Reprezentacja jednostajnie ograniczona

W matematyce $jednostajnie$ ograniczona reprezentacja grupy lokalnie zwartej w przestrzeni Hilberta homomorfizmem ograniczonych operatorów odwracalnych, który jest ciągły dla $T}$ silnego operatora T { $\$ i takie, że ${\ Displaystyle \ sup _ {g \ in G} \| T_ {g} \|_ {B (H)}}$ jest skończony. W 1947 roku Béla Szőkefalvi-Nagy ustalił, że każda jednostajnie ograniczona reprezentacja liczb całkowitych lub rzeczywistych jest unitaryzowalna , tj. sprzężona przez operator odwracalny z reprezentacją unitarną . W przypadku liczb całkowitych daje to kryterium, aby operator odwracalny był podobny do operatora unitarnego: normy operatorów wszystkich potęg dodatnich i ujemnych muszą być jednostajnie ograniczone. Wynik dotyczący unitaryzowalności reprezentacji jednostajnie ograniczonych został rozszerzony w 1950 roku przez Dixmiera , Daya i Nakamurę-Takedę na wszystkie lokalnie zwarte podatnych grup , zgodnie zasadniczo z metodą dowodu Sz-Nagya. Wiadomo, że wynik kończy się niepowodzeniem dla grup nienadających się do manipulacji, takich jak SL(2, R ) i grupa wolna na dwóch generatorach. Dixmier (1950) przypuszczał, że lokalnie zwarta grupa jest podatna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jednostajnie ograniczona reprezentacja jest unitaryzowalna.

Oświadczenie

Niech G będzie lokalnie zwartą podatną grupą i niech T _g będzie homomorfizmem G do GL ( H ), grupą odwracalnych operatorów na przestrzeni Hilberta, taką, że

• dla każdego x w H wartość wektora gx na G jest ciągła;
• normy operatorów operatorów T _g są jednostajnie ograniczone.

Wtedy istnieje dodatni operator odwracalny S na H taki, że S T _g S ⁻¹ jest jednostkowy dla każdego g w G .

W konsekwencji, jeśli T jest operatorem odwracalnym, którego wszystkie dodatnie i ujemne potęgi są równomiernie ograniczone w normie operatora, to T jest sprzężone przez dodatni operator odwracalny z jednostką.

Dowód

Przy założeniu funkcji ciągłych

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {x, y} (g) = (T_ {g} ^ {- 1} x, T_{g}^{-1}y),}}$

wygenerować rozdzielną jednostkową podalgebrę C* A jednostajnie ograniczonych funkcji ciągłych na G . Z konstrukcji algebra jest niezmienna przy tłumaczeniu w lewo. Przez podatność istnieje niezmienny stan φ na A . Wynika, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(x, y) _ {0} = \ varphi (f_ {x, y})}}$

to nowy produkt wewnętrzny na H satysfakcjonujący

${\ Displaystyle \ Displaystyle {M ^ {- 1} \|x \|\ równoważnik \|x\|_ {0}\ równoważnik M \|x\ |}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {M = \ sup _ {g} \| T_ {g} \ | <\ infty.}}$

Istnieje więc dodatni operator odwracalny P taki, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(x, y) _ {0} = (Px, y).}}$

Według konstrukcji

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(T_ {g} x, T_ {g} y) _ {0} = (x, y) _ {0}.}}$

Niech S będzie unikalnym dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z P . Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(ST_ {g} x, ST_ {g} y) = (PT_ {g} x, T_ {g} y) = (Px, y) = (Sx, Sy).}}$

Z zastosowania S ^-1 do x i y wynika, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(ST_ {g} S ^ {-1} x, ST_ {g} S ^ {-1} y) = (x, y).}}$

Od operatorów

${\ Displaystyle \ Displaystyle {U_ {g} = ST_ {g} S ^ {- 1}}}$

są odwracalne, wynika z tego, że są one jednostkowe.

Przykłady reprezentacji nieunitaryzowalnych

SL(2,R)

Szereg uzupełniający nieredukowalnych reprezentacji unitarnych SL(2,R) został wprowadzony przez Bargmanna (1947) . Te reprezentacje mogą być realizowane na funkcjach na okręgu lub na linii rzeczywistej: transformata Cayleya zapewnia jednostkową równoważność między dwiema realizacjami.

W rzeczywistości dla 0 < σ < 1/2 i f , g funkcje ciągłe na okręgu definiują

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(f, g )_{\sigma }={1 \ponad 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){ \overline {g(t)}}k_{\sigma }(st)\,ds\,dt,}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {k _ {\ sigma} (s) = (1- \ cos s) ^ {\ sigma -1/2}.}}$

Ponieważ funkcja k _σ jest całkowalna, ta całka jest zbieżna. W rzeczywistości

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(f, g) _ {\ sigma} \ równoważnik \|f \|\ cdot \|g \|,}}$

gdzie normy są zwykłymi normami ^{L2 .}

Funkcje

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {m} (t) = e ^ {imt}}}$

są ortogonalne z

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(f_ {m}, f_ {m}) _ {\ sigma} = \ prod _ {i = 1} ^ {| m |} {i-1/2-\ sigma \ nad ja- 1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+ 1/2+\sigma )}.}}$

Ponieważ wielkości te są dodatnie, ( f , g ) _σ definiuje iloczyn wewnętrzny. Uzupełnienie przestrzeni Hilberta jest oznaczone przez H _σ .

Dla funkcji ciągłych F , G zwartej podpory na R zdefiniuj

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(F, G) _ {\ sigma} ^ {\ pierwsza} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F ( x){\overline {G(y)}}|xy|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}}$

Ponieważ uważana za dystrybucję transformata Fouriera | x | ^{2σ – 1} to C _σ | t | ^−2σ dla pewnej dodatniej stałej C _σ powyższe wyrażenie można przepisać:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(F, G) _ {\ sigma} ^ {\ pierwsza} = C _ {\ sigma} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ widehat {F}} (t) {\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma}\,dt.}}$

Jest to więc produkt wewnętrzny. Niech H' _σ oznacza dopełnienie przestrzeni Hilberta.

Transformata Cayleya daje początek operatorowi U :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Uf (x) = 2 ^ {\ sigma / 2-3/4} \ pi ^ {-1} | x + i | ^ {1-2 \ sigma} f \ lewo ({xi \ nad x+i}\right).}}$

U rozciąga się do izometrii H _σ na H ' _σ . Jego sprzężenie jest podane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {U ^ {*} F (e ^ {to}) = 2 ^ {3/4-\ sigma / 2} \ pi | 1-e ^ {to} | ^ {1-2 \ sigma }F\left({1+e^{it} \ponad 1-e^{it}}\right).}}$

Transformata Cayleya wymienia działania transformacji Möbiusa SU(1,1) na S ¹ i SL(2, R ) na R .

Operator U przeplata odpowiednie działania SU(1,1) na H _σ i SL(2, R ) na H ' _σ .

Dla g w SU(1,1) podane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa i \ beta \\ {\ overline {\ beta}} & {\ overline {\ alfa}} \ koniec{pmacierz}},}}$

z

${\ Displaystyle \ Displaystyle {|\ alfa | ^ {2} - | \ beta | ^ {2} = 1,}}$

i f ciągły, zestaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {\ sigma} (g ^ {-1}) f (z) = | {\ overline {\ beta}} z + {\ overline {\ alfa}} | ^ {1-2 \sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta}}z+{\overline {\alpha}}}\right).}}$

Dla g' w SL(2, R ) dane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g ^ {\ pierwsza} = {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}}}$

z reklamą – bc = 1, zestaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {\ sigma} ^ {\ pierwsza} ((g ^ {\ pierwsza}) ^ {-1}) F (x) = | cx + d | ^ {1-2 \ sigma }F\left({ax+b \ponad cx+d}\right).}}$

Jeśli g ' odpowiada g pod transformatą Cayleya, to wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle {U \ pi _ {\ sigma} (g) U ^ {*} = \ pi _ {\ sigma} ^ {\ pierwsza} (g ^ {\ pierwsza}).}}$

Dekompozycja biegunowa pokazuje, że SL(2,R) = KAK z K = SO(2) i A jest podgrupą dodatnich macierzy diagonalnych. K odpowiada macierzom diagonalnym w SU(1,1). Ponieważ oczywiście K działa unitarnie na H _σ i A działa unitarnie na H ' _σ , obie reprezentacje są unitarne. Reprezentacje są nieredukowalne, ponieważ działanie algebry Liego na wektorach bazowych f _m jest nieredukowalny. Ta rodzina nieredukowalnych reprezentacji unitarnych nazywana jest serią komplementarną .

Ehrenpreis i Mautner (1955) skonstruowali analityczną kontynuację tej rodziny reprezentacji w następujący sposób. Jeśli s = σ + iτ, g leży w SU(1,1) i f w H _σ , zdefiniuj

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {s} (g ^ {-1}) f (z) = | {\ overline {\ beta}} z + {\ overline {\ alfa}} | ^ {1-2 s} f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta}}z+{\overline {\alpha}}}\right).}}$

Podobnie jeśli g ' leży w SL(2, R ) a F w H ' _σ , zdefiniuj

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {s} ^ {\ pierwsza} ((g ^ {\ pierwsza}) ^ {- 1}) F (x) = | cx + d | ^ {1-2 s} F \ left({ax+b \ponad cx+d}\right).}}$

Tak jak poprzednio, unitarne U przeplata te dwa działania. K działa unitarnie na H _σ i A przez jednostajnie ograniczoną reprezentację na H ' _σ . Działanie standardowej bazy złożonej algebry Liego na tej podstawie można obliczyć:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {s} (L_ {0}) f_ {m} = mf_ {m}, \, \, \ pi _ {s} (L_ {-1}) f_ {m} = -(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{ m-1}.}}$

Gdyby reprezentacja była unitaryzowalna dla τ ≠ 0, to operator podobieństwa T na H _σ musiałby komutować z K , ponieważ K zachowuje oryginalny iloczyn wewnętrzny. Wektory Tf _m byłyby zatem nadal ortogonalne dla nowego iloczynu wewnętrznego i operatorów

${\ Displaystyle \ Displaystyle {L_ {i} ^ {\ pierwsza} = TL_ {i} T ^ {- 1}}}$

spełniałby te same relacje dla

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {m} ^ {\ pierwsza} = Tf_ {m} = \ lambda _ {m} f_ {m}.}}$

W tym przypadku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {[L_ {m} ^ {\ pierwsza}, L_ {n} ^ {\ pierwsza}] = (mn) L_ {m + n} ^ {\ pierwsza}, \, \, (L_ { i}^{\liczba })^{*}=L_{-i}^{\liczba }.}}$

Elementarne jest sprawdzenie, że nieskończenie mała taka reprezentacja nie może istnieć, jeśli τ ≠ 0.

₀₀ Rzeczywiście, niech v = f ' i ustaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle {v_ {1} = L_ {-1} ^ {\ pierwsza} v_ {0}.}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {L_ {1} ^ {\ pierwsza} v_ {1} = cv_ {0}}}$

dla pewnej stałej c . Z drugiej strony,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\| v_ {1} \| ^ {2} = (L_ {-1} ^ {\ pierwsza} v_ {0}, v_ {1}) = (v_ {0}, L_ {1} }^{\prime}v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}}$

Zatem c musi być rzeczywiste i dodatnie. Świadczą o tym powyższe wzory

${\ Displaystyle \ Displaystyle {c = {1 \ ponad 4} -s ^ {2} = {1 \ ponad 4} - \sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}}$

więc reprezentacja π _s jest unitaryzowalna tylko wtedy, gdy τ = 0.

Wolna grupa na dwóch generatorach

Grupa G = SL(2, R ) zawiera dyskretną grupę Γ = SL(2, Z ) jako zamkniętą podgrupę o skończonej kowalności, ponieważ ta podgrupa działa na górnej półpłaszczyźnie z podstawową domeną skończonego obszaru hiperbolicznego. Grupa SL(2, Z ) zawiera podgrupę o indeksie 12 izomorficzną z wolną grupą F _{2 na dwóch generatorach.} Stąd G ma podgrupę Γ ₁ o skończonej kowalności, izomorficznej z F ₂ . Jeśli L jest zamkniętą podgrupą o skończonej kowalności w grupie lokalnie zwartej G , a π jest jednostajnie ograniczoną reprezentacją G niepodlegającą unitaryzacji w przestrzeni Hilberta L , to jego ograniczenie do L jest jednostajnie ograniczone i niejednolicie ograniczone. Bo jeśli nie, stosując ograniczony operator odwracalny, iloczyn wewnętrzny można uczynić niezmiennym pod L ; a potem z kolei niezmiennik pod G przez przedefiniowanie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(x, y) _ {1} = \ int _ {H \ ukośnik odwrotny G} (gx, gy) \, dg.}}$

Podobnie jak w poprzednim dowodzie, jednolita granica gwarantuje, że norma zdefiniowana przez ten iloczyn wewnętrzny jest równoważna oryginalnemu iloczynowi wewnętrznemu. Ale wtedy pierwotna reprezentacja byłaby unitaryzowalna na G , sprzeczność. Ten sam argument działa dla dowolnej dyskretnej podgrupy G o skończonej kowalności. W szczególności grupy powierzchniowe , które są podgrupami kozwartymi, mają reprezentacje jednolicie ograniczone, których nie można zunifikować.

Istnieje więcej bezpośrednich konstrukcji jednostajnie ograniczonych reprezentacji wolnych grup, których nie da się zunifikować: są one badane w Pisier (2001) . Pierwsze takie przykłady opisano w Figà-Talamanca & Picardello (1983) , gdzie konstruuje się odpowiednik szeregu komplementarnego.

Później Szwarc (1988) podał pokrewną, ale prostszą konstrukcję , na przestrzeni Hilberta 2 ⁽ fa 2 ₎ $,$ holomorficznej rodziny jednostajnie ograniczonych reprezentacji π _z fa ₂ | z | < 1; są one nieunitaryzowalne, gdy 1/√ 3 <| z | < 1 i z nie jest rzeczywiste. Niech L ( g ) oznacza skróconą długość słowa na F ₂ dla danego zbioru generatorów a , b . Niech T będzie operatorem ograniczonym zdefiniowanym na elementach bazowych przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Te_ {1} = 0, \, \, Te_ {g} = e_ {g ^ {\ pierwsza}},}}$

gdzie g ' uzyskuje się przez wymazanie ostatniej litery w wyrażeniu g jako słowa zredukowanego; identyfikując F ₂ z wierzchołkami swojego wykresu Cayleya , drzewa ukorzenionego, odpowiada to przejściu od wierzchołka do następnego wierzchołka najbliższego początku lub korzeniowi. dla |z| < 1

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ pi _ {z} (g) = (IzT) ^ {- 1} \lambda (g)(I-zT)}}$

jest dobrze zdefiniowany na skończenie obsługiwanych funkcjach. Pytlik i Szwarc (1986) wcześniej udowodnili, że rozciąga się ona na jednostajnie ograniczoną reprezentację na H spełniającą

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|\ pi _ {z} (g) \|\ równoważnik {1 + | z | \ponad 1-|z|}.}}$

W rzeczywistości łatwo sprawdzić, że operator λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ – T ma skończony rząd, z rozpiętością V _g , skończenie wymiarową przestrzenią funkcji obsługiwanych na zbiorze wierzchołków łączących g z początkiem . Dla dowolnej funkcji znikającej w tym skończonym zbiorze T i λ( g ) T λ ( g ) ⁻¹ są równe; i obaj pozostawiają niezmiennik V _g , na których działają jako skurcze i styki względem siebie. Stąd jeśli f ma skończone wsparcie i normę 1,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|\ pi _ {z} (g) f \|= \|\ lambda (g) f + \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n + 1} T ^{n}[T,\lambda (g)]f\|\równik 1+2\suma _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \ponad 1-|z|}.}}$

dla |z| < 1/√3, wszystkie te reprezentacje są podobne do reprezentacji regularnej λ. Jeśli z drugiej strony 1/√3 < |z| <1, następnie operator

${\ Displaystyle \ Displaystyle {D = \ pi _ {z} (a) + \ pi _ {z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}}$

zadowala

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Df = (3z + z ^ {- 1}) f}}$

gdzie f w H jest określone przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (1) = 1, \, \, f (g) = {3 \ ponad 4} (3 z) ^ {- L (g)} \, \, (g \ neq 1). }}$

Tak więc, jeśli z nie jest rzeczywiste, D ma wartość własną, która nie jest rzeczywista. Ale wtedy π _z nie może być unitaryzowalne, ponieważ w przeciwnym razie D byłby podobny do operatora samosprzężonego.

Problem Dixmiera

Jacques Dixmier zapytał w 1950 r., czy podatne grupy charakteryzują się unitaryzowalnością , tj. właściwością, że wszystkie ich jednolicie ograniczone reprezentacje są unitaryzowalne. Ten problem pozostaje otwarty do dziś.

Elementarny argument indukcyjny pokazuje, że podgrupa grupy możliwej do unitaryzacji pozostaje unitaryzowalna. Dlatego hipoteza von Neumanna sugerowałaby pozytywną odpowiedź na problem Dixmiera, gdyby była prawdziwa. W każdym razie wynika z tego, że kontrprzykładem dla hipotezy Dixmiera może być tylko grupa niepodlegająca podporządkowaniu bez wolnych podgrup. W szczególności hipoteza Dixmiera jest prawdziwa dla wszystkich grup liniowych według alternatywy cycków .

Kryterium pochodzące od Epsteina i Monoda pokazuje, że istnieją również grupy, których nie można zjednoczyć, bez wolnych podgrup. W rzeczywistości nawet niektóre grupy Burnside'a nie dają się zunifikować, jak wykazali Monod i Ozawa.

Znacznego postępu dokonał Pisier , który powiązał unitaryzowalność z pojęciem długości faktoryzacji. To pozwoliło mu rozwiązać zmodyfikowaną postać problemu Dixmiera.

Potencjalną lukę między unitaryzowalnością a podatnością można dalej zilustrować następującymi otwartymi problemami, z których wszystkie stają się elementarne, jeśli „ujednolicać” zastąpi się „podatnym”:

• Czy bezpośredni iloczyn dwóch unitaryzowalnych grup jest unitaryzowalny?
• Czy ukierunkowane połączenie grup, które można zjednoczyć, można zunifikować?
• Jeśli $zawiera$ normalną podlegającą podgrupę, można $zjednoczyć$ , czy wynika $,$$zunifikować$$Elementarne$ jest to, że $można$$możliwe$ , jeśli jest i jest

Notatki

• Sz-Nagy, Béla (1947), „O jednostajnie ograniczonych przekształceniach liniowych w przestrzeni Hilberta” , Acta Univ. Szeged. Sekta. nauka Matematyka , 11 : 152–157
• Dixmier, Jacques (1950), "Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs application" , Acta Sci. Matematyka Szeged , 12 , s. 213–227
•   Day, Mahlon M. (1950), „Środki dla funkcji ograniczonych i ergodyczności ograniczonych reprezentacji półgrup”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 69 (2): 276–291, doi : 10.1090/s0002-9947-1950-0044031-5 , JSTOR 1990358
•   Epstein, Inessa; Monod, Nicolas (2009), „Reprezentacje nieujednolicone i losowe lasy”, International Mathematics Research Notices (22): 4336–4353, arXiv : 0811,3422 , doi : 10,1093/imrn/rnp090 , S2CID 14254765
• Nakamura, Masahiro; Takeda, Ziro (1951), „Reprezentacja grupy i granica Banacha”, Tôhoku Mathematical Journal , 3 (2): 132–135, doi : 10,2748 / tmj / 1178245513
•   Pisier, Gilles (2001), Problemy z podobieństwem i całkowicie ograniczone mapy , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1618 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3540415244
• Pisier, Gilles (2005), Czy możliwe do unitaryzacji grupy są możliwe? , Postęp w matematyce, tom. 248, s. 323–362, arXiv : math/0405282 , Bibcode : 2004math......5282P
•    Ehrenpreis, L.; Mautner, FI (1955), „Jednolicie ograniczone reprezentacje grup”, Proc. Natl. Acad. nauka USA , 41 (4): 231–233, Bibcode : 1955PNAS...41..231E , doi : 10.1073/pnas.41.4.231 , PMC 528064 , PMID 16589653
• Lohoué, N. (1980), „Estimations des coefficients de représentation et opérateurs de convolution”, $Advances$ in Mathematics , 38 (2): 178–221, : 10,1016 / 8708(80)90004-3
•   Monod, Nicolas ; Ozawa, Narutaka (2010), „Problem Dixmiera, latarnicy i grupy Burnside”, Journal of Functional Analysis , 258 : 255–259, arXiv : 0902.4585 , doi : 10.1016/j.jfa.2009.06.029 , S2CID 17844080
•   Bargmann, V. (1947), „Nieredukowalne reprezentacje unitarne grupy Lorentza”, Ann. z matematyki. , 48 (3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , JSTOR 1969129
•   Sugiura, Mitsuo (1990), Reprezentacje jednostkowe i analiza harmoniczna: wprowadzenie , North-Holland Mathematical Library, tom. 44 (wyd. 2), Elsevier, ISBN 978-0444885937
•   Howe, Roger; Tan, Eng-chye (1992), Nieabelowa analiza harmoniczna: zastosowania SL (2, R ) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
•   Lang, Serge (1985), SL(2, R ) , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 105, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96198-9
• Serre, Jean-Pierre (1977a), Cours d'arithmétique , Le Mathématicien, tom. 2 (wyd. 2), Presses Universitaires de France
• Serre, Jean-Pierre (1977b), Arbres, amalgames, SL ₂ , Astérisque, tom. 46, Société Mathématique de France
•   Gelfand, IM; Graev, MI; Pyatetskii-Shapiro, II (1969), Teoria reprezentacji i funkcje automorficzne , Academic Press, ISBN 978-0-12-279506-0
•   Magnus, Wilhelm; Karras, Abraham; Solitar, Donald (1976), Kombinatoryczna teoria grup. Prezentacje grup pod względem generatorów i relacji (wyd. 2), Dover Publications, ISBN 978-0-486-43830-6
• Figa-Talamanca, Alessandro; Picardello, Massimo A. (1983), Analiza harmoniczna wolnych grup , Notatki z wykładów z matematyki czystej i stosowanej, tom. 87, Marcel Dekker
• Pytlik, T.; Szwarc R. (1986), „Analityczna rodzina jednostajnie ograniczonych reprezentacji wolnych grup”, Acta Math. , 157 : 287–309, doi : 10.1007/bf02392596
• Szwarc, Ryszard (1988), „Analityczna seria nieredukowalnych reprezentacji wolnej grupy” (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 38 : 87–110, doi : 10.5802/aif.1124