Kłamstwo węglowe

W matematyce koalgebra Liego jest strukturą dualną algebry Liego .

W skończonych wymiarach są to obiekty podwójne: podwójna przestrzeń wektorowa algebry Liego ma naturalnie strukturę kogebry Liego i odwrotnie.

Definicja

Niech E będzie przestrzenią wektorową nad polem k wyposażonym $E$ od do E z . _ Możliwe jest rozszerzenie d jednoznacznie na stopniowane wyprowadzenie (oznacza to, że dla dowolnego a , b ∈ E które są elementami jednorodnymi , $\ deg a} a \ klin (db)}$$\ Displaystyle d (a \ klin b) = (da) \ klin b + (-1) ^$ { ) stopnia 1 na zewnętrznej algebrze E :

${\ Displaystyle d \ dwukropek \ bigwedge ^ {\ punktor} E \ rightarrow \ bigwedge ^ {\ punktor + 1} E.}$

Wtedy mówi się, że para ( mi , d ) jest koalgebrą Liego, jeśli d ² = 0, tj. jeśli stopniowane składowe algebry zewnętrznej z wyprowadzeniem ${\ textstyle (\ bigwedge ^ {*} E,d)}$ tworzą kompleks kołańcuchowy :

${\ Displaystyle E \ \ xrightarrow {d} \ E \ klin E \ \ xrightarrow {d} \ \ bigwedge ^ {3} E \ xrightarrow {d} \ \ kropki }$

Stosunek do kompleksu de Rham

Tak jak algebra zewnętrzna (i algebra tensorowa) pól wektorowych na rozmaitości tworzą algebrę Liego (nad polem bazowym K ), tak kompleks de Rham form różniczkowych na rozmaitości tworzy koalgebrę Liego (nad polem podstawowym K ). Ponadto istnieje parowanie między polami wektorowymi a formami różniczkowymi.

$)$ liniowy w algebrze funkcji gładkich ( jest pochodną Liego , ani zewnątrz pochodna : ${\ Displaystyle d (fg) = (df) g + f (dg) \ neq f (dg)}$ (jest to wyprowadzenie, a nie liniowe funkcje): nie są tensorami . Nie są liniowe względem funkcji, ale zachowują się w spójny sposób, czego nie można uchwycić po prostu przez pojęcie algebry Liego i węgla Liego.

$również$ wyprowadzenie jest zdefiniowane nie tylko dla ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M) \ do \ Omega ^ {1} (M)}$ zdefiniowane dla .

Algebra Liego na liczbie podwójnej

Struktura algebry Liego w przestrzeni wektorowej jest mapą ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ razy {\ mathfrak {g}} \to {\mathfrak {g}}}$ , który jest skośno-symetryczny i spełnia tożsamość Jacobiego. Równoważnie mapa ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ klin {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g }}}$ który spełnia tożsamość Jacobiego .

$d$${\ Displaystyle \ tau \ circ d = -d}$ w przestrzeni wektorowej jest liniową, spełnia , gdzie jest kanonicznym odwróceniem $E \ otimes E \ do E \ otimes E$$Displaystyle$ ) i spełnia tzw. warunek kocyklu (znany również jako reguła ko-Leibniza )

${\ Displaystyle \ lewo (d \ otimes \ operatorname {id} \ prawej) \circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \ po prawej)\circ d}$ .

$\do E\klin E}$ warunek antysymetrii mapa $}$ również zapisana jako mapa $d \$ .

Liczba podwójna nawiasu Liego algebry Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ mapę (kokomutator) sol

${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] ^ {*} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ do ({\mathfrak {g}}\klin {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\klin {\mathfrak {g}}^{*}}$

gdzie izomorfizm $wymiarze$ ; dualnie dla dualnego kommultiplikacji Lie . W tym kontekście tożsamość Jacobiego odpowiada warunkowi kocyklu.

Mówiąc dokładniej, niech E będzie koalgebrą Liego nad polem o charakterystyce ani 2 , ani 3 . Przestrzeń dualna E ^* ma strukturę nawiasu zdefiniowanego przez

α([ x , y ]) = re α( x ∧ y ), dla wszystkich α ∈ mi i x , y ∈ mi ^* .

Pokazujemy, że daje to E ^* nawias Liego. Wystarczy sprawdzić tożsamość Jacobiego . Dla dowolnych x , y , z ∈ E ^* i α ∈ E ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d ^ {2} \ alfa (x \ klin y \ klin z) i = {\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\klin y\klin z+y\klin z\klin x+z\klin x\klin y)\\&={\frac { 1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\klin z)+d\alpha ([y,z]\klin x)+d\alpha ([z,x]\klin y) \right),\end{wyrównane}}}$

gdzie ten ostatni krok wynika ze standardowej identyfikacji iloczynu dualnego lub klinowego z iloczynem klinowym dualnych. Wreszcie to daje

${\ Displaystyle d ^ {2} \ alfa (x \ klin y \ klin z) = {\ Frac {1} {3}} \ lewo (\ alfa ([[x, y], z]) + \ alfa ( [[y,z],x])+\alfa ([[z,x],y])\prawo).}$

Ponieważ d2 ⁼ 0, wynika z tego

${\ Displaystyle \ alfa ([[x, y], z] + [ [y,z],x]+[[z,x],y])=0}$ dla dowolnych α, x , y i z .

Zatem przez izomorfizm podwójnej dualności (a dokładniej przez monomorfizm podwójnej dualności, ponieważ przestrzeń wektorowa nie musi być skończona wymiarowo), tożsamość Jacobiego jest spełniona.

W szczególności zauważmy, że ten dowód pokazuje, że warunek kocyklu d ² = 0 jest w pewnym sensie dualny względem tożsamości Jacobiego.

•    Michaelis, Walter (1980), „Kłamstwo węgla”, Postępy w matematyce , 38 (1): 1–54, doi : 10.1016/0001-8708 (80) 90056-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0594993