Pokrywa płaska

W algebrze płaskie pokrycie modułu M nad pierścieniem jest suriekcyjnym homomorfizmem z płaskiego modułu F do M , który jest w pewnym sensie minimalny. Każdy moduł nad pierścieniem ma płaską osłonę, która jest unikalna aż do (nieunikatowego) izomorfizmu. Płaskie osłony są w pewnym sensie podwójne do kadłubów wtryskowych i są spokrewnione z osłonami projekcyjnymi i osłonami bezskrętnymi .

Definicje

Homomorfizm F → M jest zdefiniowany jako płaska pokrywa M , jeśli jest suriekcją, F jest płaska, każdy homomorfizm od płaskiego modułu do M czynników przez F , a każda mapa od F do F dojeżdżająca z mapą do M jest automorfizmem z F. _

Historia

Chociaż rzutowe osłony modułów nie zawsze istnieją, spekulowano, że w przypadku ogólnych pierścieni każdy moduł miałby płaską osłonę. Ta hipoteza płaskiej okładki została wyraźnie po raz pierwszy wyrażona w ( Enochs 1981 , s. 196). Hipoteza okazała się prawdziwa, rozstrzygnięta pozytywnie i udowodniona jednocześnie przez Bican, El Bashir & Enochs (2001) . Zostało to poprzedzone ważnym wkładem P. Eklofa, J. Trlifaja i J. Xu.

Minimalne płaskie rozdzielczości

Każdy moduł M na pierścieniu ma rozdzielczość według płaskich modułów

₀ → fa ₂ → fa ₁ → fa → M → 0

takie, że każdy F _{n +1} jest płaskim pokryciem jądra F _n → F _{n −1} . Taka rozdzielczość jest unikalna aż do izomorfizmu i jest minimalną płaską rozdzielczością w tym sensie, że uwzględnia ją dowolna płaska rozdzielczość M. Każdy homomorfizm modułów rozciąga się na homomorfizm między odpowiednimi płaskimi rozdzielczościami, chociaż generalnie to rozszerzenie nie jest unikalne.

•    Enochs, Edgar E. (1981), „Iniekcyjne i płaskie osłony, koperty i rozpuszczalniki”, Israel Journal of Mathematics , 39 (3): 189–209, doi : 10.1007 / BF02760849 , ISSN 0021-2172 , MR 0636889
•    Bican, L.; El Bashir, R.; Enochs, E. (2001), „Wszystkie moduły mają płaskie okładki”, Bulletin of the London Mathematical Society , 33 (4): 385–390, doi : 10.1017 / S0024609301008104 , ISSN 0024-6093 , MR 1832549
• „Płaska okładka” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•    Xu, Jinzhong (1996), Płaskie okładki modułów , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1634, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0094173 , ISBN 3-540-61640-3 , MR 1438789