, Y) = f (\ lewo [X, Y \ prawo]),}

Następnie

{\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, [\, \, \,, \, \, \,], \ beta)}

nazywamy algebrą Liego Frobeniusa .

Równoważność z algebrami pre-Lie z niezdegenerowaną niezmienną dwuliniową postacią skośno-symetryczną

Jeśli ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, [\, \, \,, \, \, \,], \ beta)} jest$ quasi-algebrą Liego Frobeniusa, można zdefiniować inny iloczyn dwuliniowy ${\ displaystyle {\ mathfrak$ pomocą wzoru ${g}}}$

{\ Displaystyle \ beta \ lewo (\ lewo [X, Y \ prawo], Z \ prawo) = \ beta \ lewo (Z \ trójkąt w lewo Y,X\prawo)}

.

Wtedy mamy ${\ Displaystyle \ lewo [X, Y \ prawej] = X \ lewy trójkąt YY \ lewy trójkąt X}$ i

{\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, \ lewy trójkąt)}

jest algebrą pre-Lie .

Zobacz też

Jacobson, Nathan, algebry Liego , Republika oryginału z 1962 roku. Dover Publications, Inc., Nowy Jork, 1979. ISBN 0-486-63832-4
Vyjayanthi Chari i Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .