Główny moduł nierozkładalny
W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry abstrakcyjnej zwanej teorią modułów , główny moduł nierozkładalny ma wiele ważnych związków z badaniem modułów pierścienia , zwłaszcza jego modułów prostych , modułów rzutowych i modułów nierozkładalnych .
Definicja
(Lewy) główny nierozkładalny moduł pierścienia R jest (lewym) podmodułem R , który jest bezpośrednią sumą R i jest modułem nierozkładalnym . Alternatywnie, jest to nierozkładalny, rzutowy, cykliczny moduł . Główne nierozkładalne moduły są również nazywane w skrócie PIM .
Relacje
Rzutowe nierozkładalne moduły na niektórych pierścieniach mają bardzo bliskie powiązania z prostymi, rzutowymi i nierozkładalnymi modułami tych pierścieni.
Jeśli pierścień R jest artinowski lub nawet półdoskonały , to R jest bezpośrednią sumą głównych nierozkładalnych modułów i istnieje jedna klasa izomorfizmu PIM na klasę izomorfizmu modułu prostego. Z każdym PIM P związana jest jego głowa , P / JP , która jest modułem prostym, będącym nierozkładalnym modułem półprostym. Z każdym modułem prostym S jest skojarzone jego pokrycie rzutowe P , którym jest PIM, będący nierozkładalnym, rzutowym, cyklicznym modułem.
Podobnie w półdoskonałym pierścieniu każdy nierozkładalny moduł projekcyjny jest PIM, a każdy skończenie wygenerowany moduł projekcyjny jest bezpośrednią sumą PIM.
W kontekście algebr grupowych grup skończonych na ciałach (które są pierścieniami półdoskonałymi), pierścień reprezentacji opisuje moduły nierozkładalne, a znaki modularne modułów prostych reprezentują zarówno pierścień podrzędny, jak i pierścień ilorazowy. Pierścień reprezentacji w złożonym polu jest zwykle lepiej rozumiany, a ponieważ PIM odpowiadają modułom w zespołach przy użyciu p - system modułowy, można użyć PIM do przesyłania informacji z pierścienia złożonej reprezentacji do pierścienia reprezentacji w polu o dodatniej charakterystyce. Z grubsza mówiąc, nazywa się to teorią bloków.
W domenie Dedekinda , która nie jest PID , idealna grupa klas mierzy różnicę między rzutowymi modułami nierozkładalnymi a głównymi modułami nierozkładalnymi: rzutowe moduły nierozkładalne są dokładnie (moduły izomorficzne z) niezerowymi ideałami, a główne moduły nierozkładalne to dokładnie (moduły izomorficzne z) niezerowymi ideałami głównymi.
- Alperin, JL (1986), Lokalna teoria reprezentacji , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 11, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-30660-7 , MR 0860771
- Benson, DJ (1984), Modularna teoria reprezentacji: nowe trendy i metody , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1081, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13389-6 , MR 0765858
- Feit, Walter (1982), Teoria reprezentacji grup skończonych , North-Holland Mathematical Library, tom. 25, Amsterdam: Holandia Północna, ISBN 978-0-444-86155-9 , MR 0661045
- Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Algebry, pierścienie i moduły. Tom. 1 , Matematyka i jej zastosowania, tom. 575, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-2690-4 , MR 2106764
- Landrock, P. (1983), algebry grup skończonych i ich moduły , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 84, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-27487-6 , MR 0737910
- Nagao, Hirosi; Tsushima, Yukio (1989), Reprezentacje skończonych grup , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-513660-0 , MR 0998775