Funktor światłowodowy

W teorii kategorii , gałęzi matematyki, funktor światłowodowy jest wiernym k -liniowym funktorem tensorowym od kategorii tensorowej do kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni k -wektorowych.

Definicja

Funktor światłowodowy (lub funktor światłowodowy ) to luźna koncepcja, która ma wiele definicji w zależności od rozważanego formalizmu. Jedna z głównych początkowych motywacji dla funktorów światłowodowych pochodzi z teorii toposu . Przypomnijmy, że topos to kategoria snopów nad witryną. $zbiorów$ kategorii . Jeśli mamy topos krążków w przestrzeni topologicznej , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} (X$ , to aby podać punkt $)$ $)$ $równoważne z definiowaniem$ funktorów

${\ Displaystyle a ^ {*}: {\ mathfrak {T}} (X) \ leftrightarrows {\ mathfrak {zestaw}}: a_ {*}}$

Funktor wysyła snopek na swoim $;$ przez punkt $}}$ ${\$ ${ \$ { F to znaczy jego łodyga.

Od zakrywania przestrzeni

Rozważmy kategorię pokrycia przestrzeni nad przestrzenią topologiczną $Displaystyle$ jako \ $X }$ Następnie $istnieje$ funktor

${\ Displaystyle {\ tekst {Fib}} _ {x}: {\ mathfrak {Cov}} (X) \ do {\ mathfrak {zestaw}}}$

wysyłanie przestrzeni pokrywającej ${\ Displaystyle \ pi: Y \ do X}$ do włókna ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (x)}$ . Ten funktor ma automorfizmy pochodzące z ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)},$ ponieważ grupa podstawowa działa na pokrywanie przestrzeni w przestrzeni topologicznej ${\ displaystyle X}$ . W szczególności działa na zbiorze ${\ Displaystyle \ pi ^ {-1} (x) \ podzbiór Y}$ . W rzeczywistości jedyne automorfizmy $)$ pochodzą od $\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)$ .

Z topologiami etale

Istnieje algebraiczny odpowiednik przestrzeni pokrywających wywodzący się z topologii Étale $schemacie$ połączonym . Witryna bazowa składa się ze skończonych okładek etale, które są skończonymi płaskimi morfizmami suriekcyjnymi $takimi,$ $widmem$ punktem jest skończony etale ${\ Displaystyle \ kappa (s)}$ -algebra. Dla ustalonego punktu geometrycznego ${\ Displaystyle {\ overline {s}}: {\ tekst {Spec}} (\ Omega) \ do S}$ , rozważ włókno geometryczne ${\ Displaystyle X \ razy _ {S} {\ tekst {Spec}} (\ Omega)}$ i niech ${\ Displaystyle {\ tekst {Fib}} _ {\ overline {s}} (X)}$ będzie podstawowym $zbiorem$ . Następnie,

$\ Displaystyle {\ tekst {Fib}} _ {\ overline {s}}: {\ mathfrak {Fet}} _ {S} \ do {\ mathfrak {Zestawy }}}$

$toposem$ funktorem światłowodowym, gdzie ze skończonej topologii etale na $displaystyle S}$ . W rzeczywistości jest to twierdzenie Grothendiecka, że automorfizmy ${\ Displaystyle {\ tekst {Fib}} _ {\ overline {s}}}$ tworzą grupę określoną , oznaczoną ${\ displaystyle \pi _{1}(S,{\overline {s}})}$ i wywołać ciągłą akcję grupową na tych skończonych zbiorach włókien, dając równoważność między pokryciami a skończonymi zbiorami z takimi działaniami.

Z kategorii Tannakian

Inna klasa funktorów światłowodowych pochodzi z kohomologicznych realizacji motywów w geometrii algebraicznej. Na przykład funktor kohomologii De Rhama ${$ do $u$ jego podstaw $grup$ .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

SGA 4 i SGA 4 IV
Grupa Motivic Galois - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf