Twierdzenie o podwójnym centralizatorze

W gałęzi algebry abstrakcyjnej zwanej teorią pierścieni twierdzenie o podwójnym centralizatorze może odnosić się do dowolnego z kilku podobnych wyników. Wyniki _te dotyczą centralizatora podpierścienia S pierścienia R , oznaczanego w tym artykule CR ( S ). Zawsze jest tak, że C _R ( CR ( S ) ) zawiera S , a twierdzenie o podwójnym centralizatorze daje warunki na R _i S , które gwarantują, że _CR ( CR ₍ S ) ) jest równe S .

Stwierdzenia twierdzenia

Motywacja

Centralizator podpierścienia S z R jest określony przez

${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {R} (S) = \ {r \ w R \ mid rs = sr {\ tekst {dla wszystkich}} s \ w S \}. \,}$

Oczywiście C _R ( C _R ( S )) ⊇ S , ale nie zawsze można powiedzieć, że oba zbiory są równe. Twierdzenia o podwójnym centralizatorze podają warunki, w których można stwierdzić, że zachodzi równość.

Interesujący jest jeszcze inny szczególny przypadek. Niech M będzie prawym modułem R i dajmy M naturalną lewą strukturę E -modułu, gdzie E to Koniec ( M ), pierścień endomorfizmów grupy abelowej M . Każde odwzorowanie m _r dane przez m _r ( x ) = xr tworzy addytywny endomorfizm M , czyli element E . Przekształcenie r → m _r jest homomorfizmem pierścienia R w pierścień E , a obraz R wewnątrz E oznaczamy przez R _M . Można sprawdzić, że jądrem tej mapy kanonicznej jest anihilator Ann( M _R ). Dlatego, na podstawie twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni, R _M jest izomorficzne z pierścieniem ilorazowym R /Ann( M _R ). Oczywiście, gdy M jest wiernym modułem , R i R _M są pierścieniami izomorficznymi.

_Więc teraz E jest pierścieniem z R _{M jako} podpierścieniem i może powstać CE ( RM ). Z definicji można sprawdzić, że C _E ( R _M ) = End( M _R ), pierścień endomorfizmów modułu R M . Zatem jeśli okaże się, że C _E ( C _E ( R _M )) = R _M , jest to to samo, co powiedzenie C _E (End ( M _R )) = R _M .

Centralne algebry proste

Być może najpowszechniejszą wersją jest wersja dla centralnych prostych algebr , jak pojawia się w ( Knapp 2007 , s.115):

Twierdzenie : Jeśli A _jest skończenie wymiarową centralną prostą algebrą ciała F i B jest prostą podalgebrą A , to CA ( CA ( _B )) = B , a ponadto wymiary spełniają

${\ Displaystyle \ operatorname {wymiar} _ {F} (B) \ cdot \ operatorname {wymiar} _ {F} (\ operatorname {C} _ {A} (B)) = \ operatorname {wymiar} _ {F} (A).\,}$

pierścienie artyńskie

Następująca uogólniona wersja dla pierścieni Artina (które obejmują algebry skończonych wymiarów) pojawia się w ( Isaacs 2009 , s.187). Biorąc pod uwagę prosty moduł R U _R , pożyczymy notację z powyższej sekcji motywacji, w tym R _U i E =End( U ). Dodatkowo napiszemy D =End( U _R ) dla podpierścienia E składającego się z R -homomorfizmów. Z lematu Schura D jest pierścieniem dzielenia .

Twierdzenie : Niech R będzie prostokątnym pierścieniem Artina o prostym prawym module U _R i niech R _U , D i E będą dane jak w poprzednim akapicie. Następnie

$\ Displaystyle R_ {U} = \ operatorname {C} _ {E} (\ operatorname {C} _ {E} (R_ {U})) \$ .

Uwagi

• W tej wersji pierścienie są wybierane z zamiarem udowodnienia twierdzenia Jacobsona o gęstości . Zauważ, że stwierdza tylko, że określony podpierścień ma właściwość centralizatora, w przeciwieństwie do centralnej wersji algebry prostej.
• Ponieważ algebry są zwykle definiowane na pierścieniach przemiennych, a wszystkie powyższe pierścienie mogą być nieprzemienne, jasne jest, że algebry niekoniecznie są zaangażowane.
• Jeśli U jest dodatkowo wiernym modułem , tak że R jest prawym pierścieniem pierwotnym , to R _U jest pierścieniem izomorficznym z R.

Wielomianowe pierścienie tożsamości

W ( Rowen 1980 , s.154) podano wersję dla wielomianowych pierścieni tożsamości . Notacja Z( R ) będzie używana do oznaczenia środka pierścienia R .

Twierdzenie : Jeśli R jest prostym wielomianowym pierścieniem tożsamości, a A jest prostą podalgebrą Z( R ) R , to CR ( C _R ( A )) = A _.

Uwagi

• Ta wersja może być uważana za „pomiędzy” centralną wersją algebry prostej a wersją pierścienia Artina. Dzieje się tak, ponieważ proste wielomianowe pierścienie tożsamości są Artinowskie, ale w przeciwieństwie do wersji Artinowskiej, wniosek nadal odnosi się do wszystkich centralnych prostych podpierścieni R .

Algebry von Neumanna

Von Neumanna o bicommutant stwierdza, że ​​*-podalgebra A algebry operatorów ograniczonych B ( H ) na przestrzeni Hilberta H jest algebrą von Neumanna ( tj. jest słabo domknięta ) wtedy i tylko wtedy , gdy A = C _{B ( H )} C _{B ( H )} (A).

Właściwość podwójnego centralizatora

Główny artykuł: moduł zrównoważony

moduł M ma właściwość podwójnego centralizatora lub jest modułem zrównoważonym , jeśli C _E ( C _E ( R _M )) = R _M , gdzie E = Koniec ( M ) i R _M są takie, jak podano w sekcji motywacji. W tej terminologii wersja pierścienia Artina twierdzenia o podwójnym centralizatorze stwierdza, że ​​​​proste prawe moduły dla prawych pierścieni Artina są modułami zrównoważonymi.

Notatki

•    Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: kurs podyplomowy , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 100, Providence, RI: American Mathematical Society, s. xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2 , MR 2472787 Przedruk oryginału z 1994 r.
•    Knapp, Anthony W. (2007), Advanced Algebra , Cornerstones , Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., s. XXIV + 730, ISBN 978-0-8176-4522-9 , MR 2360434
•    Rowen, Louis Halle (1980), Tożsamości wielomianowe w teorii pierścieni , Pure and Applied Mathematics, tom. 84, Nowy Jork: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], s. xx+365, ISBN 0-12-599850-3 , MR 0576061