Lemat Shapiro

W matematyce , zwłaszcza w obszarach algebry abstrakcyjnej zajmującej się kohomologią grupową lub względną algebrą homologiczną , lemat Shapiro , znany również jako lemat Eckmanna – Shapiro , wiąże rozszerzenia modułów na jednym pierścieniu z rozszerzeniami na inny, zwłaszcza pierścień grupowy grupy i podgrupy . W ten sposób wiąże kohomologię grupową w odniesieniu do grupy z kohomologią w odniesieniu do podgrupy. Lemat Shapiro nosi imię Arnold S. Shapiro , który udowodnił to w 1961 roku; jednak Beno Eckmann odkrył to wcześniej, w 1953 roku.

Oświadczenie dotyczące pierścionków

Niech R → S będzie homomorfizmem pierścienia , tak aby S stał się lewym i prawym modułem R. Niech M będzie lewym modułem S , a N lewym modułem R. Przez ograniczenie skalarów, M jest również lewym R -modułem.

• Jeśli S prawy R ,

$_ n}(N,{}_{R}M)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(S\otimes _{R}N,M)} Jeśli S jest$

• rzutowa jako lewostronne R - moduł, to:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} ({} _ {R} M, N) \ cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(M,\operatorname {Hom} _{R}(S,N))}$

Patrz ( Benson 1991 , s. 47). Warunki projekcji można osłabić do warunków zaniku pewnych grup Tor lub Ext: zob. ( Cartan & Eilenberg 1956 , s. 118, VI.§5).

Oświadczenie dotyczące pierścieni grupowych

Gdy H jest podgrupą o skończonym indeksie w G , to pierścień grupowy R [ G ] jest generowany rzutowo w sposób skończony jako lewy i prawy moduł R [ H ], więc poprzednie twierdzenie stosuje się w prosty sposób. Niech M będzie skończenie wymiarową reprezentacją G i N skończenie-wymiarową reprezentacją H . W tym przypadku moduł S ⊗ _R N nazywany jest reprezentacją indukowaną N od H do G , a _RM nazywamy ograniczoną reprezentacją M od G do H . _ Jeden ma to:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {G} ^ {n} (M, N \ uparrow _ {H }^{G})\cong \operatorname {Ext} _{H}^{n}(M\strzałka w dół _{H}^{G},N)}$

Gdy n = 0, nazywa się to wzajemnością Frobeniusa dla całkowicie redukowalnych modułów i ogólnie wzajemnością Nakayamy. Patrz ( Benson 1991 , s. 42), który zawiera również te wyższe wersje dekompozycji Mackeya.

Stwierdzenie dla kohomologii grupowej

Specjalizacja M jako modułu trywialnego daje znany lemat Shapiro. Niech H będzie podgrupą G , a N reprezentacją H . Dla N ^G indukowana reprezentacja N z H do G za pomocą iloczynu tensorowego , a dla H _* homologia grupowa :

H. _* ( sol , N ^sol ) = H. _* ( H , N )

Podobnie dla N ^G koindukowana reprezentacja N z H do G przy użyciu funktora Hom , a dla H ^* kohomologia grupowa :

H. ^* ( sol , N ^sol ) = H. ^* ( H , N )

Kiedy H jest indeksem skończonym w G , wtedy reprezentacje indukowane i koindukowane pokrywają się, a lemat jest ważny zarówno dla homologii, jak i kohomologii.

Patrz ( Weibel 1994 , s. 172).

Zobacz też

• Zmiana pierścieni

Notatki

•    Benson, David J. (1991), Reprezentacje i kohomologia. I , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 30, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36134-7 , MR 1110581
• Cartan, Heri ; Eilenberg, Samuel (1956), algebra homologiczna , Princeton University Press
•    Eckmann, Beno (1953), „Kohomologia grup i transfer”, Annals of Mathematics , 2 ser., 58 (3): 481–493, doi : 10.2307/1969749 , JSTOR 1969749 , MR 0058600 .
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001 , strona 59
•     Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .