Charakter Harish-Chandra

W matematyce znak Harish-Chandra , nazwany na cześć Harish-Chandra , reprezentacji półprostej grupy Liego G w przestrzeni Hilberta H jest rozkładem w grupie G , który jest analogiczny do charakteru skończonej wymiarowej reprezentacji a kompaktowa grupa .

Definicja

, że π jest nieredukowalną jednostkową reprezentacją G w przestrzeni Hilberta H . Jeśli f jest kompaktowo obsługiwaną funkcją gładką w grupie G , to operator na H

${\ Displaystyle \ pi (f) = \ int _ {G} f (x) \ pi (x) \ dx}$

jest klasy śladowej i dystrybucji

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ pi}: f \ mapsto \ nazwa operatora {Tr} (\ pi (f))}$

jest nazywany charakterem (lub charakterem globalnym lub charakterem Harish-Chandra ) reprezentacji.

Znak Θ _π jest rozkładem na G , który jest niezmienny w koniugacji i jest rozkładem własnym środka uniwersalnej algebry obwiedni G , innymi słowy niezmiennym rozkładem własnym, którego wartość własna jest nieskończenie małym charakterem reprezentacji π.

Twierdzenie Harisha-Chandry o regularności stwierdza, że ​​​​każda niezmienna dystrybucja własna, aw szczególności dowolny charakter nieredukowalnej reprezentacji unitarnej w przestrzeni Hilberta, jest dana przez lokalnie całkowalną funkcję .

•   AW Knapp, Teoria reprezentacji grup półprostych: przegląd oparty na przykładach. ISBN 0-691-09089-0