Lie bialgebra

W matematyce bialgebra Liego jest teoretycznym przypadkiem bialgebry Liego : jest to zbiór z algebrą Liego i strukturą węgla Liego , które są kompatybilne.

Jest to bialgebra , w której mnożenie jest skośno-symetryczne i spełnia podwójną tożsamość Jacobiego , tak że podwójna przestrzeń wektorowa jest algebrą Liego , podczas gdy współmnożenie jest 1-kocyklem, więc mnożenie i współmnożenie są kompatybilne. Warunek kocyklu implikuje, że w praktyce bada się tylko klasy bialgebr, które są kohomologiczne z bialgebrą Liego na współgranicy.

Są one również nazywane algebrami Poissona-Hopfa i są algebrami Liego grupy Poissona-Lie .

Bialgebry kłamstw występują naturalnie w badaniach równań Yanga-Baxtera .

Definicja

Przestrzeń wektorowa $bialgebrą$ Liego, jeśli jest algebrą Liego, i istnieje struktura algebry Liego również w podwójnej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g }}^{*}}$ , który jest zgodny. Dokładniej, struktura algebry Liego na $]$ dana przez nawias Liego $Displaystyle [\ , \ ]: {\ mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}}\do {\mathfrak {g}}}$ a struktura algebry Liego na jest dana przez nawias Liego $δ$ ${\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\do {\mathfrak {g}}^{*}}$ $delta ^ {*}$ . $δ$ mapa podwójna do się kokomutatorem ${\ Displaystyle \ delta: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}} \ otimes {\ mathfrak {g}}},$ a warunkiem zgodności jest następująca relacja cyklu:

{\ Displaystyle \ delta ([X, Y ])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{ Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {reklama} _{Y}\right)\delta (X)}

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {X} Y = [X, Y]}$ jest sprzężeniem. Zauważ $, że$ i jest również bialgebrą Lie, podwójną bialgebrą Lie.

Przykład

Niech $algebrą$ Liego. Aby określić strukturę bialgebry Liego, musimy więc określić kompatybilną strukturę algebry Liego w podwójnej przestrzeni wektorowej. $wybór$ podalgebrę Cartana dodatnich pierwiastków Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {\ pm} \ subset {\ mathfrak {g}}} będzie$ odpowiednimi przeciwnymi podalgebrami borelowskimi, tak że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} = {\ mathfrak {b}} _ {-} \ cap {\ mathfrak {b}} _ {+}} i istnieje naturalna$ projekcja ${ \ Displaystyle \ pi: {\ mathfrak {b}} _ {\ pm} \ do {\ mathfrak {t}}}$ . Następnie zdefiniuj algebrę Liego

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g'}}: = \ {(X_ {-}, X_ {+}) \ w {\ mathfrak {b}} _ { -}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {-} \ razy {\ mathfrak {b}}$ iloczynu i ma ten sam wymiar co $} styl wyświetlania {\ mathfrak {g}}}$ . Teraz zidentyfikuj ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g'}}}$ z podwójną z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ poprzez parowanie

{\ Displaystyle \ langle (X_ {-}, X_ {+}), Y \ rangle: = K (X_ {+ }-X_{-},Y)}

gdzie $_$ $_$ . _ To definiuje strukturę bialgebry Liego na $.$ jest „standardowym” przykładem: leży u podstaw grupy kwantowej Drinfelda-Jimbo Zauważ, że $jest$ $,$ podczas gdy .

Związek z grupami Poissona-Lie

Algebra Liego $.$ Poissona-Lie G ma naturalną strukturę bialgebry Liego W skrócie struktura grupy Liego daje nawias Liego na jak zwykle, a linearyzacja struktury Poissona na $daje$ nawias Liego na $mathfrak {g}} ^{*}}}}$ \ (pamiętając, że liniowa struktura Poissona w przestrzeni wektorowej jest tym samym, co nawias Liego w podwójnej przestrzeni wektorowej). Bardziej szczegółowo, niech G być grupą Poissona-Lie, gdzie ${\ Displaystyle f_ {1}, f_ {2} \ in C ^ {\ infty} (G)}$ to dwie gładkie funkcje w grupie Kolektor. Niech będzie różniczką elementu tożsamości. ${\ Displaystyle \ xi = (df) _ {e}}$ Oczywiście, ${\ Displaystyle \ xi \ in {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ . Struktura Poissona na grupie następnie indukuje nawias na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}$ }

{\ Displaystyle [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}] = (d \ {f_ {1}, f_ {2} }\})_{mi}\,}

gdzie $_$ . _ _ Biorąc pod uwagę $dwuwektor$ Poissona $rozmaitości$ , zdefiniuj prawe tłumaczenie dwuwektora na element tożsamości w G Wtedy to się ma

{\ Displaystyle \ eta ^ {R}: G \ do {\ mathfrak {g}} \ otimes {\ mathfrak {g}}}

Kokomutator jest wtedy mapą styczną:

{\ Displaystyle \ delta = T_ {e} \ eta ^ {R} \,}

aby

{\ Displaystyle [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}] = \ delta ^ {*} (\ xi _ {1} \ czasami \xi _{2})}

jest liczbą podwójną kokomutatora.

Zobacz też

H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, red., Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, RFN, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari i Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Beisert, N.; Wyciek, F. (2009). „Klasyczna macierz r AdS / CFT i jej struktura bialgebry Liego”. Komunikacja w fizyce matematycznej . 285 (2): 537–565. ar Xiv : 0708.1762 . Bibcode : 2009CMaPh.285..537B . doi : 10.1007/s00220-008-0578-2 .