Wzajemność Frobeniusa

W matematyce , aw szczególności w teorii reprezentacji , wzajemność Frobeniusa jest twierdzeniem wyrażającym dwoistość procesu ograniczania i indukcji . Można go wykorzystać do wykorzystania wiedzy na temat reprezentacji podgrupy w celu znalezienia i sklasyfikowania reprezentacji „dużych” grup, które je zawierają. Jej nazwa pochodzi od Ferdynanda Georga Frobeniusa , wynalazcy teorii reprezentacji grup skończonych .

Oświadczenie

Teoria postaci

Twierdzenie to zostało pierwotnie sformułowane w kategoriach teorii znaków . Niech G będzie skończoną grupą z podgrupą H , niech ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ oznacza ograniczenie znaku lub, bardziej ogólnie, funkcję klasową G do H , i niech $} _ {H} ^ {G}}$ oznacza indukowaną funkcję klasy danej funkcji klasy na H . Dla dowolnej skończonej grupy $} {C} }$ istnieje iloczyn wewnętrzny w przestrzeni wektorowej funkcji klasowych. $\ Displaystyle \ langle -, - \ rangle _ {A$ (szczegółowo opisane w artykule Relacje ortogonalności Schura ). Teraz dla dowolnych funkcji klasowych ${\ Displaystyle \ psi: H \ do \ mathbb {C}}$ i ${\ displaystyle \ varphi: G \ do \ mathbb {C}}$ , obowiązuje następująca równość:

{\ Displaystyle \ langle \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} \ psi, \ varphi \ rangle _ {G

.

Innymi $sol$ $_$ są hermitowskie _ _

Dowód wzajemności Frobeniusa dla funkcji klasowych

Niech $: H$ $\ mathbb {C}}$ będą funkcjami klasowymi

Dowód. Każdą funkcję klasy można zapisać jako liniową kombinację nieredukowalnych znaków. Ponieważ jest formą dwuliniową $i$ możemy utraty ogólności założyć, że $}$ $varphi$ postacie nieredukowalnych reprezentacji w W $Displaystyle$ $W}$ i ${\ Displaystyle G} odpowiednio$ w ${\ Displaystyle V}$ . ψ ${\ Displaystyle \ psi (s) = 0$ ${\ displaystyle s \ in G \ setminus H.}$ wszystkich Więc mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle {\ tekst {Ind}} (\ psi), \ varphi \ rangle _ {G} & = {\ Frac {1} {| G |}} \ suma _ {t \in G}{\text{Ind}}(\psi )(t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\ in G}{\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G \na szczycie s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi ( t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\ w G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\ frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\ suma _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end {wyrównany}}}

W trakcie tego ciągu równań posługiwaliśmy się jedynie definicją indukcji po funkcjach klasowych i własnościach znaków . ${\ Displaystyle \ Pudełko}$

Alternatywny dowód. Z punktu widzenia algebry grup, tj. alternatywnego opisu reprezentacji indukowanej, odwrotność Frobeniusa jest szczególnym przypadkiem ogólnego równania zmiany pierścieni:

{\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {\ mathbb {C} [H]} (W, U) = {\ tekst {Hom}} _ {\ mathbb {C} [G]} (\ mathbb {C } [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).}

To równanie jest z definicji równoważne z [jak?]

{\ Displaystyle \ langle W, {\ tekst {Res}} (U) \ rangle _ {H} = \ langle W, U \ rangle _ {H} = \ langle {\ tekst {Ind}} (W), U \rangle _{G}.}

Ponieważ ta forma dwuliniowa zgadza się z formą dwuliniową na odpowiednich znakach, twierdzenie następuje bez obliczeń. ${\ Displaystyle \ Pudełko}$

Teoria modułów

Jak wyjaśniono w sekcji Teoria reprezentacji grup skończonych # Reprezentacje, moduły i algebra splotów , teoria reprezentacji grupy G na polu K jest w pewnym sensie równoważna teorii modułów na algebrze grupowej K [ G ]. Dlatego istnieje odpowiednie twierdzenie Frobeniusa o wzajemności dla K [ G ].

Niech G będzie grupą z podgrupą H , niech M będzie H -modułem i niech N będzie G -modułem. $operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ języku $_$ $moduł$ indukowany _ , natomiast ograniczenie skalarów ${\ Displaystyle {_ {K [H]}} N}$ odpowiada ograniczeniu ${\ Displaystyle \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ . W związku z tym stwierdzenie jest następujące: Następujące zestawy homomorfizmów modułów są zgodne bijektywnie:

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {K [G] }(K[G]\otimes _{K[H]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H]}(M,{_{K[H]}}N)}

.

Jak zauważono poniżej w części dotyczącej teorii kategorii, wynik ten dotyczy modułów na wszystkich pierścieniach, a nie tylko modułów na algebrach grupowych.

Teoria kategorii

Niech G będzie grupą z podgrupą H i niech ${\ Displaystyle \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}, \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ być zdefiniowany jak powyżej. Dla dowolnej grupy $A$ i pola $K$ niech $K$ oznacza kategorię liniowych A . Istnieje zapominalski funktor

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}: {\ textbf {Rep}}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{H}\\(V,\rho )&\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\ rho )\end{wyrównane}}}

Ten funktor działa jako tożsamość na morfizmach . Jest funktor idący w przeciwnym kierunku:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}: {\ textbf {Rep}}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{G}\\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind} _{H}^{G}(W,\ tau )\end{wyrównane}}}

Te funktory tworzą parę sprzężoną ${\ Displaystyle \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} \ myślnik \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ . W przypadku grup skończonych są one w rzeczywistości połączone ze sobą zarówno w lewo, jak iw prawo. To sprzężenie powoduje powstanie uniwersalnej właściwości reprezentacji indukowanej (szczegółowe informacje można znaleźć w sekcji Induced reprezentacja#Właściwości ).

W języku teorii modułów odpowiedni dodatek jest przykładem bardziej ogólnego związku między ograniczeniem a rozszerzeniem skalarów .

Zobacz też

Zobacz Reprezentacja ograniczona i Reprezentacja indukowana , aby zapoznać się z definicjami procesów, do których odnosi się to twierdzenie.
Zobacz Teoria reprezentacji grup skończonych , aby zapoznać się z szerokim przeglądem tematu reprezentacji grup.
Zobacz wzór śladu Selberga i wzór śladu Arthura-Selberga, aby uzyskać uogólnienia na dyskretne, koskończone podgrupy pewnych lokalnie zwartych grup.

Notatki

Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0387901906 . OCLC 2202385 .
Sengupta, Ambar (2012). Reprezentowanie grup skończonych: półproste wprowadzenie . Nowy Jork. doi : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8 . ISBN 9781461412304 . OCLC 769756134 .
Weisstein, Eryk. „Indukowana reprezentacja” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2017-11-02 .