Trójka Manina

W matematyce trójka Manina ( g , p , q ) składa się z algebry Liego g z niezmienną niezmienną symetryczną postacią dwuliniową , wraz z dwiema izotropowymi podalgebrami p i q takimi, że g jest bezpośrednią sumą p i q jako a Przestrzeń wektorowa. Ściśle pokrewną koncepcją jest (klasyczna) podwójna Drinfelda , która jest parzystowymiarową algebrą Liego dopuszczającą rozkład Manina.

Trójki Manin zostały wprowadzone przez Drinfelda ( 1987 , s.802), który nazwał je na cześć Yuri Manina .

Delorme (2001) sklasyfikował trójki Manina, gdzie g jest zespoloną redukcyjną algebrą Liego .

Trójki maninów i bialgebry Liego

Jeśli ( g , p , q ) jest trójwymiarową trójką Manina, to p można przekształcić w bialgebrę Liego , pozwalając odwzorowaniu kokomutatora p → p ⊗ p na dualność odwzorowania q ⊗ q → q (wykorzystując fakt, że symetryczna postać dwuliniowa na g identyfikuje q z liczbą podwójną p ).

I odwrotnie, jeśli p jest bialgebrą Liego, to można z niej skonstruować trójkę Manina, pozwalając q być liczbą podwójną p i definiując komutator p i q , aby postać dwuliniowa na g = p ⊕ q była niezmienna.

Przykłady

• Załóżmy, że a jest złożoną półprostą algebrą Liego z niezmienną symetryczną postacią dwuliniową (,). Wtedy istnieje trójka Manina ( g , p , q ) gdzie g = a ⊕ a , z iloczynem skalarnym g określonym wzorem (( w , x ),( y , z )) = ( w , y ) – ( ​​x , z ). Podalgebrą p jest przestrzeń elementów diagonalnych ( x , x ), a podalgebrą q jest przestrzeń elementów ( x , y ) z x w ustalonej podalgebrze borelowskiej zawierającej podalgebrę Cartana h , y w przeciwnej podalgebrze borelowskiej, gdzie x i y mają ten sam składnik w h .

•    Delorme, Patrick (2001), „Classification des triples de Manin pour les algèbres de Lie réductives complexes”, Journal of Algebra , 246 (1): 97–174, arXiv : math/0003123 , doi : 10.1006/jabr.2001.8887 , ISSN 0021-8693 , MR 1872615
•    Drinfeld, VG (1987), „Grupy kwantowe” , Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, Kalifornia, 1986) , tom. 1, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 798–820, ISBN 978-0-8218-0110-9 , MR 0934283