Twierdzenie o bicommutantach von Neumanna

W matematyce , szczególnie w analizie funkcjonalnej , twierdzenie von Neumanna o bicommutancie wiąże zamknięcie zbioru operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta w pewnych topologiach z bicommutantem tego zbioru. W istocie jest to połączenie między algebraiczną i topologiczną stroną teorii operatorów .

Formalne stwierdzenie twierdzenia jest następujące:

Twierdzenie o bicommutantach von Neumanna. Niech

M

będzie algebrą składającą się z operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta

H

, zawierającą operator tożsamości i zamkniętą na sprzężeniach . Wtedy domknięcia M w topologii słabego operatora i mocnej topologii operatora są równe, a z kolei są równe bicommutantowi M

''

'

z

M

.

Algebrę tę nazywa się algebrą von Neumanna wygenerowaną przez $M.$

Istnieje kilka innych topologii w przestrzeni operatorów ograniczonych i można zapytać, jakie są *-algebry zamknięte w tych topologiach. Jeśli $M$ jest domknięte w topologii norm, to jest C*-algebrą , ale niekoniecznie algebrą von Neumanna. Jednym z takich przykładów jest C*-algebra operatorów zwartych (na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta). W przypadku większości innych popularnych topologii zamknięte *-algebry zawierające 1 to algebry von Neumanna; dotyczy to w szczególności operatora słabego, operatora silnego, operatora *-silnego, ultrasłabego , ultramocnego , i * - ultramocne topologie.

Jest to związane z twierdzeniem Jacobsona o gęstości .

Dowód

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta i $L (H)$ operatorami ograniczonymi na $H$ . Rozważmy samosprzężoną podalgebrę jednostkową $M$ z $L (H)$ (oznacza to, że $M$ zawiera sprzężenia swoich członków i operator identyczności na $H$ ).

Twierdzenie jest równoważne kombinacji następujących trzech stwierdzeń:

(i)

cl W (M) \subseteq M''

(ii)

cl S (M) \subseteq cl W (M)

(iii)

M''' \subseteq cl S (M)

gdzie indeksy dolne $W$ i $S$ oznaczają domknięcia odpowiednio w słabych i silnych topologiach operatorów.

Dowód (i)

Z definicji topologii słabego operatora, dla dowolnych $x$ i $y$ w $H$ , mapa T → < Tx , y > jest w tej topologii ciągła. Dlatego dla dowolnego operatora $O$ (i podstawiając raz $y \to O * y$ i raz $x \to Ox$ ), mapa jest taka sama

{\ Displaystyle T \ do \ langle Tx, O ^ {*} y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle = \ langle OTx, y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle.}

Niech S będzie dowolnym podzbiorem $L (H)$ , a S ′ jego komutantem . Dla dowolnego operatora $T$ nie w S ′, < OTx , y > - < TOx , y > jest niezerowe dla pewnego O w S i dla niektórych x i y w $H$ . Dzięki ciągłości powyższego odwzorowania istnieje otwarte sąsiedztwo $T$ w słabej topologii operatora, dla której jest to niezerowe, więc to otwarte sąsiedztwo również nie jest w S ′. Zatem S ′ jest domknięty w operatorze słabym, czyli S ′ jest słabo domknięty . Zatem każdy komutant jest słabo domknięty, podobnie jak $M "$ ; ponieważ zawiera $M$ , zawiera również jego słabe zamknięcie.

Dowód (ii)

Wynika to bezpośrednio z tego, że topologia słabego operatora jest bardziej zgrubna niż topologia silnego operatora: dla każdego punktu $x$ w $cl S (M)$ każde otwarte sąsiedztwo $x$ w topologii słabego operatora jest również otwarte w topologii silnego operatora i dlatego zawiera członka z $M$ ; dlatego $x$ jest również członkiem $cl W (M)$ .

Dowód (iii)

Napraw $X \in M''$ . Pokażemy $X \in cl S (M)$ .

Napraw otwarte sąsiedztwo $U$ z $X$ w silnej topologii operatora. Z definicji silnej topologii operatora U zawiera skończone przecięcie U ( h ₁ ,ε ₁ ) ∩...∩ U ( h _n ,ε _n ) podpodstawowych zbiorów otwartych postaci U ( h ,ε) = { O ∈ L ( H ): || Oh - Xh || < ε}, gdzie godz jest w H i ε > 0.

Napraw h w $H$ . Rozważ domknięcie $cl(M h)$ M $wewnętrzny h = {Mh : M \in M$ } względem normy H i wyposażone w iloczyn H . Jest to przestrzeń Hilberta (będąca zamkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta $H$ ), a więc ma odpowiedni rzut ortogonalny , który oznaczamy $P$ . $P$ jest ograniczona, więc jest w $L (H)$ . Następnie udowadniamy:

Lemat.

P \in M'

.

Dowód. Ustal

x \in H

. Wtedy

Px \in cl(M h)

, więc jest to granica ciągu

O n h

z

O n

w

M

dla wszystkich

n

. Wtedy dla wszystkich

T \in M

,

TO n h

jest również w

M h

, a więc jego granica jest w

cl(M h)

. Przez ciągłość

T

(ponieważ jest w

L (H),

a zatem jest ciągła Lipschitza ), granica ta wynosi

TPx

. Ponieważ

TPx \in cl(M h)

, PTPx = TPx . Z tego wynika, że PTP = TP dla wszystkich

T

w

M

.

Używając domknięcia

M

pod spójnikiem mamy dalej dla każdego

T

w

M

i wszystkie

x, y \in H

:

{\ Displaystyle \ langle x, TPy \ rangle = \ langle x, PTPy \ rangle = \ langle Px, TPy \ rangle =\langle T^{*}Px,Py\rangle =\langle PT^{*}Px,y\rangle =\langle T^{*}Px,y\rangle =\langle Px,Ty\rangle =\langle x,PTy\rangle }

zatem TP = PT i P leży w

M'

.

Z definicji bicommutant XP = PX . Ponieważ $M$ jest jednostką, $h \in M h$ , stąd $Xh = XPh = PXh \in cl(M h)$ . Zatem dla każdego $ε > 0$ istnieje T w $M$ z $|| Xh - T || < ε$ . Wtedy T leży w U ( h ,ε). ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

Zatem w każdym otwartym sąsiedztwie $U$ z $X$ w topologii operatora silnego jest element $M$ , a więc $X$ jest w domknięciu topologii operatora silnego $M$ .

Przypadek niejednostkowy

AC*-algebra $M$ działająca na H działa niezdegeneracyjnie, jeśli dla h w $H$ , $M h = {0}$ implikuje $h = 0$ . W tym przypadku można wykazać za pomocą przybliżonej tożsamości w $M$ , że operator identyczności I leży w silnym domknięciu $M$ . Dlatego wniosek z twierdzenia o bicommutancie zachodzi dla $M$ .

WB Arveson, Zaproszenie do C*-algebr , Springer, Nowy Jork, 1976.