Okładka projekcyjna

W gałęzi matematyki abstrakcyjnej, zwanej teorią kategorii , pokrycie rzutowe obiektu X jest w pewnym sensie najlepszym przybliżeniem X przez obiekt rzutowy P. Osłony projekcyjne są podwójnymi kopertami iniekcyjnymi .

Definicja

Niech będzie kategorią , a X obiektem w ${C}}$$mathcal$ . Okładka rzutowa to para ( P , p ), przy czym P $jest$ obiektem rzutowym w i p zbędnym epimorfizmem w Hom ( P , X .

Jeśli R $epimorfizmem$ pierścieniem, to w kategorii modułów R zbędny jest wtedy takim , że jądro p jest P

Nieruchomości

Rzutowe osłony i ich zbędne epimorfizmy, jeśli istnieją, są unikalne aż do izomorfizmu . Izomorfizm nie musi być jednak unikalny, ponieważ właściwość rzutowa nie jest w pełni rozwiniętą właściwością uniwersalną .

Główny efekt p mający zbędne jądro jest następujący: jeśli N jest jakimkolwiek właściwym modułem podrzędnym P , to ${\ displaystyle p (N) \ neq M}$ . Mówiąc nieformalnie, pokazuje to, że zbędne jądro powoduje, że P optymalnie pokrywa M , to znaczy żaden podmoduł P nie byłby wystarczający. Nie zależy to od projekcyjności P : dotyczy to wszystkich zbędnych epimorfizmów.

Jeśli ( P , p ) jest rzutowym pokryciem M , a P ' to kolejny moduł rzutowy z epimorfizmem ${\ Displaystyle p': P'\ rightarrow M}$ , to istnieje podzielony epimorfizm α od P ' do P tak, że ${\ displaystyle p \ alpha = p'}$

W przeciwieństwie do kopert iniekcyjnych i płaskich osłon , które istnieją dla każdego lewego (prawego) modułu R niezależnie od pierścienia R , lewe (prawe) moduły R na ogół nie mają osłon rzutowych. Pierścień R nazywamy lewym (prawym) idealnym , jeśli każdy lewy (prawy) moduł R ma rzutową osłonę w R -Mod (Mod- R ).

Pierścień nazywamy półdoskonałym , jeśli każdy skończenie wygenerowany lewy (prawy) moduł R ma pokrycie rzutowe w R -Mod (Mod- R ). „Semiperfect” to symetryczna właściwość lewo-prawo.

Pierścień nazywamy lift/rad jeśli idempotenty podnoszą się od R / J do R , gdzie J jest rodnikiem Jacobsona R . Właściwość bycia windą/radą można scharakteryzować w kategoriach pokrycia rzutowego: R jest windą/radem wtedy i tylko wtedy, gdy bezpośrednie sumy modułu R R / J ( jako moduł prawy lub lewy) mają pokrycie rzutowe.

Przykłady

W kategorii modułów R :

• Jeśli M jest już modułem rzutowym, to mapa tożsamości od M do M jest zbędnym epimorfizmem (jego jądro jest zerowe). Dlatego moduły projekcyjne zawsze mają rzutowe osłony.
• Jeśli J( R )=0, to moduł M ma pokrycie rzutowe wtedy i tylko wtedy, gdy M jest już rzutowe.
• W przypadku, gdy moduł M jest prosty , to koniecznie jest to wierzchołek jego rzutowej okładki, jeśli taki istnieje.
• Koperta iniekcyjna dla modułu zawsze istnieje, jednak w przypadku niektórych pierścieni moduły mogą nie mieć osłon projekcyjnych. Na przykład mapa naturalna od Z do Z /2Z nie jest rzutowym pokryciem modułu Z Z /2Z ( który w rzeczywistości nie ma rzutowego pokrycia). Klasą pierścieni, która zapewnia wszystkim swoim właściwym modułom osłony projekcyjne, jest klasa właściwych pierścieni doskonałych .
• Każdy R -moduł M ma płaskie pokrycie , które jest równe pokryciu rzutowemu, jeśli R ma pokrycie rzutowe.

Zobacz też

• Rozdzielczość projekcyjna

•   Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Pierścienie i kategorie modułów . Skoczek. ISBN 0-387-97845-3 . Źródło 2007-03-27 .
• Wiara, Carl (1976), algebra. II. Teoria pierścienia. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, nr 191. Springer-Verlag
•   Lam, TY (2001), Pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych (wyd. 2), Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0