Obsługa modułu

W algebrze przemiennej wsparcie modułu M nad przemiennym pierścieniem A jest zbiorem wszystkich ideałów pierwszych A $Displaystyle$ , że $\ neq 0}$ { \ $M _ {\ mathfrak {$ p } } (to znaczy lokalizacja M w $.$ jest równa zeru) Jest oznaczony przez ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Wsparcie} M}$ . Nośnik jest z definicji podzbiorem widma A .

Nieruchomości

${\ displaystyle M = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego wsparcie jest puste .
Niech ${\ Displaystyle 0 \ do M'\ do M \ do M''\ do 0}$ będzie krótką dokładną sekwencją A -modułów . Wtedy
${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Supp} M = \ nazwa operatora {Supp} M '\ kubek \ nazwa operatora {Supp} M''.}$

Należy zauważyć, że ten związek nie może być związkiem rozłącznym .

Jeśli $.$ sumą $submodułów$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} M = \ bigcup _ {\ lambda} \ operatorname {Supp} M _ {\ lambda}.}$ to λ
Jeśli jest skończenie wygenerowanym modułem A $,$ to $M}$ { Supp jest zbiorem wszystkich ideałów pierwszych zawierających anihilator M . W szczególności jest zamknięty w topologii Zariskiego na Spec A .
Jeśli ${\ Displaystyle M, N}$ są skończenie generowanymi modułami A , to
${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (M \ otimes _ {A} N) = \ operatorname {Supp} M \ cap \ operatorname {Supp} N.}$
Jeśli jest skończenie generowanym $modułem$ i I jest ideałem A , to $\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (M / IM)}$ { jest zbiorem wszystkich M {\ displaystyle M } ideały pierwsze zawierające ${\ Displaystyle I + \ operatorname {Ann} M.}$ To jest ${\ Displaystyle V (I) \ cap \ operatorname {Supp} M}$ .

Podpora quasi-koherentnego snopka

Jeśli F jest quasi-spójnym snopkiem na schemacie X , podpora F jest zbiorem wszystkich punktów x w X takich, że łodyga F _x jest różna od zera. Ta definicja jest podobna do definicji podparcia funkcji na przestrzeni X i to jest motywacja do użycia słowa „podpora”. Większość właściwości nośnika uogólnia słowo w słowo z modułów na quasi-koherentne snopy. Na przykład wsparcie spójnego snopka (lub bardziej ogólnie snop typu skończonego) jest zamkniętą podprzestrzenią X .

Jeśli M jest modułem na pierścieniu A , to podpora M jako modułu pokrywa $się$ z podporą powiązanego quasi- koherentnego snopka na afinicznym Spec . Co więcej, jeśli ${\ Displaystyle \ {U_ {\ alfa} = \ operatorname {Spec} (A_ {\ alfa}) \}}$ jest afinicznym pokryciem schematu X , to podpora quasi-spójnego snopka F jest równa sumie podpór powiązanych modułów M _α nad każdym A _α .

Przykłady

$,$ pierwszy znajduje się na podporze wtedy i tylko wtedy gdy zawiera anihilator ${\ displaystyle M}$ . Na przykład ponad niszczycielem modułu ${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y, z, w]}$

{\ Displaystyle M = R/I = {\ Frac {\ mathbb {C} [x, y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}

ja $Displaystyle I = (f) = (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w^{4})}$ . Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} M \ cong \ operatorname {Spec} (R / I)}$ , znikające miejsce wielomianu f . Patrząc na krótką sekwencję dokładną

{\ Displaystyle 0 \ do ja \ do R \ do R / ja \ do 0}

możemy błędnie przypuszczać, że nośnikiem I = ( f ) jest Spec( R _{( f )} ), który jest dopełnieniem miejsca zniknięcia wielomianu f . W rzeczywistości, ponieważ R jest dziedziną integralną , ideał I = ( f ) = Rf jest izomorficzny z R jako modułem, więc jego nośnikiem jest cała przestrzeń: Supp ( I ) = Spec ( R ).

Wsparcie skończonego modułu nad pierścieniem noetherowskim jest zawsze zamknięte w ramach specjalizacji. ^{[ potrzebne źródło ]}

Teraz, jeśli weźmiemy dwa wielomiany $f_ {1}, f_ {2} \ in$ które tworzą całkowity ideał przecięcia $(f_{1},f_{2})}$ $displaystyle$ pokazuje nam to właściwość tensor

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Supp} \ lewo (R / (f_ {1}) \ czasami _ {R} R / (f_ {2}) \ prawo) = \, \ nazwa operatora {Supp} \ lewo (R / ( f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_ {2})).}

Zobacz też

Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .
Atiyah, MF i IG Macdonald , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR 242802